Velocity and displacement correlation functions for fractional generalized langevin equations

2.1. Relaxation functions, variances and MSD
We use the Laplace transform method to analyze the FGLE. Thus,
relations (2.1) and (4.17) yield
ˆ
V
(
s
) =
v
0
s
μ
−
1
s
μ
+ ˆ
γ
(
s
)
+
1
s
μ
+ ˆ
γ
(
s
)
ˆ
F
(
s
)
,
(2.2)
ˆ
X
(
s
) =
x
0
1
s
+
v
0
s
μ
−
ν
−
1
s
μ
+ ˆ
γ
(
s
)
+
s
−
ν
s
μ
+ ˆ
γ
(
s
)
ˆ
F
(
s
)
,
(2.3)
where ˆ
V
(
s
) =
L
[
v
(
t
)](
s
), ˆ
X
(
s
) =
L
[
x
(
t
)](
s
), ˆ
γ
(
s
) =
L
[
γ
(
t
)](
s
), ˆ
F
(
s
) =
L
[
ξ
(
t
)](
s
). Here we introduce the following functions
ˆ
g
(
s
) =
1
s
μ
+ ˆ
γ
(
s
)
,
(2.4)
ˆ
G
(
s
) =
s
−
ν
s
μ
+ ˆ
γ
(
s
)
,
(2.5)

---

VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
431
ˆ
I
(
s
) =
s
−
2
ν
s
μ
+ ˆ
γ
(
s
)
.
(2.6)
By applying inverse Laplace transform to relations (2.2) and (2.3), for the
displacement
x
(
t
) and velocity
v
(
t
) =
C
D
ν
0+
x
(
t
) it follows:
v
(
t
) =

v
(
t
)

+
t
0
g
(
t
−
t

)
ξ
(
t

)d
t

,
(2.7)
x
(
t
) =

x
(
t
)

+
t
0
G
(
t
−
t

)
ξ
(
t

)d
t

,
(2.8)
with
G
(0) = 0, where

v
(
t
)

=
v
0
·
C
D
μ
+
ν
−
1
0+
G
(
t
)
,
(2.9)

x
(
t
)

=
x
0
+
v
0
·
C
D
μ
+
ν
−
1
0+
I
(
t
)
,
(2.10)
and
g
(
t
) =
L
−
1
[ˆ
g
(
s
)] (
t
),
G
(
t
) =
L
−
1
ˆ
G
(
s
)
(
t
),
I
(
t
) =
L
−
1
ˆ
I
(
s
)
(
t
) are
known as relaxation functions. From relations (2.4), (2.5), (2.6) and (4.17)
it follows that
C
D
ν
0+
G
(
t
) =
g
(
t
) and
C
D
ν
0+
I
(
t
) =
G
(
t
).
From relations (2.7), (2.8) and (1.3), in case of an internal noise, follow
the following general expressions of variances
σ
xx
=

x
2
(
t
)
 − 
x
(
t
)

2
= 2
t
0
d
t
1
G
(
t
1
)
t
1
0
d
t
2
G
(
t
2
)
C
(
t
1
−
t
2
)
= 2
k
B
T
1
Γ(
ν
)
t
0
d
ξG
(
ξ
)
ξ
ν
−
1
−
t
0
d
ξG
(
ξ
)
C
D
μ
0+
G
(
ξ
)
,
(2.11)
σ
xv
=

(
v
(
t
)
− 
v
(
t
)

) (
x
(
t
)
− 
x
(
t
)

)

=
t
0
d
t
1
g
(
t
1
)
t
0
d
t
2
G
(
t
2
)
C
(
t
1
−
t
2
)
=
k
B
T
1
Γ(
ν
)
t
0
d
ξg
(
ξ
)
ξ
ν
−
1
−
t
0
d
ξg
(
ξ
)
C
D
μ
0+
G
(
ξ
)
−
t
0
d
ξG
(
ξ
)
RL
D
μ
0+
g
(
ξ
)
,
(2.12)
σ
vv
=

v
2
(
t
)
 − 
v
(
t
)

