Z5 ustidagi ko`phad doc

1⁰-5⁰ xossalardan ko‘ramizki, koeffitsiyentlari ^K halqadan olingan ko‘phadlar to‘plamining o‘zi ham ko‘phadlar ustida aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.
Bu halqa ^K halqa ustidagi ( ^x o‘zgaruvchili) ko‘phadlar halqasi deyilib,

K[x]
kabi belgilanadi. Barcha halqalardagi kabi ko‘phadlar halqasida ham

qo‘shish amaliga teskari amal ayirish amali aniqlangan. Kelgusida biz amalning halqa aksiomalaridan kelib chiqadigan asosiy sodda xossalarini ko‘rsatamiz. (2) va (3) ko‘rinishda berilgan ko‘phadlarning ayirmasi (5) formula yordamida topiladi. Bu tenglikning o‘rinli ekanligini ayrimani
f₁ (x) f₁ (x) f₂ ( x) f₁ (x) (f₂ (x))
ko‘rinishda ifodalasa osongina isbotlanadi.

^x ni o‘z ichiga olmagan ko‘phadlar, ya'ni (1) ifodada
n 0
bo‘lgan holda

^K halqaning elementlari bo‘ladi. Ulardagi qo‘shish va ko‘paytirish amali,

2

n
ta'rifdan ko‘rinadiki ^K halqada bajariladi. Boshqacha aytganda, ^K halqa halqaning qism halqasi bo‘ladi.
K[x]

(1) Ifodadagi
a₀ ,
a₁ x,
a₂ x ,
. . . ,
a xⁿ
qo‘shiluvchilar ko‘phadning

hadlari deyiladi. Xususan,
^{a0 }ozod had deyiladi. Odatda (yozuvni soda bo‘lishi

uchun)ko‘phadning yozuvida koeffitsiyenti nolga teng bo‘lgan hadlar tashlab yuboriladi.
Masalan:

6 0 x 3x² 4x³ 0 x⁴
ko‘phad
6 3x² 4x³
kabi yoziladi.

ax^k
ko‘rinishidagi ko‘phad bir had deyiladi.

Ko‘phadlarning yig‘indisi ta'rifiga ko‘ra (1) ko‘phadni

a₀ ,
a₁ x,
a x ² ,
..., a x^m

2

n
birhadlarning yig‘indisi deb qarasak, ko‘phadning yozuvidagi «+» belgini qo‘shish amali deb qarash mumkin bo‘ladi.

(a)x^k
ax^k
birhadga qarama-qarshi birhad deyiladi. Shuning uchun

qandaydir ko‘phadga
(a)x^k
birhadni qo‘shish deganda ko‘phaddan
ax^k
birhadni

ayirish tushuniladi. Bu «-» ni ko‘phadlarni ayirish sifatida qarab
(a)x^k

o‘rniga - ^axk
Masalan:
ni yozish imkonini beradi.

1 (3)x 2x²
ko‘phad o‘rniga
1 3x 2x²
ko‘phadni yozish mumkin.
Endi ^K halqa birlik elementga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. ko‘phadni qaraymiz. Ko‘phadlarni ko‘paytirish formulasiga ko‘ra,
( p( x))² p(x) p( x) 1x ²
( p( x))³ ( p(x))² p(x) 1x³


p(x) 1x

va xokozolarga ega bo‘lamiz. Umuman,
( p( x))^k
( p(x)) ^k1 p(x) 1x ^k

bo‘ladi . ^{K x}
halqada ^1xk
ko‘phadni ^a elementga ko‘paytirsak,

a ( p(x))^k
ax ^k
hosil bo‘ladi. Odatda
( p(x))^k
ifodani
p^k (x)
kabi belgilash

ishlatiladi.
Nihoyat, bir nechta xuddi shunday tengliklarni qo‘shish natijasida

a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n K x

0 1 2 n 0 1 2 n
a a p(x) a ( p(x))² ... a ( p(x))ⁿ a a x a x ² ... a xⁿ
ga ega bo‘lamiz.
Bu tenglik qanday ma'noni anglatadi?
Uning chap tomoni ko‘phadning ta'rifiga ko‘ra ko‘phadning ifodasini bildiradi,

o‘ng tomonida esa
a₀ , a₁ , a₂ ,..., a_n
elementlar va
^{K x} halqaning
p(x)

elementlari o‘rtasida bu halqadagi qo‘shish va ko‘paytirish amali bajarildi.

Shuning uchun ^K halqada birlik element mavjud bo‘lsa biz
p(x)
deb

belgilagan ko‘phadni ^x harfi orqali ifodalab ko‘phadning formal ifodasiga mazmun berdik.
Ko‘phad haqidagi dastlabki ma'lumotlarning yakunida ko‘phadning darajasi tushunchasini va unga bog‘liq bo‘lgan boshqa bir nechta tushunchalarni kiritamiz.
Ta'rif :
Noldan farqli bo‘lgan
f ( x) a a x a x² ... a xⁿ
0 1 2 n

ko‘phadning darajasi deb,
a_k 0
bo‘lgandagi eng katta ^k soniga aytiladi.

Nol ko‘phadning darajasi - ^ deb hisoblanadi.

f (x)
ko‘phadning darajasi
дap.
f (x)
kabi belgilandi.

