Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA

16
 
 
.
)
(1
)
(1
1/2)
(
1)
(
=
)
(
1/2
2
1
1
dt
e
t
t
α
π
α
x
λ
i
E
xt
λ
i
α
α








Γ
Γ
 
Заметим, что 
x
e
x
E


=
)
(
1/2

. 
Преобразование Данкля функции 

F
, 
)
(
1,
R

L
f

 задается по формуле  
 
.
   
),
(
)
(
)
(
:=
)
(
R
F
R



λ
x
μ
d
x
f
x
λ
i
E
λ
f
α
α
α
 
 Отметим, что для каждого 
R

x
 справедлива оценка 
1
)
(

ix
E
α
 ( [5], стр. 295). 
Заметим,  что 
1/2

F
 совпадает  с  преобразованием  Фурье 
F
,  заданным  по  формуле:  
.
   
,
)
(
)
(2
:=
)
(
1/2
R
F
R




λ
dx
x
f
e
π
λ
f
x
λ
i
 
Теперь  переходим  к  определению  потенциалов  Бесселя,  порожденных  операторам 
Данкля (

 потенциалов  Данкля-Бесселя  или 
D
-потенциала  Бесселя).  Рассмотрим  оператор 
2
2
)
(




D
I
, определенный в образах Данкля как  
 
.
)
(1
=
)
(
2
2
1
2
2
f
F
F
f
D
I











 
Показано,  что  он  реализуется  в  виде  интегрального  оператора  типа  свертки,  порожденного 
оператором  обобщенного  сдвига  Данкля.  Следовательно,  Бесселевый  потенциал, 
порожденной оператором Данкля определен следующим образом: 
 
),
(
)
(
))
(
(
=
)
)(
(
=
)
(
,
,
,
y
d
y
f
y
G
x
f
G
x
f
J
x













R
 
где ядро 
D
-потенциала Бесселя  
,
  
,
)
2
(
2
)
2
1
(
=
)
(
1
/2
2
|
|
0
,
R










x
t
dt
t
e
β
α
c
x
G
α
β
t
x
t
α
α
β
Γ
Γ
  где 
2
1
1))
(
(2
=







c
. 
Из определения оператора 
2
2
)
(




D
I
 следует, что  
 
   
,
)
(
=
)
(
2
2
,
f
D
I
x
f
J






 

f
 
D
)
(
R
, 
0


 , 
т.е. оператор 


,
J
 реализует отрицательные степени оператора 
2

D
I

. 
Для 
D
-потенциал  Бесселя  имеет  место  следующий  аналог  теоремы  Харди-
Литтлвуда-Соболева.  Эта  теорема  является  основным  результатом,  в  котором  получены 
достаточные условия для 
D
- потенциала Бесселя 


,
J
 типа Данкля. 
Теорема.   Пусть 
)
(
,
R

p
L
f

, 



p
1
 и 


,
J
 определено как (2). Тогда 
1) Если 



p
1
, то оператор 


,
J
 ограниченно действует из 
)
(
,
R

p
L
 в 
)
(
,
R

p
L
.  
Более того,  
α
p
L
α
p
L
α
β
f
f
J
,
,
,

; 

---

17
 
 
2)  Если 
2
2
<
<
0



, 


2
2
<
<
1

p
,  и 
2
2
=
1
1




q
p
,  тогда  оператор 


,
J
 
ограниченно действует из 
)
(
,
R

p
L
 в 
)
(
,
R

q
L
. Более того,  
                                    
;
,
1
,
,




p
L
q
L
f
C
f
J

                                               (3) 
3)  Если 
1
=
p
, 
2
2
=
1
1




q
,  тогда  оператор 


,
J
 ограниченно  действует  из 
)
(
1,
R

L
 в 
)
(
,
R

q
WL
. Более того, 
;
1,
1
,
,




L
q
W L
f
C
f
J

                                   (4) 
4)  Если 


2
2
=

p
, 

=
q
,  тогда  оператор 


,
J
 ограниченно  действует  из 
)
(
,
R

p
L
 в 
)
(
R

L
. Более того,  
                                       
;
,
2
,



p
L
L
f
C
f
J


                                           (5) 
5)  Если 




q
p
1
, 
)
1
1
2)(
(2
>
q
p
α
β


,  тогда  оператор 


,
J
 ограниченно 
действует из 
)
(
,
R

p
L
 в 
)
(
,
R

q
L
. Более того, 
                                            
.
,
1
,
,




p
L
q
L
f
C
f
J

                                        (6) 
 Доказательство.  1)  получается  из  неравенства  Юнга  с  учетом  того,  что 

1,
L
-  норма  ядра 
)
(
,
x
G


, 
R

x
 равна  единиче,  т.е. 
1
=
1,
,



L
G
.  Чтобы  доказать  2)  и  3),  ядро 
)
(
,
x
G


 
представим в виде 
),
(
)
(
=
)
(
2
1
,
x
G
x
G
x
G



 где  
 






t
x
t
x
x
G
x
G
|
|
,
0
|<
|
,
)
(
=
)
(
,
1


  и  






.
|>
|
,
)
(
|
|
,
0
=
)
(
,
2
t
x
x
G
t
x
x
G


 
Тогда 
),
,
(
)
,
(
=
)
)(
(
)
)(
(
=
)
(
2
1
,
t
x
C
t
x
A
x
f
G
x
f
G
x
f
J






 и значит,  
 
.
*
,
2
,
1
,
,





q
L
q
L
q
L
f
G
f
G
f
J



 
Учитывая асимптотические равенства имеем  
 


2,
2
<
<
0
0,
|
|
,
|
|
|
|
=
)
(
2
2
2
2
1
1
















и
x
при
x
o
x
C
x
G
 
и     









|
|
2
1
2
=
)
(
x
e
O
x
G
,  при   
.
|
|


x
 Пусть 
k
-любое  целое  число.  Суммируя  для  любого 
0,
<
k
 имеем  

---