80. Birlik elementning mavjudligi. K x
halqaning birlik elementi
(ko‘paytirish amaliga nisbatan neytral elementi) K halqaning birlik elementi bo‘ladi. Haqiqatdan ham ko‘phadlarni ko‘paytirish amalining ta'rifiga ko‘ra,
f (x)
ko‘phad uchun
1 f (x) f (x)
bo‘ladi.
Xususiy holda,
1 xk xk
shuning uchun ko‘phadning yozuvida, odatda
birga teng koeffitsiyentlar yozilmaydi.
90. Ko‘phadning nolning bo‘luvchilariga ega emasligi.
2 ta noldan farqli ko‘phadlar berilgan bo‘lsin:
f ( x) a0
a1 x a2
x 2 ... a
n 1
xn1 a xn
n
g(x) b b x b x 2 ... b
xm1 b x
0 1 2
m1 m m
Ularning ko‘paytmasi noldan farqli bo‘lishini ko‘ramiz. Ta'rifga ko‘ra
f ( x)g (x) a b
(a b
a b )x ... (a
b a b
)xnm1 a b
xnm
0 0 0 1 1 0
n1 m
n m1 n m
bo‘lgani uchun
f (x)g(x)
ko‘phaddagi
xnm
oldidagi koeffitsient
anbm
ga teng
bo‘ladi. K da nolning bo‘luvchilari bo‘lmagani uchun
anbm
0 bo‘ladi va
demak
f (x)g(x) 0
bo‘ladi.
Yuqoridagi mulohazalardan kelib chiqadiki
дар. f ( x) g( x) дар. f ( x) дар. g( x)
(11)
Bu formula (11) tenglikni K halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan holda aniqlangan.
60-90- xossalardan ko‘rinadiki, K x
uchun quyidagi teorema keltirildi.
Teorema 1.
butunlik sohasi bo‘lar ekan shuning
Butunlik sohasi ustidagi ko‘phadlar halqasining o‘zi ham butunlik sohasi bo‘ladi.
Ko‘phadlar halqasida bo‘lish amali agar uni odatdagi ma'noda qaralsa, bajarilmaydi.
Masalan:
R x halqada
x 2 ko‘phadni
x 1
ko‘phadga bo‘lib bo‘lmaydi, ya'ni
bunday ko‘phad mavjud bo‘lganda edi, u holda
x 1
bo‘lganda
1 g (1) 0
noto‘g‘ri tenglikka ega bo‘lar edik ) shuning uchun ko‘p hollarda «qoldiqli bo‘lish» deb ataluvchi amal bajariladi. Bu amal haqida keyinroq batafsil
to‘xtalamiz. Hozir esa uning hususiy holi bo‘lgan bo‘lishni ko‘rib chiqamiz.
Teorema 2.
x x0
ikki hadga qoldiqli
uchun
f (x)
f (x)
– koeffitsiyentlari K halqadan olingan ko‘phad bo‘lsin. x0 K ko‘phadni yagona usulda
f ( x) g ( x)( x x0 ) c
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda
Isboti:
(13)
g( x) K x , с K
bo‘lib, c r
Agar
f ( x) a K
bo‘lsa, u holda
g (x) 0, c 0
deb olish mumkin bo‘ladi.
Ko‘rinib turibdiki, bu
f ( x) 0
uchun yagona imkoniyat. Endi
дар . f
(x) n 0
bo‘lsin.
f (x)
ko‘phadni x ning darajalarini pasaytish
tartibida yozamiz:
0
1
f (x) а xn a xn1 ... a
n 1
n
x a .
Ravshanki
f (x)
ko‘phadni (13) ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u
holda
дар.g(x) n 1
bo‘ladi.
g (x)
ni noaniq koeffitsiyentlar bilan yozamiz:
g (x) b xn1 b xn2 ... b x b
0 1 n 2 n1
f (x) va
g (x)
ifodalarini (13) tenglikka qo‘ysak,
а xn a xn1 ... a x a b xn (b x0b )xn1 (b
x b )xn2 ...
