Velocity and displacement correlation functions for fractional generalized langevin equations

particle, in the short time limit, shows a super diffusive behavior (when the
exponent is greater than 1) which turns to simple ballistic motion when the
exponent is equal to 2.

---

VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
439
(a)
0
2
4
6
8
10
t
0
2
4
6
8
x
2
t
2
k
B
T
(b)
0
5
10
15
20
t
0
5
10
15
20
25
30
x
2
t
2
k
B
T
Figure 4.
Graphical representation of MSD for (a)
τ
= 1,
(b)
τ
= 10. The following parameters are used:
C
α,β,δ
= 1,
k
B
T
= 1;
α
= 1,
β
=
δ
= 1
/
2,
μ
= 3
/
10,
ν
= 4
/
5 (solid
line);
α
=
β
=
δ
= 1,
μ
= 1
/
4,
ν
= 7
/
8 (dashed line);
α
= 5
/
4,
β
=
δ
= 1,
μ
= 1
/
2,
ν
= 9
/
10 (dot-dashed line);
α
= 1,
β
=
δ
= 3
/
2,
μ
= 3
/
10,
ν
= 4
/
5 (dotted line).
(a)
0
2
4
6
8
10
12
14
t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
D
t
k
B
T
(b)
0
2
4
6
8
10
t
0
5
10
15
20
25
x
2
t
2
k
B
T
Figure 5.
Graphical representation of (a)
D
(
t
) and (b)
MSD, in case of thermal initial conditions (
v
2
0
=
k
B
T
= 1,
x
0
= 0) and
τ
→
0 (solid line);
τ
= 1 (dashed line);
τ
= 10 (dot-dashed line).
The following parameters are
used:
C
α,β,δ
= 1,
k
B
T
= 1;
α
= 3
/
4,
β
= 1
/
2,
δ
=
μ
=
ν
=
1.
In Figures 4, 5 and 6 graphical representation of
D
(
t
) and MSD is
given. In Figures 7 and 8 we represent MSD in case when
μ
= 1 and
ν
= 1, respectively. As an addition, in Figure 9 the MSD (2.23) in case of
Dirac delta and power law frictional memory kernels for different values of
parameters is presented.
Remark
2.1
.
We note that the MSD depends on the initial conditions.
As it was shown (see relation (2.55)), in case of thermal initial conditions,
for
ν
= 1 and
β >
0, the anomalous diffusion exponent is greater than 1.

---

440
T. Sandev, R. Metzler, ˇ
Z. Tomovski
(a)
0
2
4
6
8
10
t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
D
t
k
B
T
(b)
0
2
4
6
8
10
12
14
t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
2
t
2
k
B
T
Figure 6.
Graphical representation of (a)
D
(
t
), (b) MSD,
in case of thermal initial conditions (
v
2
0
=
k
B
T
= 1,
x
0
= 0)
and
τ
→
0. The following parameters are used:
C
α,β,δ
= 1,
k
B
T
= 1;
α
=
β
=
δ
=
ν
= 1
/
2,
μ
= 3
/
4 (solid line);
α
=
δ
=
ν
= 1
/
2,
β
= 1
/
4,
μ
= 3
/
4 (dashed line);
α
=
δ
=
μ
=
ν
= 1,
β
= 3
/
2 (dot-dashed line). The dot-dashed line
in (b) is obtained when MSD is divided by 4.
(a)
0
2
4
6
8
10
t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
2
t
2
k
B
T
(b)
0
5
10
15
20
25
t
0
1
2
3
4
x
2
t
2
k
B
T
Figure 7.
Graphical representation of MSD (2.23) in case
of thermal initial conditions (
v
2
0
=
k
B
T
= 1,
x
0
= 0),
μ
=
1 and frictional memory kernel of form (1.5);
C
α,β,δ
= 1;
k
B
T
= 1;
τ
= 1; (a)
α
=
β
= 3
/
2,
δ
= 1,
ν
= 3
/
4 (solid
line),
ν
= 1
/
2 (dashed line),
ν
= 1
/
4, (dot-dashed line); (b)
ν
= 1
/
2;
α
=
δ
= 1;
β
= 3
/
2 (solid line);
β
= 1 (dashed
line);
β
= 1
/
2 (dot-dashed line).
This means that there is no appearance of normal diffusion in the short
time limit. But, if
x
0
 
= 0 for
ν
= 1 one can show that

x
2
(
t
)
 ∼
O
(
t
),
t
→
0, i.e. the particle has normal diffusive behavior. It can be shown that
in the long time limit the particle may have anomalous diffusive behavior
of form (2.54). Thus, for example, in the case
β
−
αδ
=
1
2
,
μ >
1
/
4 the
anomalous diffusion exponent is equal to 1
/
2. Same anomalous diffusion
exponent appears in the case
αδ
−
β
+ 3
/
4 =
μ
≤
1
/
4.

