Velocity and displacement correlation functions for fractional generalized langevin equations

2.2. Explicit forms
In case of a frictional memory kernel of the M-L type relation ˆ
γ
(
s
) =
C
α,β,δ
k
B
T τ
αδ
·
s
αδ
−
β
(
s
α
+
τ
−
α
)
δ
.
(2.30)
From relations obtain
g
(
t
) =
∞
k
=0
(
−
1)
k
γ
k
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)
k
+
μ
−
1
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
μ
(
−
(
t/τ
)
α
)
,
(2.31)
G
(
t
) =
∞
k
=0
(
−
1)
k
γ
k
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+
ν
−
1
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
,
(2.32)
I
(
t
) =
∞
k
=0
(
−
1)
k
γ
k
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+2
ν
−
1
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+2
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
,
(2.33)
where
γ
α,β,δ
=
C
α,β,δ
k
B
T τ
αδ
, and
G
(0) = 0 since
μ
+
ν >
1. The convergence of
series Ref. Employing relation average particle displacement become, respectively,

v
(
t
)

=
v
0
∞
k
=0
(
−
1)
k
γ
k
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)
k
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+1
(
−
(
t/τ
)
α
)
,
(2.34)

---

434
T. Sandev, R. Metzler, ˇ
Z. Tomovski

x
(
t
)

=
x
0
+
v
0
∞
k
=0
(
−
1)
k
γ
k
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)
k
+
ν
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
ν
+1
(
−
(
t/τ
)
α
)
.
(2.35)
Note that if
μ
=
ν
= 1 the results in Ref.[43] are recovered. Furthermore,
if
τ
→
0, by using (4.7), relations (2.31), (2.32) and (2.33) yield
g
(
t
) =
t
μ
−
1
E
μ
+
β
−
αδ,μ
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
,
(2.36)
G
(
t
) =
t
μ
+
ν
−
1
E
μ
+
β
−
αδ,μ
+
ν
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
,
(2.37)
I
(
t
) =
t
μ
+2
ν
−
1
E
μ
+
β
−
αδ,μ
+2
ν
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
,
(2.38)
where
μ
+
β
−
αδ >
0. Note that for
β
=
δ
= 1 the results in Ref. [28]
are obtained. Substitution of
ν
=
β
=
δ
= 1 yields the results from Refs.
[15, 12, 28]. The case
β
=
δ
=
μ
=
ν
= 1,
τ
→
0, 0
< α <
2 (i.e. in case of
a power law correlation function; see for example Refs. [29, 43]) yields the
known result
g
(
t
) =
E
2
−
α
−
C
α,
1
,
1
k
B
T
t
2
−
α
,
(2.39)
G
(
t
) =
tE
2
−
α,
2
−
C
α,
1
,
1
k
B
T
t
2
−
α
,
(2.40)
I
(
t
) =
t
2
E
2
−
α,
3
−
C
α,
1
,
1
k
B
T
t
2
−
α
.
(2.41)
From relations (2.34) and (2.35), for the average velocity and average
particle displacement in case when
τ
→
0 we obtain

v
(
t
)

=
v
0
E
μ
+
β
−
αδ
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
,
(2.42)

x
(
t
)

=
x
0
+
v
0
t
ν
E
μ
+
β
−
αδ,ν
+1
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
,
(2.43)
which are generalizations of the mean velocity and mean particle displace-
ment for the fractional Langevin equation, considered in Ref. [29] (0
< α <
2,
β
=
δ
=
μ
=
ν
= 1). Graphical representation of the mean velocity and
mean particle displacement is given in Figures 1, 2 and 3.

