O’zbekstan respublikasi joqari ha’m orta arnawli

§2. Karleman formulası

Meyli bir baylanıslı, shegaralanǵan hám shegarası bólekli sıypaq oblast bolsın.

Eger bolsa, onda tómendegi Koshi formulası orınlı:
(2.1)
Berilgen oblasttıń shegarasında Lebeg oń ólshemi bolatuǵın kópligin qarastıramız. Bizge belgili (2.1) formulası funksiyasınıń pútkil shegarada berilgen mánisleri boyınsha oniń oblast ishindegi mánislerin tikleydi.
Endi máseleni tómendegishe qaraymız:
funksiyasın oblastında kópligindegi mánisleri boyınsha tiklew talap etilsin. Bul jaǵdayda bazı bir shegaradaǵı kóplik boyınsha alınǵan integraldı “sóndiriwshi” funksiya dúziledi.
Usı maqsette
1.
2.
shártlerin qanaatlandırıwshı járdemshi funksiyasın dúziw kerek. Bunday funksiyanı Dirixle máselesin sheshiw arqalı tabıwǵa boladı.
Meyli,
(2.2)
bul jerde nıń doǵası, al oblastı ushın Grin funksiyası (2.2) formulası oblastında garmonikaıq hám shegaralanǵan jáne de

bolǵan funksiyanı anıqlaydı, yaǵnıy kópliginiń oblastına qarata garmonikalıq ólshemli boladı.
Meyli ǵa túyinles bolǵan garmonikalıq funksiya, onda funksiyası joqarıdaǵı 1 hám 2-shártlerdi qanaatlandıradı.
Teorema 2.1. (Qarań [2]) (Goluzin-Krılov) Eger hám Lebeg oń ólshemli bolatuǵın kóplik bolsa, onda qálegen noqatında
(2.3)
Karleman formulası orınlı. (2.3) teńligindegi jıynaqlılıq oblastınıń hár bir kompaktinde teń ólshemli jıynaqlı boladı.
Dálilleniwi. funksiyası tiyisli bolıp, Koshi formulası boyınsha

Bul integraldı ekige ajıratsaq


(2.4)

(2.4) integralınıń oń jaǵındaǵI ekinshi qosılıwshı integral da hár bir kompaktinde nolge umtıladı.

Usıǵan uqsas qálegen sanı ushın funksiyasın alıp

formulasın keltirip shıǵarıwǵa boladı.
Saldar: Teorema 2.1 diń shártleri orınlı bolǵanda


(2.5)

Haqıyqattan

(2.4) hám (2.5) salıstırıp ushın

teńligine iye bolamız.
Mısallar: 1. Meyli bir baylanıslı oblast onıń shegarası, nıń doǵası. Bir baylanıslı oblastın qarastıramız, onıń shegarası


Ø
Onda funksiyası ushin oblastın birlik dóńgeleginiń sırtına ke ótetuǵın noqatı oblastınan sırtta jatatuǵınday qılıp ótkizetuǵın conform sáwlelendiriwdi alıwǵa yamasa funksiyasın alıp dep alıw múmkin.
2. Meyli eki baylanıslı oblast, -tuyıq ápiwayı konturlar hám -sırtqı, -ishki konturlar bolsın.
Eger dep alsaq, onda ushın konturınıń ishin diń sırtına conform sáwlelendiretuǵın funksiyanı alıwǵa boladı, niń ishinde.
Tastıyıqlaw 1: Meyli,

bolsın. Usı bir baylanıslı oblastın qarastıramız (2-súwret):

2-súwret
Eger bolsa, onda noqatı ushın

formulası orınlı boladı.
Dálilleniwi: funksiyası da Xardi klasına tiyisli bolǵanlıqtan, bunda , bul funksiya ushın Koshidiń integrallıq formulası orınlı

bul integralda dep alıp

qosındıǵa iye bolamız.
Bul teńliktiń eki jaǵın dárejesine bólemiz


.

Bul teńlikte ótsek bolǵanlıqtan

onda

Tastıyıqlaw 2: Eger

al

dep alsaq, onda noqatı ushın

formulası orınlı boladı.

Dálilleniwi: 1-tastıyıqlawdıń dálilleniwine uqsas. Ayırım jaǵdaylarda funksiyasın shegaralıq mánisleri arqalı oblasttıń barlıq noqatlarında emes, al onıń qandayda bir úles kópliginde tiklew jetkilikli.