Nolinchi darajali ko‘phad- bu ^K halqaning noldan farqli elementidir.

Darajasi
^{n 0} bo‘lgan ^ ko‘phad
a a x a x² ... a xⁿ

n
0 1 2 n

ko‘rinishda yoziladi, bu yerda koeffitsiyenti deyiladi.
Ta'rif :
a_n 0 _va
a xⁿ
uning bosh hadi , ^an
esa bosh

Bosh koeffitsiyenti 1 ga teng bo‘lgan (agar ^K halqada birlik element mavjud bo‘lsa) ko‘phad normallashgan ko‘phad deyiladi.

Ko‘phadlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini ifodalovchi (4) va (6)

formulalardan ko‘rinadiki yig‘indi ko‘phad
max
n, m
dan ko‘paytma ko‘phad

esa ^{n m} dan yuqori darajali hadga ega bo‘lmaydi.

Bundan
дар.( f₁(x) f₂ (x)) max дар. f₁( x),дар. f₂ ( x)
дар. f₁ (x) f₂ (x) дар. f₁( x) дар. f₂ (x)
(9)
(10)

munosabatlar kelib chiqadi.
Hozirga qadar biz ^K halqaga hech qanday shart qo‘ymadik.
(Ko‘paytirishning kommutativligi yoki assotsiativligini talab qilmadik). ^{K x}
halqada ko‘paytirish amali yuqoridagi u yoki bu hossani qanoatlantirishi uchun bu xossalarning ^K halqada o‘rinli bo‘lishini talab qilish lozim bo‘ladi. Shu nuqtai nazardan ^K halqada butunlik sohasi bo‘lishini, ya'ni birlik elementli nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan, kommutativ,assotsiativ halqa bo‘lgan holni ko‘rib chiqamiz.
Shunday qilib qaralayotgan ko‘phadlarning koeffitsiyentlari butunlik sohasidan olingan bo‘lsin.
^K butunlik sohasi bo‘lganda ko‘phadlarni ko‘paytirish amali uchun o‘rinli bo‘lgan bir nechta qo‘shimcha xossalar kelib chiqadi.
6⁰. Ko‘paytirishning kommutativligi, ko‘paytirishning ta'rifidan (6) va
(7) formulalardan bevosita kelib chiqadi. Avvalo bir hadlarni ko‘paytirishning

kommutativligini isbotlaymiz.
bx^m axⁿ abx^nm
ax ⁿ
_va bx ^m
birhadlar uchun

bx^m axⁿ bax^nm
bo‘ladi.

^K halqada ko‘paytirish kommutativ bo‘lgani uchun
axⁿ bx^m bx^m axⁿ
ab ba
bo‘ladi, demak,

bo‘ladi.
Endi
f₁ (x) _va


^{f2 (x)} lar ^ ko‘phadlar bo‘lsin
f₁ (x) f₂ (x)
ko‘phad

barcha tuzish mumkin bo‘lgan ^{u v}
ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning

yig‘indisiga teng, bunda hadi.
u f₁ (x)
ko‘phadning hadi, ^v esa
f₂ (x)
ko‘phadning

Masalan:
(2 3x x² )(3 5x) 2 3 2 5x (3x)5x x² 3 x² 5x

Bunga mos ravishda
f₂ ( x) f₁(x)
ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan

21. 
    ^u ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng, bunda ham ^u va ^v lar
    

yuqoridagi ma'noga ega. Masalan:
(3 5x)·(2 - 3x x ^) 3·2 3·(-3x) 3·x^5x·2 5x·(-3x) 5x·x ^
Yuqorida isbotlandiki, birhadlarning ko‘paytirish kommutativ u holda

f₁ (x)
ko‘phadning ^{ u} hadi va
f₂ (x)
ko‘phadning ^{ v} hadi uchun ^{u v v u}

tenglik o‘rinli. Bundan
f₁ (x) f₂ (x) f₂ ( x) f₁ (x)
kelib chiqadi.

7⁰. Ko‘paytirishning assotsiativligi.

( f₁ (x) f ₂ (x)) f₃ (x)
ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan
(u v) _w

ko‘rinishidagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng, bu yerda ^u - ^{f1 (x)}

ko‘phadning, ^v – ^{f2 (x)}
ko‘phadning, ^w - ^{f3 (x)}
ko‘phadning hadi. Xuddi

shuningdek,
f₁(x) ( f ₂ (x) f₃ (x))
ko‘phad barcha tuzish mumkin bo‘lgan ^{u (v w)}

ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisidan iborat, bunda ^{u v} va ^w lar

yuqoridagi ma'noga ega. Shuning uchun
u, v, w
birhadlar uchun

(u v) _w
u (v
^w) ekanini isbotlash kifoya.

axⁿ , bx^m ,cx ^p
birhadlar uchun

(axⁿ bx^m ) cx ^p abx^nm cx ^p abcx ^nmp ax ⁿ (bx^m cx ^p ) axⁿ bcx ^mp abcx ^nmp (ab)c a(bc)
bo‘lgani uchun

bo‘ladi.
(axⁿ bx^m ) cx ^p axⁿ
(bx^m cx ^p )