Nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

Munosib kasrlar va ularning xossalari

Agar – qisqarmas kasr (to’g’ri yoki noto’g’ri) bo’lsa, bu kasrni Yevklid algoritmi yordamida quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin:

bu yerda q₀ – butun nomanfiy son; q₁, q₂,…, q_n – butun musbat sonlar.

Bu tenglikning o’ng tomonida yozilgan kasr chekli uzluksiz kasr yoki zanjirli kasr deyiladi.
Bu kasrlarni qisqacha

ko’rinishda yozish mumkin.
Yevklid algoritmidagi q₁, q₂,…,q_n lar uzluksiz zanjirning maxrajlari; q₀, q₁, q₂,…, q_n-1 – to’liqmas bo’linmalar; q₀, q₁, q₂,…, q_n lar esa aniq bo’linmalar deyiladi.



lar munosib kasrlar deyiladi va .
Munosib kasrlar va kasr orasida quyidagi munosibatlar o’rinli:

Bu tengsizliklardan berilgan kasr ikkita qo’shni munosib kasrlar orasida joylashganligi va tartib oshgani sari bu qo’shni kasrlar intervali kichrayib borishi ko’rinyapti. Shuning uchun ham bunday kasrlar «munosib kasrlar» deyiladi.
Ketma-ket uchta munosib kasrlar suratlari va maxrajlari k = 2 dan boshlab quyidagi bog’lanish o’rinli:

Agar shartli ravishda P_-1=1, Q_-1= 0, Q₀ = 1 qabul qilsak, u holda barcha munosib kasrlarni quyidagi sxema yordamida topish mumkin:

k		0	1	2	…	k	…	n
qk		q0	q1	q2	…	qk	…	qn
Pk	1	P0 = q0	P1 =q0q1 + 1	P2=P1q2 + P0	…	Pk = Pk-1qk + Pk-2	…	Pn
Qk	0	Q0 = 1	Q1 = q1	Q2 = Q1q2 + Q0	…	Qk = Pk-1qk + Qk-2	…	Qn

Ikkita qo’shni munosib kaslar ayirmasini

formula yordamida topish mumkin.
kasrni munosib kasr bilan almashtirganda hosil bo’lgan xatoni

tengsizlik bilan baholanadi.
1-m i s o l. sonni shunday munosib kasr bilan almashtiringki, uning xatosi 0, 001 dan katta bo’lmasin.
Yechish. Sonni uzluksiz kasrga yoyamiz:
.
Demak kasrlarni topamiz:

k		0	1	2	3	4
qk		2	1	19	1	3
Pk	1	2	3	59	62	245
Qk	0	1	1	20	21	83

.
₂ shartni qanoatlantirmaydi.
ni keltiramiz: . Demak, masala yechimi
2-m i s o l. uzluksiz kasrga mos kasrni toping.
Yechish. Munosib kasrlarni topamiz:

k		0	1	2	3	4	5
qk		2	1	1	3	1	2
Pk	1	2	3	5	18	23	64
Qk	0	1	1	2	7	9	25

Bu jadvaldan .
Bu masalani yechimini quyidagicha topish mumkin:

Bu usuldan zanjirdagi sonlar miqdori oz bo’lganda foydalanish mumkin.
3-m i s o l. kasrni kasrga yoyish yordamida qisqartiring.
Yechish. Sonni uzluksiz kasrga yoyamiz:
Demak, .
4-m i s o l. a va b – o’zaro tub musbat sonlar. ni uzluksiz kasrga yoygandagi oxiridan ikkinchi munosib kasr bo’lsin. ax + by = 1 Diofant tenglamasini xususiy yechimi

ko’rinishda bo’lishini isbotlang.
Yechish. ni uzluksiz kasr ko’rinishda tasvirlaymiz:

Ikkita munosib kasrlar orasidagi formuladan
, lekin , shuning uchun , bundan , yoki .
Bu tenglikni ax₀ + by₀ = 1 tenglik bilan solishtirsak
ni hosil qilamiz.
5-m i s o l. ax + by = c diofant tenglamasi yechimlarini toping.
Yechish. 4-misoldan

kelib chiqadi.
Agar tenglamada b koeffisiyentning ishorasi manfiy bo’lsa, u holda y₀ formulasida (-1)^n-1 ni olish kerak. Bu x₀ va y₀ qiymatlarini x = x₀–bt , y = y₀+at ga qo’yib berilgan tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz: ax + by = c.
6-m i s o l. Uzluksiz kasrlar yordamida 38x + 117y = 209 tenglama umumiy yechimini toping.
Yechish. ni uzlksiz kasrga yoyamiz: .

k			0	1	2	3	4
Qk			0	3	12	1	2
Pk	0	1	0	1	12	13	38
Qk	1	0	1	3	37	40	117

kasrlarni topamiz.
Bundan: P_n-1 = 13, Q_n-1 = 40, n = 4.
5-misoldagi formulalardan

ni topamiz. Demak, tenglamani umumiy yechimi:
x = –8360 – 117 t,
y = 2717 + 38 t.
Tekshirish: 38 (- 8360) + 117  2717 = - 317680 + + 317889 = 209. 
7-m i s o l. Uzluksiz kasrlar yordamida 119 x – 68 y = 34 tenglamani umumiy yechimimni toping.
Yechish. ni uzluksiz kasrga yoyamiz: Munosib kasrlarni topamiz:

k			0	1	2
qk			1	1	3
Pk	0	1	1	2	7
Qk	1	0	1	1	4

Bundan: P_n-1 = 2, Q_n-1 = 1, n = 2 ni aniqlaymiz.
(119, 68) = 17 va c = 34 son 17 ga bo’linadi. Berilgan tenglamani 17 ga bo’lib, 7x – 4y = 2 ni hosil qilamiz.
Tenglamaning xususiy yechimi:
x₀ = (-1)¹  1  2 = -2, y₀ = (-1)¹  2  2 = - 4.
Umumiy yechim esa: .
Tekshirish: 7 (-2) – 4 (-4) = - 14 + 16 = 2.

XULOSA

Vatanimizning gullab-yashnashi, barqaror rivojlanishi ma’lum bir darajada yoshlarning chuqur bilimga, mustahkam ishonch-e’tiqodga va, umuman, komil inson bo‘lishlariga bog‘liq. 
Bu haqda birinchi Prezidentimiz Islom Karimov «Komil inson deganda biz, avvalo, ongi yuksak, mustaqil fikrlay oladigan, xulq-atvori bilan o‘zgalarga ibrat bo‘la oladigan, bilimli, ma’rifatli kishilarni tushunamiz. Ongli, bilimli odamlarni oldi-qochdi gaplar bilan aldab bo‘lmaydi. U har bir narsani aql, mantiq tarozisiga solib ko‘radi. O‘z fikr-o‘yi,xulosasini mantiq asosida qurgan kishi yetuk odam bo‘ladi» deb ta’kidlagan.
Kurs ishini bajarish mobaynida shunday xulosaga keldimki, menga berilgan bu mavzuda izlanishlarim natijasida bilmagan, o’zim uchun notanish bo’lgan savollarga javob oldim va bilimlarimni yanada mustahkamroq qildim.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO`YXATI

1. 
   Yunusov А., Yunusova D. Algebra ча sonlar nazariyasidan modul texnologiyasi asosida tuzilgan nazotat topshiriqlari to'plami. TDPU, 2004.
   
2. 
   SH.A.Ayupov, B.A.Omirov, A.X.Xudoyberdiev, F.H.Haydarov, Algebra ча sonlar nazariyasi, Toshkent "Таfаkkur bo'stoni" 20t9,295 ь. (o'quv qo'llanma)
   
3. 
   Nazarov R.N., Toshpo'1atov в.т., Dusumbetov A.D. Algebra ча sonlar nazariyasi.T., O'qituvchi. I - qism,199З у.,2 - qism, 1995 у. (o'quv qo'llanma)
   
4. 
   Yuпusоч А., Yunusova D. Sonli sistemalar. “Moliya iqtisod” 2008 y. (o'quv qo'llanma)