Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA
Yüklə 5,01 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- 2. Необходимые сведения
- Теорема 2.
- Теорема 3.
- Теорема 4.
- Теорема 5.
- Теорема 6.
23 N n t nt sin , (1) N n t nt cos , (2) где R t t , , 2 1 действительные параметры ( N -натуральные числа). Обоснование метода диктует изучение базисных свойств этих систем в лебеговых и соболeвых пространствах функций. При 0 базисные свойства этих систем в пространствах p L p 1 , , полностью изучены в работах [17-21]. Весовой случай пространства p L рассмотрен в работах Е.И.Моисеева [22;23]. Базисные свойства некоторых возмущённых систем экспонент в соболевых пространствах изучены в работах [27-30]. К подобным числам работ можно отнести результаты авторов [31-36]. Одним из методов изучения базисных систем вида (1), (2) является метод краевых задач теории аналитических функций. Он берет свое начало с одной заметки А.В. Бицадзе [37]. Этим методом успешно пользовались авторы работ [18-26]. Следуя этому методу, чтобы изучать базисные свойства систем вида (1), (2) в пространствах типа Морри, сперва следует исследовать разрешимость краевых задач Римана в пространствах Харди типа Морри. В данной работе рассматривается однородная краевая задача Римана в пространствах Харди типа Морри. Изучается разрешимость этой задачи и строится общее решение однородной задачи при определенных условиях на коэффициент задачи. Отметим, что в работе [11] рассматриваются классы Morrey-Hardy и Morrey-Lebesgue. Определяются подпространства этих пространств, в которых оператор сдвига непрерывен. Изучаются вопросы базисности классической системы экспонент и некоторых ее частей в этих подпространствах. 2. Необходимые сведения Нам понадобятся некоторые сведения из теории пространств типа Morrey. Пусть некоторая спрямляемая кривая Жордана на комплексной плоскости C . Через M обозначаем линейную меру Лебега множества M . Запись x g x f ~ , M x , означает, что 1 : 0 x g x f , M x . Аналогичный смысл несет запись x g x f ~ , a x . Под пространством Morrey-Lebesgue , p L , 1 0 , 1 p , понимаем нормированное пространство всех измеримых на функций f с конечной нормой , p L : p B p B L d f B f p 1 1 sup , . , p L является банаховым и p p L L 1 , , L L p 0 , . Естественным образом определяется весовой случай , p L пространства Morrey-Lebesgue с весовой функцией на с нормой , p L : 24 , , p p L L f f , , p L f . Верно включение 2 1 , , p p L L при 1 0 2 1 . Таким образом, 1 , L L p , 1 , 0 , 1 p . Далее будем рассматривать случай , и положим , , , p p L L . Единичную окружность с центром в 0 z обозначим через и пусть int . Определим пространство Morrey-Hardy , p H аналитических внутри функций z f с нормой , p H : , , 1 0 sup p p L it r H re f f . В работе [11] установлена справедливость следующей теоремы. Теорема 1. Функция f принадлежит , p H только тогда, когда , p L f : z d f i z f 2 1 . Справедлив также аналог теоремы Смирнова в классах Morrey-Hardy. Теорема 2. Пусть , 1 p H f , 1 1 p , 1 0 , и , 2 p L f , где 2 1 p p , f - некасательные граничные значения функции f на . Тогда , 2 p H f . Обозначим через , ~ p L линейное подпространство , p L функций, сдвиги которых непрерывны в , p L , т.е. 0 , p L f f , при 0 . Берем замыкание , ~ p L в , p L и обозначим его через , p L . В работе [11] доказана следующая Теорема 3. Бесконечно дифференцируемые на 2 , 0 функции плотны в пространстве , p L . Рассмотрим следующий сингулярный оператор d f i Sf 2 1 , . Используя результаты работ [9, 10, 12] легко доказывается следующая Теорема 4. Сингулярный оператор S ограниченно действует в , p L , при 1 0 и p 1 . Также доказана следующая Теорема 5. Пусть , p L f , 1 0 , p 1 . Тогда 0 , p L f r f K , 0 1 r , где z f K интеграл типа Коши z d f i z f 2 1 K , z . Аналогичное утверждение верно и для случая f при 0 1 r . Итоговым результатом работы [11] является следующая Теорема 6. Система экспонент Z n nt i e образует базис в , p L при p 1 , 1 0 . Yüklə 5,01 Kb. Dostları ilə paylaş:
|