0 1 n1 n 0 1 0
2 0 1
(bn 1 x0bn 2 )x (c x0bn 1)
hosil bo‘ladi.
Bundan ko‘phadlarning tengligi ta'rifiga ko‘ra:
b0 a0
b1 a1 x0b0 b2 a2 x0b1
bn 1 an 1 x0bn 2
c an x0bn 1
(14) kelib chiqadi.
beradi. Yuqoridagi mulohazalardan ko‘rinadiki (13) tenglikni qanoatlantiruvchi
g (x)
ko‘phad va c element mavjud va u bir qiymatli aniqlanadi.
с f (x0 )
ekanini isbotlash uchun (13) tenglikdan foydalanib,
f (x)
ko‘phadning x0
nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz:
bundan
f (x0 ) g (x0 )(x0 x0 ) c
f ( x0 ) c
kelib chiqadi.
Teorema isbot bo‘ldi.
2§ Ko‘phadning ildizi.
Ta`rif. Agar
f ( x0 ) 0
bo‘lsa K halqaning
x0 elementi
f ( x) K x
ko‘phadning ildizi deyiladi.
Teorema 2 dan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. (Bezu teoremasi).
uning ildizi bo‘lsa.
Isboti:
Ravshanki
f (x)
ko‘phad
x x0
ga bo‘linishi uchun (13) tenglikdagi
c 0
bo‘lishi kerak.
c f (x0 )
edi.
c 0
shart
x0 f ( x)
ko‘phadning ildizi degan shart bilan teng kuchli.
(13) tenglikni kanaotlantiruvchi
g ( x)
ko‘phadni va с elementni topish
f ( x)
ko‘phadni
x x0
ga qoldiqli bo‘lish deb ataladi. Bunda
g (x)
– to‘liqsiz
bo‘linma, с esa qoldiq deyiladi. (14) formulalar qoldiqli bo‘lishning amaliy usulini ko‘rsatadi.
f (x)
ko‘phadni
x x0 ga
Hisoblashni quyidagi Gorner sxemasi yordamida bajarish ancha qulaylik yaratadi.
Quyidagi sartdagi elementlar (14) formula yordamida ketma-ket hisoblab
topiladi:
b0 a0 , keyingi element esa o‘ziga mos yuqoridagi elementni
c f (x0 )
edi, shuning uchun bu sxema berilgan ko‘phadning
x0 nuqtadagi
qiymatini hisoblashga ham imkon beradi.
Misol:
R x halqada
f (x) x 4 3x3 6x 2 10x 16
ko‘phadni
x 4
ga qoldiqli bo‘lamiz.
Yechish:
x0 4
bo‘linuvchining koeffitsiyentlari mos ravishda 1,-3,6
-10,16 ga teng. Hisoblashlarni Gorner sxemasi yordamida bajaramiz.
|
1
|
-3
|
6
|
-10
|
16
|
4
|
1
|
4·1-3q1
|
4·1-6q10
|
4·10-10q30
|
4·60+16q136
|
Demak to‘liqsiz bo‘linma
g (x) x3 x 2 10x 30
Misol 2:
Kompleks koeffitsientli
qoldiq esa
c 136
f (x) x 4 2ix 3 (1i)x 2 3x 7 i
ko‘phadning hisoblaymiz.
x0 i
nuqtadagi qiymatini gorner sxemasi yordamida
|
1
|
2i
|
-(1 i )
|
- 3
|
7 i
|
i
|
1
|
i 2i i
|
- i i (1 i) i
|
- i(i) 3 4
|
i(4) 7 i 7 5i
|
Demak,
f (i) 7 5i .
Bezu teoremasi yordamida ko‘phad ildizlari sonining yuqori chegarasini ko‘rsatish mumkin. Shu ma'noda quyidagi teorema o‘rinli bo‘ladi.
Dostları ilə paylaş: |