Vеktоrlar. Vеktоrlar оrasidagi burchak, vеktоrining o`qqa prоеksiyasi. Kоllinеar va kоmplanar vеktоrlar. Vеktоrning kооrdinatalari

Vektorlar ustida amallar.
1 . Vektorlarni qo‘shish.
T
4-chizma
a’rif. Ikkita va vektorlarning yig‘indisi deb istalgan A nuqtadan vektorni qo‘yib, uning oxiri ga vektorni qo‘yganda boshi vektorning boshi da, oxiri vektorning oxiri da bo‘lgan vektorga aytiladi. (4-chizma).
vektorlarning yig‘indisi bilan belgilanadi.
V
5-chizma
ektorni qo‘shish ta’rifidan istalgan va uch nuqta uchun
(1)
tenglik o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi. (1) tenglik vektorlarni qo‘shishning uchburchak qoidasi deyiladi.
Ikki kollinear vektorni qo‘shish ham shu qoida bo‘yicha bajariladi.
Vektorlarni qo‘shish amali quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Qo‘shishning gruppalash (assotsiativlik) xossasi. Har qanday
   

vektorlar uchun munosabat o‘rinli.
Isbot. Vektorlarni qo‘shishning uchburchak qoidasidan (5-chizma):




bundan ekani kelib chiqadi.
Qo‘shiluvchi vektorlarning soni ikkitadan ortiq bo‘lganda ularni qo‘shish quyidagicha bajariladi. Berilgan vektorlarning yig‘indisini hosil qilish uchun vektorning oxiriga vektorning boshini qo‘yish keyin, vektorning oxiriga vektorning boshini qo‘yish va h.k. Bu ishni oxirgi vektor ustida bajarilguncha davom ettirish kerak. Yig‘indi vektor yani yig‘indisi bo‘lgan vektor boshi vektorning boshidan, oxiri esa vektorning oxiridan iborat vektor bo‘ladi.

6 - chizma
M asalan, 6-chizmadagi vektor berilgan vektorlarni qo‘shishdan hosil bo‘lgan vektordir.

7 - chizma

2) Qo‘shishning o‘rin almashtirish (kommutativlik) xossasi. Har qanday ikkita va vektor uchun tenglik o‘rinlidir.

Isbot: va bo‘lsin. Ikki hol bo‘lishi mumkin:
a) vektorlar kollinear emas. Bu holda nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda yotmaydi (7-chizma) uchburchakni parallelogrammga to‘ldirsak, vektorlarni qo‘shishning uchburchak qoidasiga ko‘ra:


bu ikki tenglikdan esa kelib chiqadi.
b) bo‘lsin. Bu holda nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda yotadi. to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan nuqta olaylik, u holda
(2)
a) holga ko‘ra .
Lekin bo‘lgani uchun:
(3)
qarama-qarshi vektorlar yig‘indisi ga teng bo‘lgani uchun ikkinchi tomondan,
(4)
(3) va (4) tengliklardan tenglikka ega bo‘lamiz.
3) har qanday vektorga nol vektor qo‘shilsa, vektor hosil bo‘ladi, ya’ni Uchburchak qoidasiga ko‘ra istalgan vektor uchun tenglik yoki tenglik o‘rinli.
4) har qanday vektor uchun shunday mavjudki, uning uchun:
(5)