2
= 2
t
0
d
t
1
g
(
t
1
)
t
1
0
d
t
2
g
(
t
2
)
C
(
t
1
−
t
2
)
=
−
2
k
B
T
t
0
d
ξg
(
ξ
)
RL
D
μ
0+
g
(
ξ
)
,
(2.13)

---

432
T. Sandev, R. Metzler, ˇ
Z. Tomovski
where it is used the symmetry of the correlation function
C
(
t
1
−
t
2
). For
μ
= 1 and 0
< ν <
1 it is obtained
σ
xx
=
k
B
T
2
Γ(
ν
)
t
0
d
ξG
(
ξ
)
ξ
ν
−
1
−
G
2
(
t
)
,
(2.14)
σ
xv
=
k
B
T
1
Γ(
ν
)
t
0
d
ξg
(
ξ
)
ξ
ν
−
1
−
g
(
t
)
G
(
t
)
,
(2.15)
σ
vv
=
k
B
T
1
−
g
2
(
t
)
.
(2.16)
The case
ν
= 1 and 0
< μ <
1 yields the following results [15, 12]
σ
xx
= 2
k
B
T
I
(
t
)
−
t
0
d
ξG
(
ξ
)
C
D
μ
0+
G
(
ξ
)
,
(2.17)
σ
xv
=
1
2
d
σ
xx
d
t
=
k
B
T G
(
t
)
1
−
C
D
μ
0+
G
(
t
)
,
(2.18)
σ
vv
=
−
2
k
B
T
t
0
d
ξg
(
ξ
)
RL
D
μ
0+
g
(
ξ
)
.
(2.19)
Furthermore, for
μ
=
ν
= 1 we obtained the well known expressions [56, 53]
σ
xx
=
k
B
T
2
I
(
t
)
−
G
2
(
t
)
,
(2.20)
σ
xv
=
k
B
T G
(
t
) [1
−
g
(
t
)]
,
(2.21)
σ
vv
=
k
B
T
1
−
g
2
(
t
)
.
(2.22)
From relation (2.11) for the MSD we obtain

x
2
(
t
)

=
x
2
0
+ 2
x
0
v
0
C
D
μ
+
ν
−
1
0+
I
(
t
) +
v
2
0
C
D
μ
+
ν
−
1
0+
I
(
t
)
2
+2
k
B
T
t
0
d
ξG
(
ξ
)
ξ
ν
−
1
Γ(
ν
)
−
2
k
B
T
t
0
d
ξG
(
ξ
)
C
D
μ
0+
G
(
ξ
)
,
(2.23)
from where it follows
D
(
t
)
=
1
2
d
d
t

x
2
(
t
)

=
x
0
v
0
C
D
μ
+
ν
0+
I
(
t
) +
v
2
0
C
D
μ
+
ν
−
1
0+
I
(
t
)
C
D
μ
+
ν
0+
I
(
t
)
+
k
B
T G
(
t
)
t
ν
−
1
Γ(
ν
)
−
k
B
T G
(
t
)
C
D
μ
0+
G
(
t
)
.
(2.24)
For
μ
= 1 and 0
< ν <
1 it follows
D
(
t
) =
x
0
v
0
G

(
t
) +
v
2
0
−
k
B
T
G
(
t
)
G

(
t
) +
k
B
T G
(
t
)
t
ν
−
1
Γ(
ν
)
.
(2.25)

---

VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
433
The case
ν
= 1 and 0
< μ <
1 yields the time-dependent diffusion coefficient
D
(
t
)
=
x
0
v
0
C
D
μ
0+
G
(
t
) +
v
2
0
C
D
μ
0+
I
(
t
)
C
D
μ
0+
G
(
t
) +
k
B
T G
(
t
)
−
k
B
T G
(
t
)
C
D
μ
0+
G
(
t
)
,
(2.26)
and for
μ
=
ν
= 1 we obtain D
(
t
) =
x
0
v
0
g
(
t
) +
v
2
0
−
k
B
T
G
(
t
)
g
(
t
) +
k
B
T G
(
t
)
,
(2.27)
which in case of thermal initial conditions (
x
0
= 0,
v
2
0
=
k
B
T
) turns to the
well known results D
(
t
) =
k
B
T G
(
t
)
,
(2.28)
and

x
2
(
t
)

= 2
k
B
T I
(
t
)
.
(2.29)