Z5 ustidagi ko`phad doc

Teorema 3.

Noldan farqli ko‘phadning ildizlari soni uning darajasidan katta emas.

Isboti.

Teoremani ko‘phadning darajasi bo‘yicha induksiya yordamida isbotlaymiz. Nolinchi darajali ko‘phad umuman ildizga ega emas, shuning

uchun bu holda teorema o‘rinli. Faraz qilaylik, teorema barcha
n 1
darajali

ko‘phadlar uchun o‘rinli bo‘lsin va undan teorema o‘rinli ekanini keltirib chiqaramiz.
^n - darajali
f (x)
ko‘phad uchun

Teskarisidan faraz qilamiz, ya'ni
x₁ , x₂ ,..., x_m
lar
f (x)
ko‘phadning ildizi

bo‘lib, ^{m n} bo‘lsin.

Bezu teoremasiga ko‘ra
f (x)
ko‘phad
x x₁
ga bo‘linadi, ya'ni

f (x) (x x₁ )g( x)
bo‘ladi, bu yerda
g (x)
(n 1)
darajali qandaydir ko‘phad ^K

halqaning
x₂ ,..., x_m
elementlari
g (x)
ko‘phadning ildizi bo‘ladi. O‘z navbatida

i 2,..., m
bo‘lganda
f (x_i ) (x_i x₁ )g (x_i ) 0
ga ega bo‘lamiz. ^{xi x1 0} . ^K halqa

esa nolning bo‘luvchilariga ega emas, u holda
g (x_i ) 0
bo‘ladi. Shuning uchun

g (x)
ko‘phad
^{m 1} dan kam ildizlarga ega emas. Bu esa induktiv farazga zid,

chunki
дар.g(x) n 1 m 1 дар _.

Teorema isbot bo‘ldi.

Natija:
Darajasi ⁿ dan oshmagan ko‘phad qiymatli aniqlanadi.
n 1
nuqtada o‘zining qiymati bilan bir

Boshqacha aytganda, kamida bitta darajasi ⁿ dan oshmagan ko‘phad

mavjudki, berilgan (har xil) nuqtalar
x₁ , x₂ ,..., x_n1
da berilgan qiymatlar

y₁ , y₂ ,..., y_n1
ni qabul qiladi.

Isboti: Faraz qilaylik, darajasi ⁿ dan oshmagan 2 ta
f (x) _va
g (x)

ko‘phad
x₁ , x₂ ,..., x_n1
nuqtalarda bir xil qiymatlar qabul qilsin.

h(x) f (x) g(x)
ko‘phadni qaraymiz. Bu ko‘phadning darajasi ham ⁿ

dan yuqori emas.
f (x_i ) g (x_i )
edi. U holda
h(x_i ) 0
bo‘ladi,
i 1,2,..., n 1 _da

ya'ni
x₁, x₂ ,..., x_n1
nuqtalar
h(x)
ko‘phadning ildizlari bo‘ladi. Yuqorida

isbotlangan teoremaga ko‘ra
h(x) 0
bo‘ladi, bundan
f (x) g(x)
kelib chiqadi.

Teorema 4. Agar ^K cheksiz halqa bo‘lsa, u holda ^{K x}
halqaning 2 ta

ko‘phadi orqali aniqlangan funksiyalarning tengligi shu ko‘phadlarning tengligi bilan ifodalanadi.

Isboti:

f (x)
_, g(x) K x
ko‘phadlar bir xil funksiyalarni ifodalasin.

Bundan ko‘rinadiki
 x₀ K
uchun
f (x) g (x₀ )

f (x)
_, g (x)
ko‘phadlardagi eng yuqori darajasini ⁿ bilan belgilaymiz. ^K

halqa cheksiz bo‘lgani uchun unda mavjud bo‘ladi.
n 1
ta har xil elementlar
x₁ , x₂ ,...x_n1

Farazimizga ko‘ra
f (x)
_va g (x)
ko‘phadlar
x₁ , x₂ ,...x_n1
nuqta larning har

birida (va umuman ^ nuqtada) bir xil qiymatlar qabul qiladi.

Teorema 3 ning natijasiga ko‘ra
f (x) g(x)
xulosa kelib chiqadi.

Agar ^{K x}
halqadagi
 f (x)
ko‘phad ^K da aniqlangan va ^K dagi

qiymatlarni qabul qiluvchi funksiyani aniqlasa, teorema4 ko‘phadlar uchun va fuknsiyalar uchun aniqlangan amallarni mos keltiradi. Agar ^K halqa cheksiz

bo‘lsa ^{K x}
dagi har bir ko‘phadga u orqali aniqlanuvchi funksiyani mos

qo‘yuvchi akslantirish ^{K x}
va ^K da aniqlangan holda ^K dagi qiymatlarni

qabul qiluvchi qandaydir funksiyalar halqasida izormorfizm bo‘ladi.

