Sonli ifodlar va ularni hisoblash reja: «Boshlang’ich sinf o’quvchilarini sonli ifodalar ustida ishlashga o’rgatish metodlari»

(A) • (C) = (B) • (D); (A): (C) = (B): (D)
tengliklar ham rost bo'ladi.
A < В tengsizlikni (bunda, A va В — sonli ifodalar) biz rost deymiz, agar A va В ifodalar sonli qiymatlarga ega bo'lib, shu bilan birga A ifodaning sonli qiymati В ifodaning sonli qiymatidan kichik bo'lsa. Masalan, (18-3):5<3 + 4 tengsizlik rost, chunki (18 - 3): 5 ning qiymati 3 ga, 3 + 4 ning qiymati 7 ga teng, 3 < 7.
A = B, C< D ko'rinishdagi yozuvlar (bunda, A, B, C, D — sonli ifodalar) mulohaza (jumla) bo'lgani uchun biz ular ustida konyunksiya, dizyunksiya, implikatsiya va boshqa mantiqiy amallarni bajarishimiz mumkin. Masalan, A < В tengsizlik A < В tengsizlik va A - В tenglikning dizyunksiyasidir:
A < В = (A < B) U (A = B).
A < В tengsizlik A < В, А = В mulohazalardan aqalli bittasi rost bo'lsa ham rost bo'ladi. Masalan, (2 • 4 + 15) • 2 < 35 + 19 tengsizlik rost, chunki (2 - 4 + 15) • 2 ifodaning qiymati 46 ga teng, 35+19 ning qiymati esa 54 ga teng, 46 < 54 tengsizlik rost.
Boshlang’ich sinflar matematika predmetining o’quv dasturi o’z oldiga
o’quvchilarni sonlar va matematik ifodalarni taqqoslash, uning natijalarini

• 
  < — , — > — , — = — belgilar yordamida yozish va hosil bo’lgan tengliklar va tengsizliklarni o’qishga o’rgatishni vazifa qilib qo’yadi.
  

