Nomanfiy butun sonni natural songa bo`lishning ta'rifi, uning mavjudligi va yagonaligi. Yig`indini va ko`paytmani songa bo`lish qoidarining to`plamlar nazariyasi bo`yicha ma'nosi. Ma’ruza mashg’ulotining rejasi

Bu aksioma natural sоnlar to`plamining cheksiz ekanligini ifodalaydi.

3. 1 dan bоshqa iхtiyoriy natural sоn faqat va faqat bitta natural sоndan kеyin kеladi a*=b* a=b.

Bu aksiomadan ko`rinadiki, natural sоnlar to`plami qat’iy tartiblangan to`plamdir.

4. agar biror f qoida 1 soni uchun o`rinli ekanligi isbotlangan bo`lsa va uning n natural soni uchun o`rinli ekanligidan navbatdagi natural sоn n+1 uchun to`g`riligi kelib chiqsa, bu f qoida barcha natural sonlar uchun o`rinli bo`ladi.

Bu aksioma matematik induksiya aksiomasi deyiladi va unga matematik induksiya metodi asoslanadi.

2. 
   
   Matematik induksiya metodi.
   

Matematik induksiya metodini bilish matematika fanini chuqur egallash, uning ichki sirlarini chuqur anglab yetishda muhim o’rin tutadi. Deduktiv va induktiv mulohaza yuritish umumiy xulosa chiqarishda har doim ham qo’l kelavermaydi. Chunki ko’p hollarda cheksiz ko’p xususiy hollarni ko’rib chiqqandan so’nggina, umumiy xulosa chiqarish mumkin bo’ladi. Umumiy xulosa chiqarishda matematik induksiya metodi eng qulay va oson metod hisoblanadi. U quyidagilardan iboratdir:
I. n = 1 uchun berilgan A(n) predikatning rostligi tekshiriladi. (Agar n = 1 uchun berilgan A(n) predikat rost bo’lsa, navbatdagi qadamga o’tiladi, aksincha bo’lsa, u holda berilgan predikat barcha n lar uchun yolg’on deb, umumiy xulosa chiqariladi.)

II.n = k uchun A(n) predikat rost deb faraz qilinadi.

III. n = k+1uchun A(n) predikatning rostligi, ya’ni A(k)⇒A(k + 1) isbotlanadi. Shundan so’ng, A(n) predikat n ning barcha qiymatlarida rost deb umumiy xulosa chiqariladi.
Misollar. a) 1+2+3 + ...+n=_{ }predikat berilgan bo’lsin. Uni A(n) deb belgilaymiz va barcha natural sonlar uchun rostligini isbot qilamiz.
Isbot. I. n= 1 uchun tekshiramiz, u holda
Demak, n = 1 uchun A(n) predikat rost.
II. n = k uchun 1 + 2 + 3 +... + k =_{ } ni, ya’ni A(k) predikatni rost deb faraz qilamiz.

III.n = k + 1 uchun A(k + 1) predikatning rostligini, ya’ni

to’g’riligini isbotlaymiz:





Bu esa A(k + 1) mulohazaning o’zidan iboratdir. Demak, A(n) predikat n ning barcha qiymatlarida rost.
b) (n³+2n)⋮ 3 ekanligini matematik induksiya metodi yordamida isbotlang.
Yechish. I. n = 1 da l³+21 = l + 2 = 3⇒3⋮3.
II.n = k da(k³+2k)⋮3 deb faraz qilaylik.

III.n = k + 1 da[(k + 1)³+2(k + 1)]⋮3 ekanligini isbotlaymiz.

Isbot.

(k + 1)³ + 2(k + 1)=k³+3k² +3k + 1+2k + 2 =

= (k³ + 2k) +(3k² + 3k + 3) = (k³ + 2k) + 3∙(k² + k + 1).

Bu yig’indi 3 ga karrali, chunki birinchi qo’shiluvchi (k³ + 2k)⋮3 — farazga asosan, ikkinchi qo’shiluvchi 3 ga karrali ekanligi ko’rinib turibdi: 3 • (k² + k + 1)⋮3. Demak, (n³ + 2n)⋮3bo’ladi.
d)(n³+11n)⋮6bo’lsa, uni matematik induksiya metodi yordamida isbotlang.
Yechish.

I. n=1 da l³ +11 • 1 = 1 + 11 = 12 ⇒12⋮6.

II.n = k da(k³ + 11k)⋮6 deb faraz qilaylik,

III.n = k+ 1 da [(k+l)³+ll(k+l)]⋮6ni isbotlaymiz.

Isbot. (k+ 1)³+11(k+1) = k³ + 3k² + 3k+ 1 + 1k + 11 =(k³ + 12 k) ++(3k² + 3k+ 12) = (k³ + 12k) + 3(k² + k + 4).

Bunda (k + 12)⋮6 — farazga asosan, 3 • [k² + k + 4] — bu ifodaning 3 ga karrali ekanligi ko’rinib turibdi, (k² + k + 4) ifoda esa 2 ga karrali. Demak,(n³ + 11n)⋮6bo’ladi.