Vi bob matematik nazariyalar

2- misol. Interpretatsiya sohasi sifatida butun musbat sonlar to‘plamini olaylik va predikatga deb interpretatsiya beraylik. U holda predikat munosabatni qanoatlantiruvchi hamma tartiblangan butun musbat sonlar juftligi uchun chin qiymat qabul qiladi.
formula «Har qanday butun musbat son uchun » degan munosabatni bildiradi. Bu munosabat faqatgina bitta 1 soni uchun chindir.
formula bo‘lsa, eng kichik musbat son mavjudligini bildiradi va u butun musbat sonlar to‘plamida chin bo‘ladi. ■
6.6.2. Berilgan interpretatsiyada formulaning chinlik qiymatlari. sohali qandaydir interpretatsiya berilgan bo‘lsin. – shu sohadagi hamma sanoqli ketma-ket keluvchi elementlar to‘plami. ketma-ketlikda formulaning bajariluvchanligi tushunchasini aniqlaylik.
Qiymatlar sohasi bo‘lgan hamma termlar to‘plamida aniqlangan bir argumentli (o‘zgaruvchili) funksiyani quyidagicha induktiv aniqlaymiz:
1) agar term predmet o‘zgaruvchi bo‘lsa, u holda ;
2) agar term predmet konstanta bo‘lsa, u holda bu konstantaning dagi interpretatsiyasi bilan mos tushadi;
3) agar sohada interpretatsiyalanuvchi funksional harf va termlar bo‘lsa, u holda
.
Shunday qilib, – bu ketma-ketlik bilan aniqlanadigan va hamma termlar to‘plamini sohaga akslantiradigan funksiyadir. Boshqacha aytganda, har qanday ketma-ketlik va ixtiyoriy term uchun funksiya to‘plamning elementidir. Bu element term ifodasiga kiruvchi hamma o‘zgaruvchilar o‘rniga elementlarni qo‘yish va undan keyin termning funksional harflariga mos keluvchi hamma interpretatsiya operasiyalarini bajarish natijasida hosil bo‘ladi.
3- misol. term va butun sonlar to‘plami interpretatsiya sohasi bo‘lsin, – oddiy ko‘paytma, – qo‘shish va – 5 soni sifatida interpretatsiyalanadilar. U holda ixtiyoriy butun sonlar ketma-ketligi uchun funksiya butun sonni ifoda etadi. ■
Endi formulaning induktiv ta’rifiga o‘xshash qilib, bajarilgan formula tushunchasini aniqlaymiz:
1) agar ushbu elementar formula va munosabat unga mos bo‘lgan interpretatsiya bo‘lsa, u holda formula shunda va faqat shundagina ketma-ketlikda bajarilgan deb hisoblanadi, qachonki munosabat munosabatga qarashli bo‘lsa;
2) formula shunda va faqat shundagina da bajarilgan bo‘ladi, qachonki formula da bajarilmagan bo‘lsa;
3) formula shunda va faqat shundagina da bajarilgan bo‘ladi, qachonki formula da bajarilmagan yoki qachon formula da bajarilgan bo‘lsa;
4) formula faqat va faqat shundagina da bajarilgan bo‘ladi, qachonki formula dan faqatgina komponenti bilan farq qiluvchi to‘plamning ixtiyoriy ketma-ketligida bajarilgan bo‘lsa.
Bu ta’rifdan ko‘rinib turibdiki, formula ifodasidagi erkin kiruvchi o‘zgaruvchilar o‘rniga ni qo‘yish natijasida hosil bo‘ladigan mulohaza berilgan interpretatsiyada chin qiymatga ega bo‘lsganda va faqat shundagina ketma-ketlikda formula bajarilgan bo‘ladi.