O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti

2.6 Kompleks sondan ildiz chiqarish. z kompleks sonni n–darajali ildizi ⁿ z deb n–darajasi ildiz ostidagi songa teng bo‟lgan w kompleks songa aytiladi, ya„ni

wⁿ=z bo‟lganda ⁿ z  w (n_N).

Agar z=r(cos_+isin_) va w=ρ(cosө+isinө) bo‟lsa

ⁿ z(cosisin) = ρ(cosө+isinө)
tenglik o‟rinlidir. Bundan Muavr formulasiga binoan z=r(cos_+isin_)=[ ρ(cosө+isinө)]ⁿ=ⁿ ρ(cosnө+isinө) hosil bo‟ladi.
Teng kompleks sonlarni modullari teng, argumentlari esa 2π karrali songa farq qilishini hisobga olsak oxirgi tenglikdan ρⁿ= r, π=_+2рк ga ega bo‟lamiz . Bundan ρ va ө ni

topamiz: _ ⁿ r, _^{  2k} , bunda к -istalgan butun son, ⁿ r -arifmetik ildiz. n

Demak, w_k  ⁿ r(cosisin) _ ⁿ r(cos^{ 2k} _isin^{  2k}). (8)
n n
k ga 0 dan n-1 gacha qiymatlarini berib, ildizning п ta har xil qiymatlarini topamiz. k ning n-1 dan katta qiymatlarida argumentlar topilgan qiymatlardan 2р ga karrali songa farq qiladi va demak, topilgan ildizlar avvalgilar bilan bir xil bo‟ladi. Masalan, k=0 va k=n bo‟lgangdagi, k=1 va k=n+1 bo‟lgandagi va hokazo ildizlar bir xil bo‟ladi. Shunday qilib, kompleks sonning n-darajali ildizi п ta har xil qiymatlarga ega bo‟lar ekan. Kompleks sonning ildizini topish formulasi (8) ga k=0,1,2,…, n-1deb, yozib qo‟yilishi kerak. Shuningdek noldan farqli haqiqiy sonning n-darajali ildizi ham n ta har xil qiymatlarga ega bo‟ladi, chunki haqiqiy son kompleks sonning xususiy holi.

8-misol. ³1 ning barcha qiymatlari topilsin va ular kompleks tekislikda vektor shaklida tasvirlansin.

Yechish. z=1=1+0i ni trigonometrik shaklda yozamiz. а=1, b=0 bo‟lgani uchun z  r  1² 0² 1,  arctg  0 va z  cos0 isin0 ga ega bo‟lamiz.

U holda (8) formula ³ 1 _ ³ сos0 isin 0  cos ^2k _isin ^2k ko‟rinishga ega

3 3
bo‟ladi, bunda k=0,1,2. k=0 da w₁=cos0+isin0=1,

k=1 da w₂  cos ^2_isin ^2_ cos^_^_^_isin_^_^_sin^ _icos  i ,

3 3  2 6   2 6  6
k=2 da w3  cos 4isin 4  cos isin   cos isin   .
3 3  3   3  3 3 2
w₁, w₂ va w₃ kompleks sonlarning barchasini moduli 1 ga teng ekanligini hisobga olib markazi koordinatalar boshida bo‟lib radiusi 1 ga teng aylana yasaymiz. Boshi koordinatalar boshida bo‟lib uchi shu aylanada yotgan, hamda 0х o‟qning musbat yo‟nalishi bilan

0⁰,120⁰ va 240^{0 }_0_, ^2v_а ^4_ burchak tashkil

 3 3 

etuvchi ОА, _ОВ va _ОС vektorlar 6-chizma. mos ravishda w₁, w₂ va w₃ kompleks sonlarining geometrik tasviri bo‟ladi. (6-chizma).

Shunday qilib, ³1 ning uchta qiymati ³1 =1+io; ³ 1 =-^_ ¹ _^ + i ; ³ 1 = -_^{ 1 }_ - i .
 2  2