Tengliklar, tengsizliklar va tenglamalar haqidagi tushunchalar o’zaro bog’lanishda olib boriladi. Ular ustidagi ish 1 - sinfdan boshlab, arifmetik materialni o’rganish bilan uzviy holda olib boriladi. 3 - sinfda sonli tenglik va tengsizlik haqida boshlang’ich tasavvurlar shakllantiriladi.
2x + 4(19 - x) = 62, ya'ni 76 - 2x = 62. Tenglama bajarilishi kcrak. Bu tenglamani yechamiz: 2x = 76 - 62 = 14, shuning uchun x = 7. Demak, qafasda 7 ta tustovuq va 12 ta quyon bo'lgan.
Agar masala shartida quyon va tustovuqlarning oyoqlari soni 61 ta bo'lganda edi 2x + 4(19 - x) = 61 tenglamani hosil qilgan bo'lar edik, bundan x = 7. Bu masala shartiga zid, chunki x - natural son. Biz masalani yechib, unda oyoqlar soni 80 ta ekanligini topish bilan ham ziddiyatga kelar edik. 2x + 4(19 - x) = 80 tenglamaning ildizi x = - 2, lekin tustovuqlar soni manfiy bo'la olmaydi. Umuman, x soni 18 dan katta bo'lmagan natural sonlardan iborat bo'lishi kerak (qafasda hech bo'lmaganda bitta quyon bor deb hisoblansa), ya'ni x soni x = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18} to'plamga tegishli bo'lishi kerak.
Tenglamalarni yechishda ba'zi shakl almashtirishlarni kiritamiz. Masalan, 76 - 2x = 62 tenglamani yechishda tenglamaning ikkala qismiga 2x ni qo'shib, ikkala qismidan 62 ni ayirdik. Natijada 2x = 14 tenglama hosil bo'ldi. Uni yechish uchun tenglamaning ikkala qismini 2 ga bo'ldik. Bu o'zgarishlarning har biridan keyin yangi tenglama hosil bo'ldi, ammo hosil bo'lgan tenglamalar 76 — 2x = 62 tenglama ham, 2x = 14 tenglama ham, x = 7 tenglama ham (bu ham tenglama) bitta yechimga, aynan 7 soniga ega bo'ldi.
Endi nimaga asoslanib tenglamalarni bunday o'zgartirganimizni va nima uchun bunday o'zgarishlar kiritganimizda yechilayotgan tenglamaning ildizlari o'zgarmatyotganligini aniqlaymiz. Ba'zan bunday tushuntiriladi: tenglamaning yechimlaridan biri x bo'lsin. U holda x ning bu qiymatida tenglama to'g'ri sonli tcnglikka aylanadi. Agar sonli tenglikning ikkala qismiga bir xil son qo'shilsa yoki ikkala qismdan bir xil son ayirilsa, sonli tenglik o'zgarmasligi uchun yuqoridagi o'zgarishlarni kiritib, oxirida x soni nimaga tengligi topiladi. Bunday yondoshishda x ni son deb qabul qilinadi. Biroq yechimga ega bo'lmagan tenglamalar mavjud, masalan, 2x = 2x + 6. Bund an yuqoridagi o'zgarishlarni bajarib 0 = 6 yolg'on tenglikka kelamiz. Bu esa tenglamaning yechimi ni «x son tenglamaning yechimi bo'lsin» degan ibora bilan boshlash mumkin emasligini bildiradi.
Undan tashqari, tenglamani bunday usulda yechish ortiqcha ildizlarga olib keldi, bu iidizlar o'zgartirishlar kiritilganda hosil boigan tenglamalami qanoatlantiradi, ammo dastlab berilgan tenglamani qanoatlantirmaydi. Shunday qilib, tenglamalami ko'rsatilgan usulda yechishda har bir topilgan ildizni tenglamaga qo'yib tekshirish kerak, buni har doim ham bajarib bo'lmaydi.
Shuning uchun tenglama va uning ildizlariga aniqroq ta'rif beramiz: x o'zgaruvchili fi (x) va f₂(x) ikki ifoda berilgan bo'lsin, bunda x o'zgaruvchi birorta to'plamning qiymatlarini birin-ketin qabul qiladi. Bir o'rinli f_i (x) va f₂(x) xe X predikatni tenglama deymiz. Tenglamani yechish x o’zgaruvchining qiymatlarini topish, ya'ni berilgan predikatning rostlik to'plamini topish demakdir, bu qiymatlarni tenglamaga qo'yganda tenglik hosil bo'ladi.
Kelgusida fi(x) = f₂(x), xe X predikatning rostlik to'plamini tenglamalar yechimining to'plami, bu to'plamga kiruvchi sonlarni tenglamalarning iidizlari deymiz.
Masalan, (x - 1 - (x - 3) =0 tenglama ikkita ildizga ega: 1 va 3, demak, bu tenglamaning yechimlari to'plami T= {1; 3} ko'rinishga ega. Cheksiz ko'p yechimga ega bo'lgan tenglamalar ham mavjud. Masalan, x = XV. tenglamani har qanday nomanfiy son qanoatlantiradi. Bunda yechimlar to'plami barcha nomanfiy sonlardan iborat.
Shunday bo'lishi ham mumkinki, fi (x) = f₂(x) ifoda x to'plamdan olingan birorta a da qiymatga ega emas. U hold a fi (x) = f₂(x) tenglik yolg'on hisoblanadi va shuning uchun a son fi (x) = f₂(x) tenglamaning ildizi bo'la olmaydi.

1. 
   ta’rif. fi(x) = f₂(x) va Fi(x) = F₂(x) ikki tenglamaning yechimlari to plami teng bo 'lsa, teng kuchli deyiladi, ular, у^ш birinchi tenglamaning har bir yechimi ikkinchi tenglamaning yechimi bo ’lsa va aksincha, ikkinchi tenglamaning har qanday yechimi birinchi tenglamani qanoatlantirsa, bu tenglamalar teng kuchlidir.
   

Bunda biz ikkala tenglama bitta X aniqlanish sohasiga ega deymiz. Boshqacha aytganda, agar fi(x) = f₂(x) va F_i(x) = F₂(x) predikatlar ekvivalent bo’lsa, tenglamalar teng kuchli bo 'ladi.

