Velocity and displacement correlation functions for fractional generalized langevin equations

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SURVEY PAPER
VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION
FUNCTIONS FOR FRACTIONAL
GENERALIZED LANGEVIN EQUATIONS
Trifce Sandev
1
, Ralf Metzler
2
,
3
, ˇ
Zivorad Tomovski
4
Abstract
We study analytically a generalized fractional Langevin equation. Gen-
eral formulas for calculation of variances and the mean square displacement
are derived. Cases with a three parameter Mittag-Leffler frictional mem-
ory kernel are considered. Exact results in terms of the Mittag-Leffler type
functions for the relaxation functions, average velocity and average particle
displacement are obtained. The mean square displacement and variances
are investigated analytically. Asymptotic behaviors of the particle in the
short and long time limit are found. The model considered in this paper
may be used for modeling anomalous diffusive processes in complex media
including phenomena similar to single file diffusion or possible generaliza-
tions thereof. We show the importance of the initial conditions on the
anomalous diffusive behavior of the particle.
MSC 2010
: Primary 82C31; Secondary 26A33, 33E12
Key Words and Phrases
: fractional generalized Langevin equation, fric-
tional memory kernel, variances, mean square displacement, anomalous dif-
fusion
c

2012 Diogenes Co., Sofia
pp. 426–450 , DOI: 10.2478/s13540-012-0031-2

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VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
427
1. Introduction
Anomalous diffusion has been found in various physical and biological
systems [22, 23, 26, 50, 17, 57, 25]. The mean square displacement (MSD) of
the particle shows a power law dependence on time

x
2
(
t
)
 ∼
t
α
, becoming
subdiffusion in case 0
< α <
1 and superdiffusion for 1
< α
[35], and
normal classical diffusion for
α
= 1.
Several approaches to anomalous
diffusion exist. Starting from the generalized Langevin equation (GLE) [1,
26, 29, 39, 20, 2], introduced by Kubo [27], the fractional diffusion equation
[34] (see also Refs. [41] and [52]), fractional Fokker-Planck equation [34, 35,
37], generalized Chapman-Kolmogorov equation [33], fractional generalized
Langevin equation (FGLE) [12, 28, 15]. To analyze these equations the
properties of different Mittag-Leffler (M-L) type functions [40, 48, 44, 22,
38, 7, 51, 19] are of great importance. Thus, Mainardi and Pironi [30]
introduced a fractional Langevin equation as a particular case of a GLE,
and for the first time represented the velocity and displacement correlation
functions in terms of the M-L functions (see also Ref. [31]).
The continuous time random walk (CTRW) [46], which has a finite
variance

δx
2

of jumps lengths and broad distribution of waiting times
τ
of the form
ψ
(
τ
)

(
τ
∗
)
α
/τ
1+
α
, with 0
< α <
1 also represents an-
other pathway to anomalous diffusion. It can be shown that the CTRW
in the diffusion limit is equivalent to the fractional diffusion equation [35],
and that there appears an inequivalence of time versus ensemble averages
[21, 3, 4]. There have been proposed different CTRW models that gener-
ates interesting behaviors in short, intermediate and long times (see Ref.
[16] and references therein). CTRW also describes superdiffusion in the
spatiotemporally coupled L´
evy walk case, and L´
evy flights [35, 37, 18].
Fractional Brownian motion (FBM), introduced by Kolmogorov, can be
used to model anomalous diffusive processes. It represents a random process
driven by a Gaussian noise