O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti


Mavzu: Kompleks sonlar ustida asosiy amallar



Yüklə 49,47 Kb.
səhifə6/8
tarix11.12.2023
ölçüsü49,47 Kb.
#144760
1   2   3   4   5   6   7   8
Mavzu Kompleks sonlar va ular ustida amallar,hayotga tatbiqi-fayllar.org (1)

2. Mavzu: Kompleks sonlar ustida asosiy amallar.
2.1. Kompleks sonlarni qo‟shish. Ikkita z1=a1+ib1 va z2=a2+ib2 kompleks sonlarning yig‟indisi deb z1+ z2=(a1+ib1)+( a2+ib2)=( a1+ a2)+i(b1+b2) (1) tenglik bilan aniqlanuvchi kompleks songa aytiladi. (1) formuladan vektor bilan tasvirlangan kompleks sonlarni qo‟shish-vektorlarni qo‟shish qoidasiga muvofiq bajarilishi kelib chiqadi. (5b-chizma)

a) b)
5-chizma.
2.2 Kompleks sonlarni ayirish. Ikkita z1=a1+ib1 va z2=a2+ib2 kompleks sonlarning ayirmasi deb shunday kompleks songa aytiladiki, unga z2 kompleks sonni
qo‟shganda z1kompleks son hosil bo‟ladi (5a-chizma).
z1- z2=(a1+ib1)-( a2+ib2)=( a1- a2)+i(b1-b2). (2)
Ikki kompleks son ayirmasining moduli shu sonlarni tekisligida tasvirlovchi А(a1;b1) va В(a2;b2) nuqtalar orasidagi masofaga teng:

| z1 z2 | (a1 a2)2  (b1 b2)2 .


1-misol. z1=3+2i va z2=2-i kompleks sonlarning yig‟indisi va ayirmasini toping. Yechish. z1+ z2=(3+2i)+(2-i)=(3+2)+ i(2-1)=5+i, z1- z2=(3+2i)-(2-i)=(3-2)+i(2-(-1))=1+3i.
2.3. Kompleks sonlarni ko‟paytirish. z1=a1+ib1 va z2=a2+ib2 kompleks sonlarning ko‟paytmasi deb, i2=-1 ekanligini hisobga olib bu sonlarni ikki had sifatida ko‟paytirish qoidasi bo‟yicha ko‟paytirish natijasida hosil bo‟lgan
z1·z2=( a1 a2- b1b2)+i( a1 b2+ b1a2) (3) kompleks songa aytiladi.
z1 va z2 kompleks sonlar trigonometrik shaklda berilgan bo‟lsin: z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2).
Shu kompleks sonlarning ko‟paytmasini topamiz.
z1·z2=r1(cos1+isin1)·r2(cos2+isin2)=r1·r2[cos1·cos2+icos1sin2+isin1∙cos2
++isin1·sin2]=r1·r2[(cos1·cos2-sin1sin2)+i(cos1· sin2+ sin1cos2)]= =r1·r2[cos(1+2)+isin(1+2)].
Shunday qilib, z1·z2= r1·r2[cos(1+2)+isin(1+2)], (4) ya„ni ikkita kompleks sonlar ko‟paytirnilganda ularning modullari ko‟paytiriladi, argumentlari esa qo‟shiladi.
2-misol. z1=3-i va z2=3-i kompleks sonlarning ko‟paytmasi topilsin.
Yechish. z1·z2=(3-i)(4+2i)=12+6i-4i-2i2=14+2i.
3-misol.z1  4cos11 isin11 va z2  3cosisin  kompleks sonlarning
 6 6   3 3 
ko‟paytmasi topilsin.
Yechish. (4) formulaga binoan:

z1z2  4cos11 6 isin 11 6 3cos 3 isin 3   43cos116 3  isin116 3  
     

 12cos2 6  isin26   12cos 6 isin 6   12 23 i 12   6 3  6i. 


4-misol. z=a+ib va z a ib qo‟shma kompleks sonlar ko‟paytirilsin.
Yechish. zz  (a ib)(a ib)  a2 (ib)2 a2 b2 yoki zz | z |2, chunki
| z || z | a2 b2 .
Demak, qo‟shma kompleks sonlarni ko‟paytmasi haqiqiy son ekan.
2.4 Kompleks sonlarni bo‟lish. z1=a1+ib1 sonning z2=a2+ib2 (a22 b22  0) kompleks soniga bo‟linmasi deb z2 son bilan ko‟paytmasi z1 ga teng z=х+iу
kompleks songa aytiladi. Demak z z1 va z1 zz2 tengliklar teng kuchli. z2
Kompleks sonni kompleks songa bo‟lish amali bo‟linuvchi va bo‟luvchini bo‟luvchining qo‟shmasiga ko‟paytirish natimjasida amalga oshiriladi:

zz12  aa21 ibib12  (a1 ib1)(a2 ib2 )  a1a22 b12b2 i b1a22  ab122b2 .
(a2 ib2 )(a2 ib2 ) a2 b2 a2 
Agar kompleks sonlar z1=r1(cos1+isin1) va z2=r2(cos2+isin2) trigonometrik shaklda berilgan bo‟lsa, u holda:
z1 r1(cos1 isin1) r1(cos1 isin1)(cos2 isin2)
  
z2 r2(cos2 isin2) r2(cos2 isin2)(cos2 isin2)
r1[(cos1cos2  sinr2(cos1sin22)(ii(sinsin21)cos2) 2  sin2 cos1)] 
2
r1[cos(1 2)  isin(1 2)] r1 [cos(1 2)  isin(1 2)].
r2(cos2 sin22)  r2
2 
Shunday qilib, z1 r1 [cos(1 2 ) isin(1 2 )], (5)
z2 r2
ya„ni ikkita trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni bo‟lishda bo‟linuvchining moduli bo‟luvchining moduliga bo‟linadi, bo‟linuvchining argumentidan bo‟linuvchining argumenti ayriladi.