2. 
   ta’rif. Agar f1(x) = f₂(x) tenglamaning yechimlar to'plami Fj(x) = F₂(x) tenglamaning yechimlar to'plamining qism to'plami bo'lsa, F₁(x) = F₂(x) tenglama f1 (x) = f₂(x) tenglamaning natijasi deyiladi.
   

Boshqacha aytganda, agar f1(x) = f₂(x) tenglamaning har bir ildizi F₁(x) = F₂(x) tenglamani qanoatlantirsa, F₁(x) = F₂(x) tenglama f1(x) = f₂(x) tenglamaning natijasidir.
Masalan, (x + l) =16 tenglama x + 1 =4 tenglamaning natijasidir. Haqiqatan, x + 1 - 4 tenglama bitta x = 3 ildizga ega. Bu iidizni (x + l) = 16 tenglamaga qo'yib, (x +1) = 16 rost tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik 3 soni (x +

1. 
   = 16 tenglamani ham qanoatlantirishini ko'rsatadi.
   

Agar ikki tenglamaning har biri ikkinchisining natijasi bo'lsa, bu ikki tenglama teng kuchli deyiladi.
Ba'zan tenglama ikki yoki undan ortiq tenglamalar dizyunksiyasiga teng kuchli bo'ladi. Masalan, (x - 1)(x - 3) = 0 tenglamani va ikki tenglama dizyunksiyasi (2x - 1= 0) ^ (7x - 21) = 0 ni olaylik. (x - 1)(x - 3) = 0 tenglamaning yechimlar to'plami {1; 3}. Agar ikki son ko'paytmasida ko'paytiruvchilardan aqalli bittasi nolga teng bo'lsa, ko'paytma nolga teng bo'ladi, u holda (2x - 2 = 0) U (7x - 21) = 0 tenglamaning dizyunksiyasi x ning barcha qiymatlarida rost mulohaza bo'ladi. x ning bu qiymatlari uchun 2x - 2 = 0 yoki 7x - 21 = 0 mulohazalardan aqalli bittasi rost bo'ladi. Agar x = 1 bo'lsa, 2x - 2 = 0 rost, x — 3 bo'lsa, 7x— 21 =0 ham rost. Demak, {1; 3} dizyunksiyasi rost to'plami bo'ladi. Bu esa (x - l)(x - 3) =

1. 
   tenglamaning (2x -2 = 0)U (7x-21) = 0 dizyunksiyaga teng kuchliligini bildiradi.
   

x = a tenglamaning yechimini topish juda oson, uning yechimlari to'plami bitta a sondan iborat, T= {a}. Shuning uchun tenglamalarni yechishda ular sodda ko'rinishga ega bo'lgan teng kuchli tenglamalar bilan almashtiriladi, bu almashtirish x=a tenglamaga yoki shunday tenglamalar dizyunksiyasi x = a₁ U x = a₂ U Ux = a_n ga kelguncha davom ettiriladi. U holda berilgan tengla­maning yechimlari to'plami T = {a₁; a₂; ...; a_n} bo'ladi. Ba'zan berilgan tenglamadan unga teng kuchli tenglamaga emas, uning natijasiga o'tishga to'g'ri keladi. Bunda yechimlar to'plami kengayadi, shuning uchun oxirida topilgan hamma ildizlarni berilgan tenglamaga qo'yib, tekshiriladi. A < В < С qo'sh tengsizlik A < В va В < С tengsizliklarning konyunksiyasidir. Bu qo'sh tengsizlik A < В va В < С tengsizliklarning ikkalasi ham rost bo'lsa, rost bo'ladi. Masalan, 16 + 4<125:5<3-10 tengsizlik rost. Haqiqatan, 16 + 4 ning qiymati 20 ga, 125 : 5 ning qiymati 25 ga, 3 • 10 ning qiymati 30 ga teng. 20 < 25 va 25 < 30 bo'lgani uchun qo'sh tengsizlik rost bo'ladi.