Z5 ustidagi ko`phad doc

6. Bitiruv malakaviy ishining tuzilishi haqidagi umumiy ma'lumotlar. Bitiruv malakaviy ishi 3 ta qism, 2 ta bob va 6 ta paragrfdan iborat.

1. 
   qism kirish, 2-asosiy qism, 3-xulosa. Asosiy qism 6 tadan paragrfga bo‘linib, o‘rganildi. Bitiruv malakaviy ishi jamida bet xajmni egalladi.
   

Asosiy qism.

1. 
   BOB. Cheksiz maydon ustidagi ko‘phadlar.
   

1. 
   § Halqa ustidagi ko‘phad tushunchasi.
   

^K - ^ halqa bo‘lsin

Ta'rif:

0

1

2

n
а а х а х ² ... а xⁿ
(1)

ko‘rinishdagi ifodaga ^x o‘zgaruvchili ko‘phad deyiladi, bu yerda
n 

nomanfiy butun son,
a₀ , a₁ , a ₂ ,, a_n
lar ^K halqaning elementlari bo‘lib ular

ko‘phadning koeffitsiyentlari deyiladi.

1. 
   ifodaning koeffitsiyentlari ^K halqadan olingan bo‘lsa ko‘phadni ^K
   

halqa ustidagi ko‘phad deyiladi.
Masalan:

1 - х ² 4х ³ - 3х ⁴ ,
- 2 3х - 5х ³ 7х ⁵
lar

butun sonlar halqasi ^Z ustidagi ko‘phadlardir.

2х  ²
4
x ² ,
1  5х ² 9х⁹


, bularesa haqiqiy sonlar halqasi ^R ustidagi

ko‘phadlardir.
Shuni ta'kidlash kerakki (1) ifoda bir butun yaxlit belgi sifatida qaraladi. Ya'ni hech qanday qo‘shish yoki ko‘paytirish amallari uning alohida qismlari

uchun bajarilmaydi. ^K halqaning ^ak
elementi
(k 0,1,2,, n)
(1)

ko‘phadning ^хk
oldidagi koeffitsiyenti deyiladi,
k n
bo‘lgan holda ^xk

oldidagi koeffitsiyent nolga teng deb hisoblanadi. Ko‘phadlar belgilanadi.
f (x), g(x),... _kabi

Ta'rif. Agar
f₁ (x)
ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari
f₂ (x)
ko‘phadning

barcha koeffitsiyentlariga mos ravishda teng bo‘lsa, ya'ni

m
f₁ ( x) a₀



1

2
a₁ x a₂


n

n
x² ... a x

2

0
f ( x) b
b x b x ² ... b x^m
(3) bo‘lib,

bu yerdagi
a₀ , a₁ ,, a_n κ
_, b₀ , b₁ ,, b_m κ а_ b_а_b_а_ b_а_i
b_i ...,

bo‘lsa, u holda yoziladi.
f₁ (x) _va
f₂ (x)
ko‘phadlar teng deyiladi va
f₁ (x) _q
f₂ (x)
kabi

2. 
   va (3) formulalar orqali berilgan
   

f₁ (x) _va
f₂ (x)
ko‘phadlar uchun

k

k
ularning yig‘indisi, ayirmasi va ko‘paytmasini quyidagicha aniqlanadi:

1. 
   
   0
   
   0
   
   1
   
   1
   
   2
   
   2
   
   k
   
   k
   ^f1
   

(x) f ₂
(x) (a₀
b₀
) (a₁
b₁ )x (a₂
b₂
)x ² ... (a
b_k )x
(4)

2. 
   
   ₁
   
   2
   f (x) f
   

10. 
    (a
    

b ) (a
b ) x (a
b )x ² ... (a
b ) x ^k
(5)

bu yerda
k мах{n, m}
m n
bo‘lganda ^{am 0}
va ^n
m bo‘lganda
b_n 0
deb

hisoblanadi.
Masalan:
(2 - x 3x² 5x ⁴ ) (1 - x² x³ - 7x⁴ ) 
(2 1) (-10)x (3 -1)x² (0 1)x³ (5 7)x⁴ 3 - x 2x² x³ 2x ⁴

_v) f₁ (x) _va
f₂ (x)
ko‘phadlarning ko‘paytmasi barcha tuzish mumkin bo‘lgan

21. 
    ^v ko‘rinishdagi ko‘paytmalarning yig‘indisiga teng bo‘ladi, bu yerda ^u -
    

f₁ (x)
ko‘phadning, ^v esa
f ₂ (x)
ko‘phadning ^ hadi. O‘xshash hadlarni

ixchamlagandan so‘ng quyidagi ko‘phad hosil bo‘ladi:

f (x) f
(x) c
c x c x² . c


_xn m
(6)

1 2

bu yerda

0 1 2
n m

k 0 k 1 k-1 2 k-2 k 0
с x^k a b x ^k a x b x^k-1 a x ² b x ^k-2 ... a x ^k b

bundan,
(a₀ b_k
a₁b


k-1
a₂ b

k-2

... a_k b ₀
)x ^k

с_k а₀ а_k а₁ а_k-1 a₂ b_{k -2}  a_k b₀
(7)

(bu yerda yuqoridagi kabi ^l
n bo‘lganda
a_l 0 l m
bo‘lganda

b_l 0
deb hisoblanadi.