Agar ^K halqaning
^x0 elementi uchun
f ( x₀ ) 0
tenglik bajarilsa, u holda

^x0 element
f ( x) K x
ko‘phadning ildizi deb atalar edi. Berilgan
f (x)

ko‘phadning ildizini topish yoki
f (x) 0
algebrik tenglamani yechish masalasi

matematikaning turli bo‘limlarida asosiy o‘rin tutadi. Ayniqsa, ^K - haqiqiy sonlar yoki kompleks sonlar maydoni bo‘lganda bu masala yana ham chuqurlashadi.

Algebraik tenglamalarni yechish usullarini, jumladan ko‘phadlar algebrasi hamda guruppalar nazariyasi bo‘limlarida ham ko‘rib chiqilgan.
Quyidagi sabablarga ko‘ra maydon ustidagi ko‘phadlarni qaraymiz:

1. 
   Koeffitsiyentlar halqasi maydon bo‘lgan hol yanada muhimroq.
   
2. 
   Maydon ustidagi ko‘phadlar halqasining xossalari birmuncha sodda.
   
3. 
   ^K butunlik sohasi ustidagi ko‘phadlar halqasi ^P nisbatlar maydoni
   

ustidagi ko‘phadlar halqasi uchun qism halqa bo‘ladi. ^{K x}
halqaning

ko‘pgina xossalari ^{P x}
halqaning xossalaridan kelib chiqib isbotlanadi.

Quyida ^P
maydon ustidagi ko‘phadlarning ildizlari haqidagi umumiy

teoremalarni isbotlaymiz.
^{f (x)} - koeffitsiyentlari ^P maydondan olingan ko‘phad bo‘lib
^x0 - uning

ildizi bo‘lsin. Bezu teoremasiga ko‘ra
f (x)
ko‘phad
x x₀
ga bo‘linadi.
f (x)

ko‘phad nafaqat
^{x x0} ga balki
(x x )²
va xatto
x x₀
ning yuqoriroq darajasiga

0
ham bo‘linishi mumkin.

Ta'rif :

x_{0 -}
f (x)
ko‘phadning ildizi bo‘lsin.
f (x)
(x x )^k
ga bo‘linadigan eng

0

0
katta ^k butun son ^x0
ildizning karralisi deyiladi.

Boshqacha aytganda, agar
f (x)
(x x₀ )
ga bo‘linib,
(x x )^k1
ga ham

bo‘linsa, u holda
^x0 - ^k karrali ildiz deb ataladi. Agar
k 1
bo‘lsa, u holda ^x0

karrali ildiz deyiladi: Agar ildizi deyiladi.
k 1
bo‘lsa u holda ^x0
f (x)
ko‘phadning oddiy

Ildizning karralisi uchun keltirilgan yuqoridagi ta'rifni
k 1
bo‘lgan hol

uchun ham qo‘llab hisoblash mumkin. Bu holda ildizning 0 karralisi ko‘phadning umuman ildizi bo‘lmagan, ^P maydonining elementi bo‘ladi.
f (x)

Misol.

f (x) x⁵ 5x ⁴ 7 x³ 2x ² 4 x 8

ko‘phad uchun
x₀ 2
ildizning karralisini aniqlaymiz. Buning uchun
f (x)

ko‘phadni
x 2
ga noldan farqli qoldiq qolguncha ketma-ket bo‘lamiz. Bo‘lishni

qulaylik uchun Gorner sxemasi yordamida bajaramiz.

	1	-5	7	-2	4	-8
2	1	-3	1	0	4	0
2	1	-1	-1	-2	0
2	1	1	1	0
2	1	3	7

Bu yerda 2-satrda koeffitsiyentlari turadi.
f (x)


f₁ (x)
_ni x 2
_ni x 2
ga bo‘lgandagi bo‘linma ga bo‘lgandagi bo‘linma
f₁ (x)
f ₂ ( x)
ning ning

koeffitsiyentlari 3- satrda
f ₂ ( x) _ni
x 2
ga bo‘lgandagi bo‘linma
f ₃ (x)
ning

koeffitsiyentlari 4-satrda turadi va xokazo.
Hisoblash natijalari ko‘rsatishicha
f (x)
ko‘phad
(x 2)³
ga bo‘linadi,

ammo
(x 2)⁴
ga bo‘linmaydi, (qoldiq 7 ga teng bo‘ladi) demak
x₀ 2
ildizning

0
karralisi berilgan
f (x)
ko‘phad uchun 3 ga teng ekan.

Agar
f (x)
ko‘phadning
(x x )^k
ga bo‘linishi ma'lum bo‘lsa, ya'ni

bunda
f (x) g(x) P x
(x x )^k



0
bo‘lsa va
g(x) _,
f (x)
ning
^{(x x0 )} k1 ga bo‘linishini aniqlash talab

qilinsa, u holda
g (x)
ko‘phadning
x x₀
ga bo‘linish- bo‘linmasligini aniqlash

kerak bo‘ladi. Bezu teoremasiga ko‘ra
g (x)
x x₀
ga bo‘linmaydi faqat va

faqat shu holdagi qachonki
g ( x₀ ) 0
bo‘lsa demak, ^P maydonning ^x0
elementi

f (x) P x
ko‘phad uchun ^k - karrali ildiz bo‘lishi uchun

K ⁰
f (x)
(x x )^k
g (x)

bo‘lishi zarur va yetarli, bunda