Velocity and displacement correlation functions for fractional generalized langevin equations

3. Conclusions
In this paper we derive general formulas for calculation of variances and
MSD for a FGLE with two time fractional derivatives. Exact expressions
for the relaxation functions, mean velocity and mean particle displacement,
variances and MSD in case of a three parameter M-L frictional memory ker-
nel are obtained. Many previously obtained results are recovered. Asymp-
totic behaviors of the MSD in the short and long time limit are analyzed.
It is shown that anomalous diffusion occurs. Cases for modeling single
file-type diffusion or possible generalizations thereof are discussed.
The presented FGLE approach is based on a direct generalization of the
GLE and provides a very flexible model to describe stochastic processes in
complex systems with only few parameters.
4. Appendices
4.1. Appendix I: The Mittag-Leffler functions
The standard M-L function, introduced by Mittag-Leffler, is defined by
[38]:
E
α
(
z
) =
∞
k
=0
z
k
Γ(
αk
+ 1)
,
(4.1)
where (
z
∈
C
;

(
α
)
>
0).
The two-parameter M-L function, which is
introduced and investigated later, is given by [38]:
E
α,β
(
z
) =
∞
k
=0
z
k
Γ(
αk
+
β
)
,
(4.2)
where (
z, β
∈
C
;

(
α
)
>
0). The M-L functions (4.1) and (4.2) are en-
tire functions of order
ρ
= 1
/

(
α
) and type 1.
Note that
E
α,
1
(
z
) =
E
α
(
z
). These functions are generalization of the exponential, hyperbolic
and trigonometric functions since
E
1
,
1
(
z
) =
e
z
,
E
2
,
1
(
z
2
) = cosh(
z
),
E
2
,
1
(
−
z
2
) = cos(
z
) and
E
2
,
2
(
−
z
2
) = sin(
z
)
/z
.
The Laplace transform of the two-parameter M-L function is [38]:
L
t
β
−
1
E
α,β
(
±
at
α
)
(
s
) =
∞
0
e
−
st
t
β
−
1
E
α,β
(
±
at
α
)d
t
=
s
α
−
β
s
α
∓
a
,
(4.3)
where

(
s
)
>
|
a
|
1
/α
.
Prabhakar [40] introduced the following three-parameter M-L function:
E
δ
α,β
(
z
) =
∞
k
=0
(
δ
)
k
Γ(
αk
+
β
)
z
k
k
!
,
(4.4)

---

444
T. Sandev, R. Metzler, ˇ
Z. Tomovski
where (
β, δ, z
∈
C
;

(
α
)
>
0), (
δ
)
k
is the Pochhammer symbol ((
δ
)
0
=
1
,
(
δ
)
k
= Γ(
δ
+
k
)
/
Γ(
δ
)). It is an entire function of order
ρ
= 1
/

(
α
) and
type 1. Note that
E
1
α,β
(
z
) =
E
α,β
(
z
) (see also [48, 7]). Capelas et al [7] dis-
cussed the complete monotonicity of these M-L functions and have showed
that they are suitable models for non-Debye relaxation phenomena in di-
electrics. Moreover, Stanislavsky and Weron [49] recently gave numerical
approximation of the three parameter M-L function, based on the Dirichlet
average of the two parameter M-L function.
The Laplace transform of the three-parameter M-L type function is
given by [48, 40, 7]:
L
t
β
−
1
E
δ
α,β
(
ωt
α
)
(
s
) =
s
αδ
−
β
(
s
α
−
ω
)
δ
,
(4.5)
where
|
ω/s
α
|
<
1. Also, the following Laplace transform formula is true for
the three parameter M-L function (4.4) [51]:
s
ζ
(

−
1)
s

−
λ
s
ργ
−

(
s
ρ
+
ν
)
γ
=
L
∞
k
=0
λ
k
x
2
k
+

+
ζ
−
ζ
−
1
E
γk
ρ,
2
k
+

+
ζ
−
ζ
(
−
νx
ρ
)
(
s
)
.
(4.6)
The asymptotic behavior of the three parameter M-L function can be
obtained from [44]
E
δ
α,β
(
z
) =
(
−
z
)
−
δ
Γ(
δ
)
∞
n
=0
Γ(
δ
+
n
)
Γ(
β
−
α
(
δ
+
n
))
(
−
z
)
−
n
n
!
,
|
z
|
>
1
.
(4.7)
Thus, for large
z
one obtains
E
δ
α,β
(
z
)
∼
O
|
z
|
−
δ
,
|
z
|
>
1
.
(4.8)
When
δ
→
1 series (4.7) reduces to the asymptotic expansion for the regular
generalized M-L function (4.2), and by resummation the index
n
goes from
1 to infinity, i.e.
E
α,β
(
z
) =
∞
n
=1
(
−
z
)
−
n
Γ(
β
−
αn
)
,
|
z
|
>
1
.
(4.9)
4.2. Appendix II: Fractional derivatives and integrals
The R-L fractional integral of order
μ >
0 is defined by [22]:
I
μ
a
+
f
(
t
) =
1
Γ(
μ
)
t
a
f
(
t

)
(
t
−
t

)
1
−
μ
d
t

,
t > a,

(
μ
)
>
0
.
(4.10)