5-misol. z1=3-2i kompleks son z2=4+i songa bo‟linsin. Yechish. zz1 34 2ii ((34 2ii)()(44 ii)) 3 4  242i(2124  31) 10 17i11 1710 1711i.
2    
6-misol. z1  4cos 3isin 3 kompleks son z2  2cosisin songa bo‟linsin.
 4 4   4 4 

Yechish. (5) formulaga binoan: zz1  42 сos3  isin3   2cos2 isin2   2(0 i)  2i.

2   4 4   4 4  
Yuqoridagilardan kelib chiqib quyidagicha xulosa qilishimiz mumkin.
Kompleks sonlarni qo‟shish va ayirishda ularning algebraic shakldagi, yozuvdagi (1),
  1. formulalardan, ko‟paytirish va bo‟lishda trigonometric shakldagi (4) va (5) formulalardan foydalanish maqsadga muvofiq.




2.5. Kompleks sonni darajaga ko‟tarish. Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni ko‟paytirish qoidasini ya‟ni (4) formulani kompleks sonlar bir nechta umumiy holda n ta bo‟lganda ham umumlashtirish mumkin, ya‟ni z1=r1(cos1+isin1),
z2=r2(cos2+isin2),
………………………….
zn=rn(cosn+isinn)
sonlarning ko‟paytmasi
z1 · z2… zn=r1·r2… ·rn[ cos(1+2+…+n)+isin(1+2+…+n)] formula orqali topiladi. Bu formuladan kompleks sonlar o‟zaro teng z1= z2=… zп=z=r(cos+ isin) bo‟lganda zn=[r(cos+isin)]n=rn(cosn+sinn) (6)
formulaga ega bo‟lamiz.
Bu formula Muavr formulasi deb ataladi. Bu formula kompleks sonni biror natural darajaga ko‟tarish uchun uning modulini shu darajaga ko‟tarish lozimligini, argumentini esa daraja ko‟rsatgichiga ko‟paytirish kerakligini ko‟rsatadi. 7-misol. (1+i)20 ni hisoblang.
Yechish. |z|= r= 12 12  2  arctg 1 bo‟lgani uchun
1 4

1+i= z= 2cosisin  bo‟lib (6) formulaga binoan


 4 4 
20
z20=(1+i)20=  2cos4 isin 4   220cos20 4 isin20 4  
=210cos5isin51024(cosisin)  1024.
Muavr formulasida r=1 deb olinsa (cos+isin)n= cosп+isinп (7) formula kelib chiqadi. Bu formula cosп, sinп funksiyalarni cos, sin funksiyalarning darajalari orqali ifodalash imkonini beradi.
Masalan, n=2 da (cos+isin)2= cos2+isin2 ga ega bo‟lamiz, bundan:
cos2+2i cos sin+i2 sin2=cos2+isin2, cos2- sin2 +2i sincos=cos2+isin2.
Ikki kompleks sonlarni tengligi shartidan foydalansak cos2=cos2- sin 2 , sin2=2sin·cos ma„lum formulalarga ega bo‟lamiz.
Shuningdek n=3 da (7) formula (cos+isin)3=cos3+isin3 ko‟rinishga ega bo‟lib, bundan:
cos3+3·cos2·i sin+3cos(isin)2+(isin)3=cos3+isin3, (cos3-3·cos· sin2)+ i(3cos2sin-sin3)=cos3+isin3.
Ikki kompleks sonlarni tengligi shartiga asoslanib cos3= cos3- 3cos· sin2, sin3=3 cos2sin-sin3
formulalarni hosil qilamiz. n=4 ga (7) formula (cos+ isin)4=cos4 + isin4. ko‟rinishga ega bo‟ladi.
Chap tomonni 4 darajaga ko‟taramiz.
(cos+ isin)4=[(cos+isin)2] 2=[cos2+isin2]=cos22-sin22+2 isin2 cos2=
(cos22-sin22)2-(2sin cos)2+2i*2sin cos( cos2-sin2)= cos4 +sin4-6 sin2 cos2+4i(sincos3-sin3cos)
Bu formulani (7) formulani n=4 dagi qiymatini o‟ng tomoniga tenglab cos4+sin4-6 sin2 cos2+4i(sincos3-sin3cos)=cos4+isin4 ga ega bo‟lamiz. Ikki kompleks sonni tengligi shartiga asoslanib, cos4= cos4 +sin4-6 sin2 cos2 sin4=4(sincos3-sin3cos)
Formulalarni hosil qilamiz. Xuddi shu tarzda (7) formuladan foydalanib, ga karrali burchaklarni sinus va cosinus larni ga bog‟liq formulalarini keltirib chiqarish mumkin.


Yüklə 49,47 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə