Z5 ustidagi ko`phad doc

Masalan:

g(x) P x
bo‘lib
g ( x₀ ) 0 _.

f (x) (x 2)² ( x⁵ 10x 1) R x

ko‘phad 2 karrali 2 ta ildizga ega aylanmaydi.
x⁵ 10x 1 x _ko‘phad
x₀ 2
nuqtada nolga

Haqiqiy koeffitsiyentli ko‘phadlar uchun oddiy va karrali ildizning geomik ma'nosi quyidagicha:

f (x) P x
ko‘phad uchun ^x0
ildiz oddiy ildiz bo‘lsa
f (x)
ko‘phadning grafigi

x x₀
nuqtada ^{0 x}
o‘qiga urinmaydi, balki bu o‘qni kesib o‘tadi.(1-rasm) ^x0

karrali bo‘lsa
f (x)
ko‘phadning grafigi
x x₀
nuqtada abssissa o‘qiga o‘rinadi.

Bu holda ildizning karralisi urinish tartibiga ko‘ra aniqlanadi (2-rasm)

3. § Ko‘phadlarning EKUBi

Endi yevklid halqasi ustidagi ko‘phadlarni qaraymiz.

Ta'rif: ^K butunlik sohasi bo‘lib,
K \ 0
da nomanfiy butun qiymatlarni

qabul qiluvchi shunday ^N funksiya berilgn bo‘lsaki, quyidagi bo‘lsa:
(E)
xossa o‘rinli

uchun va yoki
a,b k,b 0
q, r k, a bq r
N (r) N (b)
r 0

bo‘lsa, u holda ^K butunlik sohasining Yevklid halqasi deyiladi.
Berilgan ^a va ^b elementlar uchun bunday ^q va ^r elementlarni izlash ^K halqada qoldiqli bo‘lish deb ataladi. Bu holda ^{q a} ni ^b ga bo‘lgandagi to‘liqsiz bo‘linma ^r esa qoldiq deyiladi.
Maydon ustidagi bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar halqasida ^N funksiya

sifatida uning darajasini olish mumkin.U holda teoremadan kelib chiqadi.

Teorema 1.

(E)
xossadan quyidagi

^P - ^ maydon, ^f va ^g - koeffitsiyentlari ^P dan olingan ko‘phadlar bo‘lib

^g 0
bo‘lsin. u holda yagona ^q , ^{r P x}
ko‘phadlar jufti mavjudki uning uchun

quyidagi shartlar o‘rinli bo‘ladi:

1. 
   f g q _r
   

2)
₍ дар.0  bajarildi.) Isboti:
дaр.r дар.g

edi, shuning uchun xususan

r 0
bo‘lgan holda 2- shart

n n1

1

n
f a₀ x a x ... a
g b x^m b x^m1 ... b

0 1 m

bo‘lsin bunda

a₀ 0,b₀ 0 _.

Agar ^n
m bo‘lsa, u holda ^q
0 , ^{r f} deb olish mumkin. ^n
m bo‘lsin,

u holda ^{f1 f}
c x^nm g
deb olamiz, bu yerda

0

b

0
c ^а0
0

Ravshanki
дар. f₁ n 1_.

f a¹ x^n1 a¹x^n1 ... a¹ x a¹

1 0 1


bo‘lsin.
n2
n1

bunda
f ₂ f₁ c₁ x^{n m1} g _,

0
_а 1
c₁  _b

0

deb olamiz.

dap. f ₂ n 2

ekani ravshan. Bu jarayonni

davom ettirb,
f₁ , f₂ ,...
ko‘phadlar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz, bunda dar

^{f k n k} . Oxirgi ko‘phad darajasi ^g ning darajasidan kichik bo‘lgan


^f nm1

ko‘phad bo‘ladi. U holda

6. 
   ⁿ m 1
   

f c x^nm g c x^nm1g ... c g

0 1 nm
ga ega bo‘lamiz.Bundan

0 1 nm
bo‘ladi.
f ^{(c xnm c xnm1 ... c )g }f
n m 1

6. 
   ^{c xnm c xnm1 ... c }
   

^с va

0 1 n m


r ^{f n m 1}
ko‘phadlar teoremaning shartini qanoatlantiradi.
Endi teoremaning shartini qanoatlantiruvchi ^q va ^r ko‘phadlar yagona ekanini hisoblaymiz.
Faraz qilaylik,yagona emas ya'ni
^{f g q} 1 r 1 ^{g q} 2 r 2 _,

Agar
дар.r₁ дар.g дар.r₂ дар.g
(q₁ q₂ )g r₂ r₁
^{q1 q2} bo‘lsa u holda
va
bo‘lsin. U holda bo‘ladi.

2. 
   tomondan
   

дар.
(q₁ q₂ ) g
дар. g

demak
дар.
(r₁ r₂ ) дар. g

q₁ q₂
Bu holda esa faqat
bo‘ladi.

^r1 ^r2
bo‘ladi. Teorema isbot bo‘ldi.

Shunday qilib, ^{P x}
halqa yevklid halqasi ekan. Bundan tashqari bu

halqada qoldiqli bo‘lish bir qiymatli bajariladi.
( bu yevklid halqasining ta'rifida talab etilmaydi)

Amaliyotda ko‘phadlarni qoldiqli bo‘lish xuddi butun sonlardagi kabi bajariladi.

Misol:

^{P x} halqada ^f
2x ⁴ 3x³ 4x ² 5x 6
ko‘phadni ^{g x} 2 ^{3x 1}

ko‘phadga qoldiqli bo‘ling.

Yechish:

Hisoblashlarni quyidagi sxema bo‘yicha bajaramiz.
2x⁴ 3x³ 5x 6
2x⁴ 6x³ 2x ²
3x³ 2x ² 5x 6 3x³ 9x ² 3x
11x2 8x 6

11x2 33x 11
25x 5
x ² 3x 1 2x ² 3x 11

(O‘ng ustundagi bo‘luvchining ostiga to‘liqsiz bo‘linmaning hadlari ketma-ket

yoziladi. Chap ustunda ^g ga karrali bo‘lgan hadlari yoziladi, ular mos ravishda ayiriladi.)
shunday qilib,
f , f₁ , f ₂ ,..., f_n
ko‘phadlarning

^{q 2x 2 3x 11} _, r
25x 5

shuni ta'kidlash kerakki odatdagi ma'nodagi bo‘lish qoldiqli bo‘lishning hususiy holidan iborat ^f ko‘phad ^g ko‘phadga bo‘linadi faqat va faqat shu holdagi qachonki ^f ni ^g ga qoldiqli bo‘lganda qoldiq nolga teng bo‘lsa. Bu
f

holda ^g
bo‘linma to‘liqsiz bo‘linmaga teng bo‘ladi.

Algebra va sonlar nazariyasi asosiy kursida ^ yevklid halqasidagi bo‘linish nazariyasi bayon qilinadi. Bu nazariyaning asosiy tushunchalari va

teoremalari, hususiy holda ya'ni ^P maydon ustidagi ^{P x}
qanday bo‘linishining ko‘rib chiqamiz.
ko‘phadlar halqasida

Avvalo ^{P x}
halqada teskarilanuvchi va assotsirlangan tushunchalari

qanday ma'noni anglatishni ko‘ramiz. Ko‘phadlarni ko‘paytirganda darajalari qo‘shiladi, u holda 2 ta ko‘phadning ko‘paytmasi 1 ga teng bo‘lishi mumkin faqat va faqat shu holdaki 2- ko‘phad nolinchi darajali ko‘phad bo‘lsa, ya'ni

ular ^P maydonning noldan farqli elementlari bo‘lsa, demak ^{P x}
halqada faqat

^P maydonning noldan farqli elementlarigina teskarilanuvchi bo‘ladi. Ravshanki
^P maydonning ^ noldan farqli element teskarilanuvchi bo‘lgani uchun bu

element ^{P x}
halqada ham teskarilanuvchi bo‘ladi. Shunday qilib ^{P x}
halqaning

teskarilanuvchi elementlari bu ^P maydonning noldan farqli elementlaridir.Unga

mos ravishda assotsirlangan elementlari bu ^{P x}
halqadagi ko‘phadlarni ^P

maydonining noldan farqli elementlariga ko‘paytmasidan hosil bo‘lgan ko‘phadlardir.
Berilgan noldan farqli ko‘phad bilan assotsirlangan ko‘phadlar orasida roppa-rosa bitta normallashgan ko‘phad bo‘ladi.
Agar
f (x) ^{а а х а х 2 ... а xn} _{, bunda}

0 1 2


a₀ 0
n
u holda

f (x)
assotsirlarngan yagona normallashgan ko‘phad

¹ f (x) x ⁿ ^a1 x^n1 ... ^{an 1} x ^an

a₀ a₀

ko‘phaddan iborat bo‘ladi.

a₀ a₀

Bo‘linish nazariyasining muhim tushunchalari ideal va bosh ideal tushunchalaridir. Umumiy ta'rifga mos holda quyidagi ta'rifni kiritamiz.
Ta'rif:
^{P x} halqaning ^f ko‘phad yordamida hosil qilingan bosh ideali deb

( f )  u f / u P x
idealga aytiladi.

Agar ^f1
va ^f2
ko‘phadlar assotsirlangan ko‘phadlar bo‘lsa, u holda

( f₁
⁾ va
( f ₂ )
ideallar ustma-ust tushadi.

^ yevklid halqasi kabi ^{P x}
halqa ham bosh ideallar halqasi bo‘ladi bu

degan so‘z
^{P x} halqaning ^{ I} ideali bosh ideal bo‘ladi, ya'ni ( ^f ) ideal bilan

ustima-ust tushadi, bu yerda qandaydir ko‘phad
f I
idealning tashkil etuvchisi deb ataladigan

f₁


bo‘lgan
^{, f 2 ,..., fm P[x]} , halqaning ko‘phadlari bo‘lsin,barcha tuzish mumkin

u₁ f₁ u₂ f ₂ ... u_m f_m (u₁, u₂ ,..., u_m P x )


ko‘rinishdagi «chiziqli kombinatsiya» lar ^{P x}
(1)
da ideal bo‘ladi (1)

ko‘rinishdagi 2 ta ifodaning yig‘indisi va (1) ko‘rinishdagi ifodaning ^ ko‘phadga ko‘paytmasining ham (1) ko‘rinishda ifodalash mumkin. Bu idealni ^I orqali ifodalab, uning tashkil etuvchi ko‘phadi ^d ni qaraymiz ^d ko‘phad quyidagi xossalarga ega:

1. 
   ^d
   

f₁
, f ₂ ,..., f_m
ko‘phadlarning har biri uchun ya'ni ularning umumiy

bo‘luvchilari uchun bo‘luvchi bo‘ladi.

2. 
   ^d
   

f₁ , f ₂ ,..., f_m
ko‘phadlarning ^ umumiy bo‘luvchisi bo‘ladi.