Z5 ustidagi ko`phad doc

1– xossa

f₁ , f₂ ,..., f_m
ko‘phadlarning
I (d )
idealda yotishidan,

2. 
   xossa esa ^d ko‘phadni (1) ko‘rinishda ifodalash mumkinligidan kelib chiqadi.
   

Ta'rif: 1- va 2- xossalarni qanoatlantiruvchi ^d ko‘phad ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi- EKUBi deb ataladi.
f₁ , f₂ ,..., f_m

Yuqoridagi mulohazalardan ko‘rinadiki, EKUB hamma vaqt mavjud. Bundan tashqari EKUB assotsirlanganlik aniqligida yagona ekanini ko‘rsatish

mumkin. Faraz qilaylik,
^d1 va ^d
₂  f₁ , f ₂ ,..., f_m
ko‘phadlarning 2 ta EKUBi

bo‘lsin. 2-xossaga ko‘ra ^{d1
d 2} ga bo‘linadi va xuddi shu kabi ^{d 2
d1} ga

bo‘linadi. Bundan
^d1 va
^{d 2} ning assotsirlanganligi kelib chiqadi.

Yuqorida ko‘rdikki,
f₁ , f₂ ,..., f_m
ko‘phadlar uchun (1) ko‘rinishida

ifodalash mumkin bo‘lgan EKUB mavjud. ^ 2 ta EKUB assotsirlangan va

f₁ , f₂ ,..., f_m
ko‘phadlarning ^ EKUBi (1) ko‘rinishini ifodalaydi, ya'ni ^I

idealda yotadi. Bundan ^d ga bo‘linuvchi ^ ko‘phadning ham ^I idealda yotishi kelib chiqadi.
Shunday qilib quyidagi teorema isbotlandi.

Teorema 2.

_ ^{f1, f2 ,..., fm} P x
ko‘phadlar uchun EKUB ^d mavjud. U

assotsirlanganlik aniqligida bir qiymatli aniqlanadi. ^d ga bo‘linuvchi ^h
ko‘phadni (xususan ^d ko‘phadning o‘zi)
h u₁ f₁ u₂ f₂ ... u_m f_m
ko‘rinishida ifodalash mumkin, bu yerda

u₁ ,u₂ ,...,u_m P x
(2)

Qandaydir ^h ko‘phadning (2) ko‘rinishidagi ifodasini uning ko‘phadlar orqali chiziqli ifodasi deyiladi.
f₁ , f₂ ,..., f_m

Trivial holat
f₁ f ₂ ... f_m 0
bo‘lib
d 0
bo‘lgan holdan tashqari

f₁ , f₂ ,..., f_m
ko‘phadlarning EKUBlari orasida faqat bitta normallashgan ko‘phad

bo‘ladi. Uni belgilanadi)
( f₁ , f ₂ ,..., f_m )
kabi belgilaymiz. (ko‘pincha EKUB
{ f₁ , f ₂ ,..., f_m }
kabi

Ta'rif: Agar
( f₁ , f ₂ ,..., f_m ) 1
bo‘lsa,u holda
f₁ , f₂ ,..., f_m
lar o‘zaro tub

ko‘phadlar deyiladi, ya'ni ularning umumiy bo‘luvchilari faqat ^P maydonning elementlaridan iborat bo‘ladi.

Teorema3.

^{f1, f2 ,..., fm} P x
ko‘phadlar o‘zaro tub bo‘ladi ,faqat va

faqat shu holdaki, qachonki

u₁ f₁ u ₂ f ₂ ... u_m f_m 1
(3)

tenglikni qanoatlantiruvchi

Isboti.

u₁ ,u₂ ,...,u_m
^{P x} ko‘phadlar mavjud bo‘lsa.

Agar
( f₁ , f ₂ ,..., f_m ) 1
bo‘lsa u holda (3) tenglikni qanoatlantiruvchi

u₁ ,u₂ ,...,u_{m P x}
ko‘phadlarning mavjudligi 2- teoremaning oxirgi tasdig‘idan

kelib chiqadi. Agar (3) tenglik bajarilsa u holda (3) tenglikning chap tomoni

uchun bo‘luvchi bo‘lgan
f₁ , f₂ ,..., f_m
ko‘phadlarning ^ umumiy bo‘luvchisi 1

ning bo‘luvchisi bo‘ladi, ya'ni ^P maydonining elementi bo‘ladi.

Teorema isbotlandi.

2-teoremadan agar
f₁ , f₂ ,..., f_m
ko‘phadlar o‘zaro tub bo‘lsa, u holda ^

ko‘phadning (2) ko‘rinishida ifodalash mumkinligi kelib chiqadi.
2 ta ^f , ^{g P x} ko‘phadlarning EKUBini yevklid algoritmi yordamida
hisoblash mumkin.
Yevklid algoritmi quyidagicha: avval ^f ko‘phadni ^g ko‘phadga qoldiqli bo‘linadi, so‘ngra ^g ni 1-bo‘lishdagi qoldiqqa keyin 1- bo‘lishdagi qoldiqni 2-
bo‘lishdagi qoldiqqa qoldiqli bo‘linadi va xokazo, bu jarayonni nol qoldiq qolguncha davom ettiriladi.
Natijada quyidagi tengliklar hosil bo‘ladi.

6. 
   q ₁ g _{r 1}
   
7. 
   ^g 2 r 1 r 2
   

r 1 ^{q 3} r 2 r ³


.... ....

bu yerda
r ^{k 2}


r ^{k 1}


дар. g
^{q k} r ^{k 1
q k 1} r ^k


дар. _{r 1}
r ^k
дар. _{r 2 …}
^{дар. r k} oxirgi noldan farqli

qoldiq (ya'ni ^{r k} ) ^f va ^g ko‘phadlarning EKUBi bo‘ladi.

Amalda agar berilgan ko‘phadlarning darajalari turlicha bo‘lsa, ^f sifatida yuqori darajali ko‘phadni olish maqsadga muvofiq bo‘ladi.

Misol:

^{R x} halqada

^f x ⁶ 2x ⁴ 4x³ 3x ² 8x 5
^g x ⁵ x² x 1
ko‘phadlarning EKUBini toping. ^f ni ^g ga bo‘lamiz.

x ⁶ 2x ⁴ 4x³ 3x ² 8x 5
x⁶ x³ x ² x
2x ⁴ 3x³ 2x ² 7x 5

2. 
   bo‘lishni bajaramiz:
   

2х⁴ 5х³ 2х² 7х 5
1 _{х }5
x⁵ x ² x 1
x

2 4
⁵ х⁴ х³ ⁵ х² ³ х 1
2 2 2
5 _{х4 }25 _{х3 }5 _{х 2 }35 _{х }25
2 4 2 4 4
29 _{х3 }29 _{х }29
4 4 4
4
qulaylik uchun hosil bo‘lgan qoldiqni ²⁹ ga ko‘paytiramiz bu holda keyingi
qoldiq ham qandaydir songa ko‘payadi lekin bu EKUBning topilishiga bog‘liq bo‘lmaydi

2. 
   bo‘lishni bajaramiz:
   

2x ⁴ 5x³ 2x ² 7x 5 2x⁴ 2x ² 2x
5x³ 5x 5
5x³ 5x 5
0
x³ x 1 2x 5

qoldiq nolga teng shuning uchun
( f , g) x ³ x 1 _bo‘ladi.

Bir nechta
f₁ , f₂ ,..., f_m
ko‘phadlarning EKUBini topish uchun quyidagi

formulaga asoslangan induktiv usuldan foydalanish mumkin:

( f₁, f ₂ ,..., f_m ) ((
f₁ , f ₂ ,..., f_{m 1} ), f_m )
(5)

( f₁ , f ₂ ,..., f_m )
ko‘phadlarning EKUBini topish uchun bu formulaga ko‘ra, avval

^{d 2 ( f1 , f 2 )} , so‘ngra
d₃ (d ₂ , f₃ )
topiladi va xakozo

d_m d _m1 , f_m
-izlangan EKUB bo‘ladi.

(5) formulani isbotlaymiz. EKUBning ta'rifiga ko‘ra ^{( f1, f 2 ,..., fm 1 )}

ko‘phadlarning bo‘luvchilari bu^{( f1, f 2 ,..., fm 1 )}
bo‘luvchilari aniqligida bo‘ladi.
ko‘phadlarning umumiy

Shuning uchun
^{( f1, f 2 ,..., fm 1 )} va ^{f m} ko‘phadlarning barcha mumiy

bo‘luvchilari
( f₁, f ₂ ,..., f_{m 1} )
va ^{f m} , ko‘phadlarning barcha umumiy

bo‘luvchilari to‘plami bilan ustama-ust tushadi. Bundan (5) formula kelib chiqadi.
2 teoremaga ko‘ra 2 ta ^f , ^{g P x} ko‘phadlarning EKUBi ^d ni va

umuman ^{ d} ga karrali ko‘phadlarni ^{u f v g u v P x}
ko‘rinishida

ifodalash mumkin. Bu ifodani berilgan ko‘phadning ^f va ^g ko‘phadlar orqali chiziqli ifodasi deb ataymiz.
EKUB ^d ning chiziqli ifodasini topish uchun yevklid algoritmidan
foydalanish mumkin.(4) tengliklarning 1-sidan ^r ₁ ko‘phadning ^f va ^g lar orqali ifodasini topamiz:

r ^1
f q₁ g

uni 2-tenglikka qo‘yib ^{r 2} ko‘phadning chiziqli ifodasini topamiz.

_r2 g  _q2
r₁ g ₂ f
(1 q₁q₂ ) g

Xuddi shunday davom ettirib nihoyat ^{d r k} ning chiziqli ifodasiga ega bo‘lamiz.

Misol: 2- misoldagi ^f va ^g ko‘phadlarning EKUBi ^d ning chiziqli ifodasining topamiz.
2-misolda bajarilgan qoldiqli bo‘lish natijalari ko‘rsatadiki,
f xg ³ (x 1)
4

bundan
g (2x 1)( x 1) 0
d x 1 ⁴ xg ⁴ f

3 3
u ⁴ x, v ⁴
ni topamiz shuning uchun

3 3
bo‘ladi.
^d ga karrali bo‘lgan ^h vektorning chiziqli ifodasini ^d ning chiziq ifodasidan foydalanib hisoblash mumkin.

bo‘lsin.

6. 
   ^h 1 ^d _va
   

_d u f _v g

U holda

6. 
   _{h 1} (uf
   

vg) (h₁u) f
(h₁v) g

bo‘ladi.
Amaliyotda ^h ko‘phadning chiziqli ifodasini yevklid algoritmi yordamida emas, balki noma'lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topiladi. Izlanayotgan ^u va ^v ko‘phadlarni umumiy ko‘rinishida noma'lum
koeffitsiyentlar orqali ifodalaymiz, ko‘rish qiyin emaski, bu tenglamalar chiziqli bo‘ladi.
Bu usulni qo‘llash uchun ^u va ^v ko‘phadlarning darajasini oldindan
baholash kerak bo‘ladi. (Boshqacha aytganda biz ularni qanday umumiy ko‘rinishda yozishni bilmaymiz).