---

VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
435
(a)
0
2
4
6
8
10
12
14
t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
v
t
(b)
0
2
4
6
8
10
12
14
t
0
0.5
1
1.5
2
x
t
Figure 1.
Graphical representation in case when
τ
= 1,
C
α,β,δ
= 1,
k
B
T
= 1,
x
0
= 0,
v
0
= 1 of: (a) Mean particle
velocity (The following parameters are used:
α
=
β
=
δ
=
μ
= 1 (solid line);
α
=
β
=
δ
=
μ
= 1
/
2 (dashed line);
α
=
β
=
δ
= 1
/
2,
μ
= 3
/
4 (dot-dashed line);
α
=
δ
=
μ
= 1
/
2,
β
= 1
/
4 (dotted line)); (b) Mean particle displacement (The
following parameters are used:
α
=
β
=
δ
=
μ
=
ν
= 1 (solid
line);
α
=
β
=
δ
=
μ
= 1
/
2,
ν
= 1 (dashed line);
α
=
β
=
δ
=
ν
= 1
/
2,
μ
= 3
/
4 (dot-dashed line);
α
=
δ
=
μ
= 1
/
2,
β
= 1
/
4,
ν
= 3
/
4 (dotted line)).
(a)
0
2
4
6
8
10
12
14
t
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
v
t
(b)
0
2
4
6
8
10
12
14
t
0
0.5
1
1.5
2
x
t
Figure 2.
Graphical representation in case when
τ
→
0,
C
α,β,δ
= 1,
k
B
T
= 1,
x
0
= 0,
v
0
= 1 of: (a) Mean particle
velocity (The following parameters are used:
α
=
β
=
δ
=
μ
= 1 (solid line);
α
=
β
=
δ
=
μ
= 1
/
2 (dashed line);
α
=
δ
= 3
/
4,
β
= 3
/
2,
μ
= 1
/
2 (dot-dashed line);
α
=
δ
= 3
/
4,
β
= 3
/
2,
μ
= 3
/
4 (dotted line)); (b) Mean particle
displacement (The following parameters are used:
α
=
β
=
δ
=
μ
=
ν
= 1 (solid line);
α
=
β
=
δ
=
μ
= 1
/
2,
ν
= 1
(dashed line);
α
=
δ
=
ν
= 3
/
4,
β
= 3
/
2,
μ
= 1
/
2 (dot-
dashed line);
α
=
δ
=
μ
= 3
/
4,
β
= 3
/
2,
ν
= 1
/
2 (dotted
line)).

---

436
T. Sandev, R. Metzler, ˇ
Z. Tomovski
(a)
0
5
10
15
20
t
0.75
0.5
0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
v
t
(b)
0
5
10
15
20
t
1
0.5
0
0.5
1
1.5
x
t
Figure 3.
Graphical representation in case when
C
α,β,δ
=
1,
k
B
T
= 1,
x
0
= 0,
v
0
= 1 of: (a) Mean particle velocity;
(b) Mean particle displacement. The following parameters
are used:
α
=
δ
=
μ
= 1
/
2,
β
= 3
/
2,
ν
= 3
/
4;
τ
= 0 (solid
line);
τ
= 1 (dashed line);
τ
= 10 (dot-dashed line).
Relation (2.24) in the case of the three parameter M-L frictional mem-
ory kernel (1.5) becomes
D
(
t
)
=
v
0
∞
k
=0
(
−
1)
k
γ
k
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)
k
+
ν
−
1
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
×
x
0
+
v
0
∞
k
=0
(
−
1)
k
γ
k
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)
k
+
ν
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
ν
+1
(
−
(
t/τ
)
α
)
−
k
B
T
∞
k
=0
∞
l
=0
(
−
1)
k
+
l
γ
k
+
l
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)(
k
+
l
)+
μ
+2
ν
−
2
×
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
E
δl
α,
(
μ
+
β
)
l
+
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
+
k
B
T
1
Γ(
ν
)
∞
k
=0
(
−
1)
k
γ
k
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+2
ν
−
2
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
.
(2.44)
In case of thermal initial conditions (
x
0
= 0,
v
2
0
=
k
B
T
) it follows
D
(
t
) =
k
B
T
[
S
1
(
t
)
−
S
2
(
t
) +
S
3
(
t
)]
,
(2.45)
where
S
1
(
t
)
=
∞
k
=0
∞
l
=0
(
−
1)
k
+
l
γ
k
+
l
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)(
k
+
l
)+2
ν
−
1
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
E
δl
α,
(
μ
+
β
)
l
+
ν
+1
(
−
(
t/τ
)
α
)
,
(2.46)

---

VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
437
S
2
(
t
)
=
∞
k
=0
∞
l
=0
(
−
1)
k
+
l
γ
k
+
l
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)(
k
+
l
)+
μ
+2
ν
−
2
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
E
δl
α,
(
μ
+
β
)
l
+
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
,
(2.47)
S
3
(
t
) =
1
Γ(
ν
)
∞
k
=0
(
−
1)
k
γ
k
α,β,δ
t
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+2
ν
−
2
E
δk
α,
(
μ
+
β
)
k
+
μ
+
ν
(
−
(
t/τ
)
α
)
,
(2.48)
where
τ
 
