O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti

2.7. Ikki hadli tenglamalarni yechish. zⁿ=А ko‟rinishdagi tenglama ikki hadli tenglama deyiladi, bunda А aniq kompleks son. Shu tenglamaning ildizlarini topamiz.
а) А kompleks son bo‟lsin. Bu holda (8) formulaga binoan tenglamaning ildizlari

zk  n A  n | A|cos 2kisin  2k (9)
 n n 
formula yordamida topiladi, bunda =argA, k=0,1,2,…n-1.
b) А musbat haqiqiy son bo‟lsin. U holda _=argA=0 bo‟lib (9) formula

zk  n A cos 2k  isin 2k (10)
 n n 
ko‟rinishini oladi (k=0,1,2,,...,n-1)
d) А manfiy haqiqiy son bo‟lsin. U holda _=argA=р bo‟lganligi sababli (9)

formuladan zk  n | A|cos 2kisin  2k (11)

 n n 
hosil bo‟ladi. Xususiy holda zⁿ=1 tenglamaning barcha ildizlari

z_k  ⁿ 1 _ cos ^2k_isin ^2k (12) n n
formula yordamida, zⁿ=-1 tenglamaning barcha ildizlari

z_k  ⁿ 1  cos^{  2k}_isin^{  2k} (13) n n
formula yordamida topiladi (k=0,1,2, n-1).
9-misol. z⁴=1 tenglama yechilsin.
Yechish. (12) formulaga binoan z_k  cos ^2k_isin ^2k_ cos ^k_isin ^k
4 4 2 2
bo‟ladi. k o‟rniga 0,1,2,3 qiymatlarni qo‟yib ushbularni topamiz: z₀=cos0+isin0=1,
z₁=_cos^ _i_sin^ =0+i=i,
2 2
z₂=cos р+isin р=-1, z₃=_cos ^3 _i_sin ^3=-i. Javob: z0=1, z1=i, z2=-1, z3=-1.
2 2
Mustaqil yechish uchun mashqlar.

1. (3+2i)+(2-i) topilsin. Javob: 5+i.

   
   

2. (4+3i)-(6-4i) topilsin. Javob: -2+7i.

   
   

3. (3+2i)(2-3i) topilsin. Javob: 12-5i.

   
   

4. (3+5i)(4-i) topilsin. Javob: 17+17i.

   
   
5. 
   
   ^3i topilsin. Javob: ⁷ _ ¹⁹ i .
   

4  5i 41 41

6. 
   
   ^1i topilsin. Javob: ¹ i .
   

 2  2i 2

7. (4-7i)³ topilsin. Javob: -524+7i.

   
   

8. (2(cos18^o+isin18^o))⁵ topilsin. Javob: 32i.

   
   

9. Quyidagi algebraik shakldagi kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltirib, so‟ngra Muavr formulasini qo‟llang.

   
   

а) (1+i)¹⁰; b) (1-i)¹⁶; d) ( 3 _i)²⁰; e) ( 3 _i)³⁰; f) (1+cosб+isinб)^п.

10. z₁=3(cos20^o-isin20^o) son z₂=2(cos10^o-isin10^o) songa bo‟linsin. Javob:  3 _i.

    
    
11. 
    
    ³ 8 topilsin. Javob: 1i 3; 2; 1i 3 .
    

1 2.z   2 i 3 topilsin. Javob: z₁  ³ 2^_cos^_isin^{ }_,

 4 4 

z2  isin11 , z3  3 2cos19isin19.
12   12

13. z³  i tenglama yechilsin. Javob: z₁  ; z₂  i ³ ; z₃ 1.

22

Adabiyotlar

1. Б.А.Абдалимов. Олий математика. Тошкент, “Ўқитувчи”, 1994

   
   

2. Г.Н.Берман. Сборник задач по математическому анализу. Москва, “Наука”, 1985.

   
   

3. Ё.У.Соатов. Олий математика, 3-жилд. Тошкент, “Ўқитувчи” 1996.

   
   

http://fayllar.org