Masalan:
(2 - 3х х³ 2х ⁴ )(-1 3х 2х ² ) -2 9х - 5х ² - 7х³ х ⁴ 8х⁵ 4х⁶

Xususiy holda, ^х 4 oldidagi koeffitsiyent (7) formula bo‘yicha
quyidagicha hisoblab topiladi:
2·0 (-3)·00·2 1·32·(-1) 1
Qo‘shish va ko‘paytirishning bunday aniqlash ko‘phadlarning tengligi

ta'rifiga mos keladi. Ya'ni agar
f₁ (x) _q
f₂ (x)
_va g_x
g_x
bo‘lsa, u holda

Izox:

f₁ (x) g_xf_xg_xва f_xg_xg_xf_x


bo‘ladi.

1. 
   Ko‘phadning ifodasidagi ^x harfining o‘rnida ^ boshqa harf bo‘lishi mumkin. Agar ko‘phadning berilishida bu qaysi harf ekani ma'lum bo‘lsa, u
   

holda ko‘phadning belgilanishini qisqartirib, mumkin.
f , g...
ko‘rinishda yozish

2. 
   Ko‘phadning (1) ko‘rinishida berilishidan ko‘rdikki, ko‘phad mavjud bo‘lishi uchun uning koeffitsiyentlari berilishi kerak ekan. Bu koeffitsiyentlarni
   

^K halqaning qandaydir elementlari ketma-ketligi
a₀ , a₁ ,, a_n K
o‘rinishida

ifodalash mumkin. Unga mos holda qo‘shish va ko‘paytirish amallarini bunday ketma-ketliklar ustida aniqlasak, ko‘phadni qisqaroq yozuvda ya'ni ketma-ketlik ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘ladi.
Ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish quyidagi xossalarga ega:

1⁰ . Qo‘shishning kommutativligi

f₁ (x) _va
f₂ (x)
ko‘phadlar (2) va (3)

formulalar orqali berilgan bo‘lsin. U holda ta'rifga ko‘ra

k
f₁ (x) f ₂
(x) (a₀
b₀
) (a₁
b₁ )x (a₂
b₂
)x ²  (a
b _k
)x ^k

k
f₂ (x) f₁
(x) (b₀
a₀
) (b₁
a₁ )х (b₂
a₂
)х ²  (b
a_k
)x ^k

bu yerda
k max{n, m}
bo‘ladi. ^K halqada qo‘shish ya'ni
p 0,1,2,...k

bo‘lganda
a_p b _p b _p a _p
bo‘lagani uchun

f₁(x) f₂ (x)
f₂ (x) f₁(x)
bo‘ladi.

2⁰. Qo‘shishning assotsiativligi

f₁ (x) _, f₂ (x) _, ^{f3 (x)}
ko‘phadlar uchun

( f₁ (x) f₂ (x)) f₃ (x) ( f₁ (x) f₂ (x)) f₃ (x))
tenglikning bajarilishini ^K halqada qo‘shishning assotsiativligidan foydalanib, osongina tekshirib ko‘rish mumkin.
3⁰ . Nolning mavjudligi. Barcha koeffitsiyentlari nolga teng bo‘lgan
ko‘phad nol ko‘phad deyiladi va 0 bilan belgilanadi.
Bu ko‘phad nol element (qo‘shishga nisbatan neytral element) vazifasini bajaradi.

Ko‘phadlarni qo‘shish amalining ta'rifiga ko‘ra
f (x)
ko‘phad

uchun
f (x) 0 f (x)
ekanligi tushunarli.

4⁰. Qarama-qarshi elementning mavjudligi.

f (x)
ko‘phaddagi barcha

koeffitsientlarni mos ravishda ularning qarama-qarshi lari bilan almashtirishdan

xosil qilingan ko‘phadni – ^{f (x)}
ya'ni
kabi belgilanadi. Ravshanki
f (x)
₊ (f (x)) 0

_– f (x)
ko‘phad
f (x)
ko‘phad uchun qarama-qarshi ko‘phaddir.

5⁰. Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan distributivligi.

3 ta ko‘phad berilgan bo‘lsin.

f₁ (x) a₀
a₁ x a₂
x ² ... a xⁿ

2 0 1 2 n

n

n
f (x) b b x b x ² ... b xⁿ

f₃ (x) с₀
с₁ x с₂
x ² ... с xⁿ

( f₁ (x) f₂ ( x)) f₃ (x) f₁( x) f₃ ( x) g₂ (x)g₃ (x)
ekanini isbotlaymiz.
(8)

f₁(x) f₂ (x)
ko‘phad (4) formula orqali berilgan ko‘phadlarni ko‘paytirish

amalining ta'rifiga ko‘ra

( f (x) f (x)) f
(x) d d x d
x² ... d


_x p e

bu yerda

1 2 3
0 1 2
p e

d_k (a₀ b ₀ )c_k (a₁ b₁ )c_{k 1} ... (a_k b _k )c₀

k k
^K halqada distributivlikning o‘rinliligidan foydalanib ^dk ni ko‘rinishida ifodalashimiz mumkin bunda
_d I _d II
yig‘indi

d ^I a c
a c
a c ... a c

k 0 k
1 k 1
2 k 2 k 0

d

II
_k b ₀ c_k b₁ c_{k 1} b ₂ c_{k 2} ... b _k c₀

k
d ^I f 1( x) f 1(x)
ko‘phaddagi
^xk oldidagi koeffitsiyent ekanligi kelib chiqadi.

Bundan (8) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi xuddi shu mulohazalardan foydalanib 2- distributivlik
f₃ (x)( f₁(x) f₂ (x)) f₃ ( x) f₁(x) f₃ (x) f₂ ( x)
ham isbotlandi.