= 0. From relation (2.25), note that if
μ
= 1,
S
1
(
t
) and
S
2
(
t
)
vanishes, so
D
(
t
) =
k
B
T S
3
(
t
). We note that the analysis for the short and
long time behavior of the MSD given bellow may be done in a same way
also for the limit
τ
→
0.
By using relation (4.7) in the long time limit (
t
→ ∞
) we obtain the
following asymptotic behaviors:
˜
S
1
(
t
) =
t
2
ν
−
1
∞
k
=0
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
k
Γ ((
μ
+
β
−
αδ
)
k
+
ν
)
∞
l
=0
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
l
Γ ((
μ
+
β
−
αδ
)
l
+
ν
+ 1)
=
t
2
ν
−
1
E
μ
+
β
−
αδ,ν
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
E
μ
+
β
−
αδ,ν
+1
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
=
O
t
2
ν
−
1
−
2(
μ
+
β
−
αδ
)
,
t
→ ∞
,
(2.49)
˜
S
2
(
t
) =
t
μ
+2
ν
−
2
∞
k
=0
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
k
Γ ((
μ
+
β
−
αδ
)
k
+
ν
)
∞
l
=0
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
l
Γ ((
μ
+
β
−
αδ
)
l
+
μ
+
ν
)
=
t
μ
+2
ν
−
2
E
μ
+
β
−
αδ,ν
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
E
μ
+
β
−
αδ,μ
+
ν
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
=
O
t
μ
+2
ν
−
2
−
2(
μ
+
β
−
αδ
)
,
t
→ ∞
,
(2.50)
˜
S
3
(
t
)
=
1
Γ(
ν
)
t
μ
+2
ν
−
2
∞
k
=0
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
k
Γ ((
μ
+
β
−
αδ
)
k
+
μ
+
ν
)
=
t
μ
+2
ν
−
2
Γ(
ν
)
E
μ
+
β
−
αδ,μ
+
ν
−
C
α,β,δ
k
B
T
t
μ
+
β
−
αδ
=
O
t
2
ν
−
2+
αδ
−
β
,
t
→ ∞
.
(2.51)

---

438
T. Sandev, R. Metzler, ˇ
Z. Tomovski
Thus, the MSD in the long time limit (
t
→ ∞
) becomes

x
2
(
t
)
 ∼
O
t
2(
αδ
−
β
+
ν
−
μ
)
if 2
μ
≤
αδ
−
β
+ 1
,
O
t
αδ
−
β
+2
ν
−
1
if 2
μ > αδ
−
β
+ 1 or
μ
= 1
,
(2.52)
from where we conclude appearance of anomalous diffusive behavior. De-
pending on the power of
t
in the MSD we distinguish cases of subdiffusion,
superdiffusion or normal diffusion. Note that this behavior may change if
for some combination of parameters
α
,
β
,
δ
,
μ
and
ν
the first term from
some of the asymptotic expansions of
S
1
(
t
),
S
2
(
t
) and
S
3
(
t
) vanish. In that
cases, the second terms from the asymptotic expansion formulas (4.9) and
(4.7) should be used.
From relations (2.46), (2.47) and (2.48) in the short time limit (
t
→
0)
we obtain

x
2
(
t
)
 ∼
O
t
2
ν
if 1
≤
2
μ
+
β,
O
t
2
μ
+2
ν
+
β
−
1
if 1
>
2
μ
+
β,
(2.53)
From relations (2.53) and (2.54) can be seen that the anomalous diffusion
exponent in the short and long time limit is different. We can conclude
that this model may be used for describing single file-type diffusion or pos-
sible generalizations thereof, such as accelerating and retarding anomalous
diffusion [14]. For example, in the short time limit the anomalous diffusion
exponent may be greater than the one in the long time limit. Note that
for different initial conditions (
x
0
 
= 0) different anomalous behavior may
be obtained, for example,

x
2
(
t
)
 ∼
O
(
t
ν
), for
t
→
0.
For
ν
= 1 in the long time limit (
t
→ ∞
) the MSD is given by

x
2
(
t
)
 ∼
O
t
2(
αδ
−
β
+1
−
μ
)
if 2
μ
≤
αδ
−
β
+ 1
,
O
t
αδ
−
β
+1
if 2
μ > αδ
−
β
+ 1 or
μ
= 1
.
(2.54)
Note that for
μ
= 1 we can obtain the results from Ref.[43] (
β
−
1
< αδ < β
- subdiffusion;
β < αδ <
1 +
β
- superdiffusion). The case
β
=
δ
=
μ
= 1
corresponds to the well known result

x
2
(
t
)
 ∼
t
α
(0
< α <
1 - subdiffusion;
1
< α <
2 - superdiffusion) [29]. In the short time limit (
t
→
0) for the
MSD follows

x
2
(
t
)
 ∼
O
t
2
if 1
≤
2
μ
+
β,
O
t
2
μ
+
β
+1
if 1
>
2
μ
+
β.
(2.55)
We note that for
ν
= 1 and
β >
0 in the short time limit the MSD has
a power law dependence on time with an exponent greater than 1. The