Velocity and displacement correlation functions for fractional generalized langevin equations

3
. In Appendices (Section
4
), some properties and formulas for the M-L functions, and for fractional
derivatives and integrals are presented.

---

430
T. Sandev, R. Metzler, ˇ
Z. Tomovski
2. Extended FGLE
Here we consider the following extended FGLE for a particle of mass
m
= 1 with a three parameter M-L memory kernel (1.5) and the Caputo
time fractional derivatives:
C
D
μ
0+
v
(
t
) +
t
0
γ
(
t
−
t

)
v
(
t

)d
t

=
ξ
(
t
)
,
(2.1)
C
D
ν
0+
x
(
t
) =
v
(
t
)
,
where
C
D
μ
0+
and
C
D
ν
0+
are the Caputo time fractional derivatives (4.13),
0
< μ
≤
1, 0
< ν
≤
1,
μ
+
ν >
1, and the memory kernel is of form (1.5).
If we substitute the second equation of (2.1) into first equation of (2.1) it
is obtained a term of form
C
D
μ
+
ν
0+
x
(
t
). So, in order equation (2.1) to be
a fractional generalization of equation (1.1), it is obtained that
μ
+
ν >
1.
From the other side, since 0
< μ
≤
1 and 0
< ν
≤
1, it follows that
μ
+
ν
≤
2.
Equation of form (2.1) is introduced by Lim and Teo [28] to model a
single file diffusion. They considered cases of internal and external noises
with correlations of white Gaussian and power law forms. The case
ν
= 1
with Dirac delta, exponential and power law correlation functions, and
their combination is investigated in Refs.[12, 28, 15] in detail. The case
μ
=
ν
= 1 with an internal noise with a three parameter M-L correlation
function of form (1.5) is considered in Ref.[43]. Here we note that, Eab and
Lim [13] recently introduced fractional Langevin equation of distributed
order and discussed its possible application for modeling single file diffusion
and ultraslow diffusion.