---

VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
445
For
μ
= 0, this is the identity operator,
I
0
a
+
f
(
t
) =
f
(
t
). For the R-L
integral (4.10) the following formula is true [45]:
I
μ
0+
t
β
−
1
E
δ
α,β
(
ωt
α
)
(
x
) =
x
μ
+
β
−
1
E
δ
α,μ
+
β
(
ωx
α
)
.
(4.11)
There are different types of fractional derivatives. The most used are
the R-L fractional derivative of order
μ
defined by [22]:
RL
D
μ
a
+
f
(
t
) =
d
n
d
t
n
I
(
n
−
μ
)
a
+
f
(
t
)
(4.12)
and the Caputo fractional derivative [8]:
C
D
μ
0+
f
(
t
) =
I
(
n
−
μ
)
a
+
d
n
d
t
n
f
(
t
)
,
(4.13)
where
n
= [

(
α
)] + 1 is the smallest integer larger than
α
. R-L fractional
derivative is a left inverse of R-L fractional integral, i.e.
RL
D
μ
a
+
RL
I
μ
a
+
f
(
t
) =
f
(
t
). Note that if we consider proper initial conditions the R-L and Caputo
fractional derivatives are equivalent since [22]
RL
D
μ
a
+
f
(
t
) =
C
D
μ
a
+
f
(
t
) +
n
−
1
k
=0
(
t
−
a
)
k
−
μ
Γ(
k
−
μ
+ 1)
f
(
k
)
(
a
+)
.
(4.14)
For the three parameter M-L function (4.4) the following formula is
true [40, 45] (see relation (4.11)):
RL
D
μ
0+
z
β
−
1
E
δ
α,β
(
az
α
)
(
x
) =
x
β
−
μ
−
1
E
δ
α,β
−
μ
(
ax
α
)
,
(4.15)
where

[
β
−
μ
]
>
0,
μ >
0,

[
δ
]
>
0,
a
∈
C
.
The Laplace transform of the R-L and Caputo fractional derivatives are
given by, respectively, [22, 38]:
L
RL
D
μ
0+
f
(
t
)
(
s
) =
s
μ
L
[
f
(
t
)] (
s
)
−
n
−
1
k
=0
RL
D
μ
−
k
−
1
0+
f
(0+)
s
k
,
(4.16)
L
C
D
μ
0+
f
(
t
)
(
s
) =
s
μ
L
[
f
(
t
)] (
s
)
−
n
−
1
k
=0
f
(
k
)
(0+)
s
μ
−
1
−
k
.
(4.17)
Acknowledgements
T.S.
1
acknowledges funding from the Ministry of Education and Science
of the Republic of Macedonia within bilateral project program with Austria.
ˇ
Z.T.
4
was supported by a DAAD during his visit to TU Munich for three
months in the academic year 2010 - 2011, and by a NWO visitors grant
while visiting the Delft University of Technology, Delft Institute of Applied
Mathematics.

---

446
T. Sandev, R. Metzler, ˇ
Z. Tomovski
References
[1] J.-D. Bao, Y.-L. Song, Q. Ji and Y.-Z. Zhuo, Harmonic velocity noise:
non-Markovian features of noise-driven systems at long times.
Phys.
Rev. E
72
(2005), 011113/1–7.
[2] S. Burov and E. Barkai, Fractional Langevin equation:
Over-
damped, underdamped, and critical behaviors.
Phys. Rev. E
78
(2008),
031112/1–18.
[3] S. Burov, J.-H. Jeon, R. Metzler and E. Barkai, Single particle tracking
in systems showing anomalous diffusion: The role of weak ergodicity
breaking.
Phys. Chem. Chem. Phys.
13
(2011), 1800–1812.
[4] S. Burov, R. Metzler and E. Barkai, Aging and nonergodicity beyond
the Khinchin theorem.
Proc. Natl. Acad. Sci. USA
107
(2010), 13228–
13233.
[5] R.F. Camargo, A.O. Chiacchio, R. Charnet and E. Capelas de Oliveira,
Solution of the fractional Langevin equation and the Mittag-Leffler
functions.
J. Math. Phys.
50
(2009), 063507/1–8.
[6] R.F. Camargo, E. Capelas de Oliveira and J. Vaz Jr, On anomalous dif-
fusion and the fractional generalized Langevin equation for a harmonic
oscillator.
J. Math. Phys.
50
(2009), 123518/1–13.
[7] E. Capelas de Oliveira, F. Mainardi and J. Vaz Jr., Models based on
Mittag-Leffler functions for anomalous relaxation in dielectrics.
Eur.
Phys. J., Special Topics
193
(2011), 161–171.
[8] M. Caputo,
Elasticit`
a e Dissipazione
. Zanichelli, Bologna (1969).
[9] W. Deng and E. Barkai, Ergodic properties of fractional Brownian-
Langevin motion.
Phys. Rev. E
79
(2009), 011112/1–7.
[10] M.A. Desp´
osito and A.D. Vi˜
nales, Subdiffusive behavior in a trap-
ping potential: Mean square displacement and velocity autocorrelation
function.
Phys. Rev. E
80
(2009), 021111/1–7.
[11] J.L.A. Dubbeldam, V.G. Rostiashvili, A. Milchev and T.A. Vilgis,
Fractional Brownian motion approach to polymer translocation: The
governing equation of motion.
Phys. Rev. E
83
(2011), 011802/1–8.
[12] C.H. Eab and S.C. Lim, Fractional generalized Langevin equation ap-
proach to single-file diffusion.
Physica A