Z5 ustidagi ko`phad doc

Teorema4. ^d

( f g)
ga karrali bo‘lgan ^h ko‘phad

дар. _h
дар. f
дар. g

shartni qanoatlantirsin. U holda
_h u f _v g
chiziqli ifodada

bo‘ladi.
дар. u
дар. g _,
дар. _v
дар. f

Isboti:

h ^u 0 ^f v 0 ^g
h ko‘phadning qandaydir chiziqli ifodasi bo‘lsin. ^{u 0} ni ^g ga qoldiqli bo‘lamiz.

U holda

u ₀ q g u _,
u ₀ f _{v 0} g
дар. u
дар. g

ifoda quyidagi ifodaga almashadi:
u ₀ f _{v 0} g u f ( _{v 0} g f ) g u f _v g _,

bunda
demak
bo‘lib
v v 0 ^{g f} _.
h u f _v g _,

дар. u
_v g
va
дар. g
_{h }u f

дар. _h
bo‘lgani uchun
дар. f
дар. g

дар. _v g
bo‘ladi. Bundan
дар. f
дар. g

дар. _v
дар.
^f kelib chiqadi.

Shu ^u va ^v ko‘phadlar teorema shartini qanoatlantiradi.

Misol: ^{h x 2}
ko‘phadning ^f
x ² 2, g x ³ x 1 _ko‘phadlar

orqali chiziqli ifodasini topamiz.
Tekshirish qiyin emaski ^f va ^g ko‘phadlar o‘zaro tub shuning uchun izlangan chiziqli ifoda mavjud va ^{u v} ko‘phadlarni quyidagi ko‘rinishida izlash mumkin:

21. 
    
    1
    _{a 0 x} ² a x x ² _,
    
22. 
    b 0 x b
    

(a x ² a x a )(x ² 2)(x ² 2) (b x a )(x³ x 1) x 2
0 1 2 0 1
Tenglikdagi ^x ning mos darajalari oldidagi koeffitsiyentlarini tenglasak quyidagi munosabat kelib chiqadi:

bundan:
a 0 b 0 0
^a 1 ^b 1 ⁰
2 ^{a 0 a} 2 ^{b 0 0}
2 ^a 1 _- ^{b 0 b} 1 1

2 ^a 2 _- ^b 1 _- 2

^{a 0} 1_,


^a 1 ⁰ _,
^a 2 _-1_,
^{b 0} _-1_,
^b 1 ⁰

ni topamiz ya'ni
^{u x 2}-¹,
v _- x
Ko‘pincha

^u va ^v
ko‘phadlarning koeffitsiyentlari uchun chiziqli tenglamalar tuzishda ^x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashdan ko‘ra ^x ga turli xil qiymatlar berish osonroq kechadi.

Misol.

f (x 1)(x 3) _,

bo‘lganda
g _x (x 1) _,

u f _v g ₁
shartni qanoatlantiruvchi
u _{, v} R x
ko‘phadlarni topamiz.
Ravshanki ^f , ^g ko‘phadlar o‘zaro tub (aks holda ularda umumiy chiziqli bo‘luvchi va demak, umumiy ildiz mavjud bo‘lar edi) ^u va ^v ni

21. 
    ^a ₀ x a _{1 ,}
    
22. 
    ^{b 0 x b} 1
    

ko‘rinishida izlaymiz.
( _{a 0 x a 1} ) ( _{x 1} ) ( _{x - 3} ) ( _{b 0 x b 1} ) _x ( _{x -1} ) ₁
tenglikda ^x ga ketma ket 0,1,2,3,-1 qiymatlarni beramiz. Natijada
_1
_- ^{3 a} 1 1_q> ^a 1 ³
1
_- 4 ^{( a0 a} 1 ⁾ 1_q> ^{a 0 12}

6(3b
₀ b ₁ ) 1

2(-b b ) 1
b ¹ , b ⁵

0 1
Shunday qilib,
⁰ 12 ¹ 12
ga ega bo‘lamiz.

u ¹
12
( x 4), v ¹ (x 5)
12

Har qanday bosh ideallar halqasi kabi ^P maydon ustidagi ^{P x}
ko‘phadlar

halqasida ham teskarilanmaydigan element tub ko‘paytiruvchilarning ko‘paytmasi shaklida ifodalashi mumkin, bu ifoda ko‘paytuvchilarning o‘rinlari almashinishi aniqligida va ularni assotsirlangan elementlar bilan almashtirish aniqligida yagona bo‘ladi.
Bizga ma'lumki, agar butunlik sohasining noldan farqli elementi teskarilanuvchi bo‘lmasa va 2 ta teskarilanmaydigan elementlarning ko‘paytmasi shaklida ifodalanmasa bu elementni tub element deb ataladi.

Odatda ^{P x}
halqaning tub elementlari keltirilmaydigan ko‘phadlar deb ataladi.