---

VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
441
(a)
0
2
4
6
8
10
t
0
2
4
6
8
10
x
2
t
2
k
B
T
(b)
0
2
4
6
8
10
t
0
5
10
15
20
x
2
t
2
k
B
T
Figure 8.
Graphical representation of MSD (2.23) in case
of thermal initial conditions (
v
2
0
=
k
B
T
= 1,
x
0
= 0),
ν
=
1 and frictional memory kernel of form (1.5);
C
α,β,δ
= 1;
k
B
T
= 1;
τ
= 1; (a)
α
=
β
= 3
/
2,
δ
= 1,
μ
= 3
/
4 (solid
line),
μ
= 1
/
2 (dashed line),
μ
= 1
/
4, (dot-dashed line); (b)
μ
= 1
/
2;
α
=
δ
= 1;
β
= 3
/
2 (solid line);
β
= 1 (dashed
line);
β
= 1
/
2 (dot-dashed line).
(a)
0
1
2
3
4
5
t
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
x
2
t
2
k
B
T
(b)
0
2
4
6
8
10
t
0
0.5
1
1.5
2
x
2
t
2
k
B
T
Figure 9.
Graphical representation of MSD (2.23) in case
of thermal initial conditions (
v
2
0
=
k
B
T
= 1,
x
0
= 0) and
frictional memory kernel of form: (a)
γ
(
t
) = 2
λδ
(
t
);
λ
= 1;
μ
=
ν
= 3
/
4 (solid line),
μ
= 5
/
8,
ν
= 7
/
8 (dashed line),
μ
= 3
/
4,
ν
= 5
/
8 (dot-dashed line),
μ
= 7
/
8,
ν
= 1
/
2
(dotted line); (b)
γ
(
t
) =
t
−
α
Γ(1
−
α
)
;
μ
=
ν
= 3
/
4;
α
= 3
/
4
(solid line);
α
= 1
/
2 (dashed line);
α
= 1
/
4 (dot-dashed
line).
Remark
2.2
.
Following same procedure as previous, one can inves-
tigate anomalous diffusion for the following recently introduced FGLE by
Camargo et al. [5]:
C
D
μ
0+
x
(
t
) +
t
0
γ
(
t
−
t

)
C
D
ν
0+
x
(
t

)d
t

=
ξ
(
t
)
,
(2.56)
˙
x
(
t
) =
v
(
t
)
,

---

442
T. Sandev, R. Metzler, ˇ
Z. Tomovski
(a)
0
1
2
3
4
5
t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
2
t
2
k
B
T
(b)
0
2
4
6
8
10
t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
2
t
2
k
B
T
Figure 10.
Graphical representation of MSD (2.58) in case
of thermal initial conditions (
v
2
0
=
k
B
T
= 1,
x
0
= 0) and
frictional memory kernel of form: (a)
γ
(
t
) = 2
λδ
(
t
);
λ
= 1;
μ
= 3
/
2,
ν
= 1
/
4 (solid line);
μ
= 3
/
2,
ν
= 1
/
2 (dashed
line);
μ
= 7
/
4,
ν
= 1
/
2 (dot-dashed line); (b)
γ
(
t
) =
t
−
α
Γ(1
−
α
)
;
μ
= 3
/
2,
ν
= 3
/
4;
α
= 1
/
4 (solid line);
α
= 1
/
2 (dashed
line);
α
= 3
/
4 (dot-dashed line).
where 1
< μ
≤
2 and 0
< ν
≤
1. For the variance one can obtain
σ
xx
= 2
k
B
T
1
Γ(
ν
)
t
0
d
ξG
(
ξ
)
ξ
ν
−
1
−
t
0
d
ξG
(
ξ
)
C
D
μ
−
ν
0+
G
(
ξ
)
.
(2.57)
Thus, the MSD is given by

x
2
(
t
)

=
x
2
0
+ 2
x
0
v
0
C
D
μ
−
1
0+
I
(
t
) +
v
2
0
C
D
μ
−
1
0+
I
(
t
)
2
+2
k
B
T
1
Γ(
ν
)
t
0
d
ξG
(
ξ
)
ξ
ν
−
1
−
t
0
d
ξG
(
ξ
)
C
D
μ
−
ν
0+
G
(
ξ
)
,
(2.58)
with
G
(0) = 0, where
ˆ
g
(
s
) =
s
s
μ
+
s
ν
ˆ
γ
(
s
)
,
(2.59)
ˆ
G
(
s
) =
1
s
μ
+
s
ν
ˆ
γ
(
s
)
,
(2.60)
ˆ
I
(
s
) =
s
−
1
s
μ
+
s
ν
ˆ
γ
(
s
)
.
(2.61)
From relations (2.59), (2.60) and (2.61) follows that
g
(
t
) =
G

(
t
) and
G
(
t
) =
I

(
t
).
In Figure 10 the MSD (2.58) in case of Dirac delta and power law
frictional memory kernels for different values of parameters is presented.

---

VELOCITY AND DISPLACEMENT CORRELATION . . .
443