Hosilaning tasviri va tasvirning hosilasi. Hosilaning tasviri va tasvirninghosilasi. Differentsial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operatsionhisob yordamida yechish

Hosilaning tasviri va tasvirning hosilasi. Hosilaning tasviri va tasvirninghosilasi. Differentsial tenglamalarni va tenglamalar sistemasini operatsionhisob yordamida yechish
Reja:

1. 
   Hosilaning tasviri va tasvirning hosilasi
   
2. 
   Differentsial tenglamalarni
   
3. 
   Vektor maydondagi ikkinchi tartibli amallar
   
4. 
   Foydalanilgan adabiyotlar
   

Aytaylik f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin. Bu intervalga tegishli x₀ nuqta olib, unga shunday x orttirma beraylikki, x₀+x(a,b) bo‘lsin. Natijada f(x) funksiya ham x₀ nuqtada y=f(x₀+x)- f(x₀) orttirmaga ega bo‘ladi.

Ta’rif. Agar x0 da nisbatning limiti mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi deyiladi va f’(x₀), yoki y’(x₀), yoki orqali, ba’zan esa yoki kabi belgilanadi.
Bu holda funksiya x₀ nuqtada hosilaga ega deb ham aytiladi.Demak,
.
Bunda x₀+x=x deb olaylik. U holda x=x-x₀ va x0 bo‘lib, natijada
bo‘ladi. Demak, f(x) funksiyaning x₀nuqtadagi hosilasi xx₀ da nisbatning limiti sifatida ham ta’riflanishi mumkin:
Yuqoridagi limit mavjud bo‘lgan har bir x₀ ga aniq bitta son mos keladi, demak f’(x) - bu yangi funksiya bo‘lib, u yuqoridagi limit mavjud bo‘lgan barcha x nuqtalarda aniqlangan. Bu funksiya f(x) funksiyaning hosila funksiyasi, odatda, hosilasi deb yuritiladi.
Endi hosila ta’rifidan foydalanib, y=f(x) funksiya hosilasini topishning quyidagi algoritmini berish mumkin:
1⁰. Argumentning tayinlangan x qiymatiga mos funksiyaning qiymati f(x) ni topish.
2⁰. Argument x ga f(x) funksiyaning aniqlanish sohasidan chiqib ketmaydigan x orttirma berib f(x+x) ni topish.
3⁰. Funksiyaning f(x)=f(x+x)-f(x) orttirmasini hisoblash.
4⁰. nisbatni tuzish.
5⁰. nisbatning x0 dagi limitini hisoblash.
Misollar.1.y=kx+b funksiyaning hosilasini toping.
Yechilishi. Hosila topish algoritmidan foydalanamiz.
1⁰. Argument x ni tayinlab, funksiya qiymatini hisoblaymiz: f(x)=kx+b.
2⁰. Argumentgax orttirma beramiz, u holda f(x+x)=k(x+x)+b=kx+kx+b.
3⁰. Funksiya orttirmasi f(x)=f(x+x)-f(x)=(kx+kx+b)-( kx+b)=kx.
4⁰. = , 5⁰. = k=k.
Demak, (kx+b)’=k ekan. Xususan, y=b o‘zgarmas funksiya (bu holda k=0) uchun (b)’=0; y=x (k=1) funksiya uchun x’=1 bo‘ladi.
2.y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechilishi. 1⁰. f(x)= , 2⁰. f(x+x)= .
Bu erda umumiylikni cheklamagan holda x>0 va |x|<x deb hisoblaymiz.3⁰. f(x)=f(x+x)-f(x)= - = , 4⁰. =
5⁰. = ( )= Demak, =

Egri chiziq urinmasi

Siz aylananing urinmasi tushunchasi bilan tanishsiz. Aylanaga o‘tkazilgan urinma shu aylana bilan yagona umumiy nuqtaga ega, shuningdek aylana to‘g‘ri chiziqning bir tomonida joylashgan bo‘lar edi. Endi tekislikda ixtiyoriy egri chiziq berilgan bo‘lsa, unga o‘tkazilgan urinmani qanday aniqlash mumkin degan masalani qaraylik.U rinmani egri chiziq bilan yagona umumiy nuqtaga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziq sifatida aniqlash mumkin emas, chunki, masalan y=ax² parabolaning o‘qi parabola bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega, lekin parabolaga urinmaydi. Egri chiziq urinma to‘g‘ri chiziqning bir tomonida joylashishi muhim xususiyat emas, chunki y=ax³ egri chiziqqa abssissa o‘qi (0;0) nuqtada urinadi, lekin egri chiziq bu o‘qni shu nuqtada kesib o‘tadi. Urinmaning egri chiziq bilan yagona umumiy nuqtaga ega bo‘lishi ham uning muxim

1-chizma
2-chizma

xususiyati bo‘la olmaydi. Masalan x=1 to‘g‘ri chiziq y=sinx sinusoida bilan cheksiz ko‘p umumiy nuqtaga ega, ammo u sinusoidaga urinadi. (1-chizma)
Urinmaga ta’rif berish uchun limit tushunchasidan foydalanishga to‘g‘ri keladi. Faraz qilaylik G biror egri chiziq yoyi, M₀ shu egri chiziqning nuqtasi bo‘lsin. Egri chiziqqa tegishli N nuqtani tanlab, M₀N kesuvchi o‘tkazamiz. Agar N nuqta egri chiziq bo‘ylab M₀ nuqtaga yaqinlashsa, M₀N kesuvchi M₀ nuqta atrofida buriladi. Shunday holat bo‘lishi mumkinki, N nuqta M₀ nuqtaga yaqinlashgan sari M₀N kesuvchi biror M₀T limit vaziyatga intilishi mumkin. Bu holda M₀T to‘g‘ri chiziq G egri chiziqning M₀ nuqtasidagi urinmasi deyiladi. (2-chizma)

3-chizma 4-chizma 5-chizma

Agar kesuvchining limit holati mavjud bo‘lmasa, u holda M₀ nuqtada urinma o‘tkazish mumkin emas deyiladi. Bunday hol M₀ nuqta egri chiziqning qaytish nuqtasi (3,4 -chizma), yoki sinish (o‘tkirlanish) nuqtasi (5-chizma) bo‘lganda o‘rinli bo‘ladi.

Egri chiziq urinmasining burchak koeffitsientini topish masalasi

E ndi G egri chiziq biror oraliqda aniqlangan uzluksiz y=f(x) funksiyaning grafigi bo‘lgan holda urinmaning burchak koeffitsientini topaylik. Qaralayotgan f(x) funksiya grafigini ifodolovchi G chiziqqa tegishli M₀nuqtaning abssissasi x₀, ordinatasi f(x₀) va shu nuqtada urinma mavjud deb faraz qilaylik.
G chiziqda M₀ nuqtadan farqli N(x₀+x, f(x₀+x)) nuqtani olib, M₀N kesuvchi o‘tkazamiz. Uning Ox o‘qi musbat yo‘nalishi bilan tashkil etgan burchagini  bilan belgilaymiz (6-chizma). Ravshanki,  burchak x ga bog‘liq bo‘ladi: =(x) va tg= o‘rinli
6-chizma Urinmaning absisa o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagini  bilan belgilaymiz. Agar /2 bo‘lsa, u holda tg funksiyaning uzluksizligiga ko‘ra k_urinma=tg = , va N nuqtaning M₀ nuqtaga intilishi x yning 0 ga intilishiga teng kuchli ekanligini e’tiborga olsak, k_urinma = tenglikka ega bo‘lamiz.

Hosilaning fizik ma’nosi
Hosila tushunchasiga olib keladigan ikkinchi masalada harakat qonuni s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligi v_oniy = ekanligini ko‘rgan edik. Bundan hosilaning fizik (mexanik) ma’nosi kelib chiqadi.