^{P x} halqaning noldan farqli teskarilanmaydigan elementlari -bu musbat darajali
ko‘phadlar bo‘ladi. U holda keltirilmaydigan ko‘phad – bu musbat darajali shunday ko‘phadki, uni 2 ta musbat darajali ko‘phadlarning ko‘paytmasi shaklida ifodalab bo‘lmaydi (2 ta musbat darajali ko‘phadlarning ko‘paytmasi shaklida ifodalanadigan ko‘phad keltiriladigan ko‘phad deyiladi) yana shuni aytish mumkinki, keltirilmaydigan ko‘phadni, uni 2 ta kichik darajali ko‘phadlarning ko‘paytmasi shaklida ifodalab bo‘lmaydi.
O‘z navbatida, agar ^{f g h} ifodadagi ^g va ^h ko‘paytuvchilar musbat darajali bo‘lsa, u holda ulardan ham birining darajasi ^f ning darajasidan kichik bo‘ladi va aksincha.
Bu ta'rifdan va ko‘phadlar uchun «assotsirlanganlik» tushunchasidan quyidagi teoremaga kelamiz.

Teorema1.

^P Maydonning elementi bo‘lmagan ^{ f P x}
ko‘phad

keltirmaydigan ko‘phadlarning ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi.

agar
_f p₁ p₂ ... p_m
(1)

_f q₁q₂...q_e

xuddi shunday boshqa bir ifoda bo‘lsa ko‘paytuvchilar uchun
l m
bo‘ladi va mos o‘rinda turgan

_{q i} c_i p_i (i 1,2,..., m)c_i P, c_i 0
tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Masalan:

Ko‘phad
f
R[x]
3x ⁴ 5x³ 4x ² x 1
halqada quyidagicha ko‘paytuvchilarga ajraladi.

f (2x² 2x 2)(3x 3)( ¹
2
x ¹)
6

f (3x 1)(x 1)(x² x 1)
Ifoda ham ^f ko‘phadning keltirilmaydigan ko‘paytuvchilariga yoyilmasini ifodalaydi, faqat u 1-sidan ko‘paytuvchilar o‘rinlarining almashinishi bilan
1
hamda ularni mos ravishda ⁶ ,3 va 2 sonlariga ko‘paytirilgani bilan farq qiladi.

Agar ^{f P x}
ko‘phadning qandaydir yoyilmasidagi barcha

keltirilmaydigan ko‘phadlarning bosh koeffitsientlarini qavsdan tashqariga chiqarilsa, u holda ^f ko‘phad quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

f a
p₁ p₂ ... p_m
(a p, a 0)
(2)

Bu yerda
p₁ p₂... p_m
- normallashgan keltirilmaydigan ko‘phadlardir.

^f ko‘phadning bunday ifodasi uning normallashgan keltirilmaydigan ko‘phadlar bo‘yicha yoyilmasi deyiladi.
Ravshanki (2) formuladagi ^a ko‘paytuvchi ^f ning bosh koeffitsientidan iborat bo‘ladi va normallashgan keltirilmaydigan ko‘paytuvchilarga yoyilmasi ko‘paytuvchilar o‘rinlarining almashinishi aniqligida yagona bo‘ladi.
Yuqoridagi misoldan ^f ning normallashgan keltirilmaydigan ko‘paytuvchilarga yoyilmasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.
f 3( x ¹)(x 1)(x² x 1)
3

p _- f
^{P x} ko‘phadning qandaydir keltirilmaydigan bo‘luvchisi bo‘lsin.

^f nafaqat ^p ga ^p 2 ga va xatto ^p ning yana ham yuqori darajalariga bo‘linishi mumkin. ^{f p} k ga bo‘linadigan eng katta ^k soni ^f ko‘phad ^p keltirilmaydigan bo‘luvchisining karralisi deb ataladi. Boshqacha aytganda karrali ^k ga teng
bo‘ladi, agar ^{f p} k ga bo‘linib, ^p k 1 ga bo‘linmasa.Agar ^p keltirilmaydigan
ko‘phad ^f ko‘phadning bo‘luvchisi bo‘lmasa u holda ^p -nolinchi karrali bo‘luvchi deyiladi.
Oldingi paragrflarda berilgan ildizning karralisi tushunchasining ta'rifi bilan keltirilmaydigan bo‘luvchisining karralisi tushunchasining ta'rifini solishtirsak
f P x
ko‘phad ^{x 0} ildizining karralisi bu ko‘phadning
x x₀
keltirilmaydigan bo‘luvchisining karralisi bilan bir xil ekanligini ko‘ramiz.

₍ x x₀
ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phad ekani ravshan chunki uni 2 ta

musbat darajali ko‘phadlarning ko‘paytmasi shaklida ifodalab bo‘lmaydi)