Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA
Yüklə 5,01 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Теорема 10.
- Следствие 1.
- Замечание 1.
- ЛИТЕРАТУРА 1.
29 0 1 , s s s k k k h s : 1 , r k s s h k k k , 1 , 0 0 скачки функции в точках разрыва r r k s s s ... : 1 1 . Положим 0 0 0 , h h . Пусть d t ctg t t u h 2 4 1 exp 2 sin 0 2 0 0 0 . Обозначим 2 1 2 sin k h r k k s t t u . Как следует из результатов работы [38], 2 Z выражается формулой 2 1 0 2 0 2 sin h it t t u t u e Z . Из формулы Сохоцкого-Племеля непосредственно следует 1 1 , sup it e Z vrai . Таким образом, для 1 it e Z имеем представление 2 1 0 1 1 1 0 2 sin h it it t t u t u e Z e Z . (8) Как следует из работы [38], имеет место соотношение 1 0 , sup u vrai . Применив Лемму 1 [12] к выражению (8) и учитывая Лемму 4 получаем, что функция 1 it e Z принадлежит пространству , q L , если выполнены следующие неравенства r k q h k , 0 , 2 . (9) Итак, в результате получаем, что если выполнены неравенства (9), то функция it e принадлежит 1 L . Оно следует непосредственно из Леммы 2. Тогда из теоремы о единственности [38] (Лемма 19.1, с. 194) следует, что z является полиномом z P m степени m k , и в результате имеем z P z Z z F m . Выясним принадлежность функции F классу , p H . Для этого достаточно доказать, что it e Z принадлежит , p L . Из (8) получаем представление 2 1 1 0 2 sin h o it it t t u t u e Z e Z . Снова обратив внимание к Лемме 4 получаем, что , p L Z тогда и только тогда, когда выполнены неравенства r k p h k , 0 , 2 . (10) 30 В результате получаем, что если выполнены неравенства (9) и (10), то общее решение однородной задачи (6) в классах , , p m p H H имеет вид z P z Z z F m , где m P произвольный полином степени m k . Итак, справедлива Теорема 10. Пусть коэффициент G задачи (6) удовлетворяет условиям: i) L G 1 ; ii) it e G arg кусочно непрерывна на r r k s s s ... : , , 1 1 точки разрыва, 0 0 k k k s s h , r k , 1 соответствующие скачки, 0 h . Тогда, если выполнены неравенства p h q k 2 , r k , 0 , (11) то однородная задача Римана (6) имеет общее решение в классах , , p m p H H вида z P z Z z F m , где Z каноническое решение, m P произвольный полином степени m k . Из этой теоремы непосредственно следует следущее Следствие 1. Пусть выполнены все условия Теоремы 10. Тогда однородная задача Римана (6) имеет только тривиальное решение в классах , , p m p H H , при 1 m . Замечание 1. Следует обратить внимание на то, что предельное положение неравенств (11) при 0 1 являются неравенства r k p h q k , 0 , 1 2 1 ; (12) которые достаточны для установления общего решения однородной задачи Римана (6) в классах Харди p m p H H . В этом случае теория задачи Римана достаточно хорошо разработана и освещена в монографии И.И. Данилюка [38]. Итак, получаем, что если неравенства (11) выполнены при некотором 1 , 0 , то общее решение однородной задачи Римана (6) в классах Харди p m p H H имеет вид z P z Z z F m , где Z каноническое решение, m P произвольный полином степени m k . Наоборот, если выполнены неравенства (12), то ясно, что 1 , 0 , такое, что имеют место неравенства (11), и в результате справедливо утверждение Теоремы 10. ЛИТЕРАТУРА 1. Anna L. Mazuccato. Decomposition of Besov-Morrey spaces. In Harmonic Analysis at Mount Holyake, AMS series in Contemporary Mathematics, 2003, 320, pp.279-294 2. Yemin Chen. Regularity of the solution to the Dirichlet problem in Morrey space, J. Partial Diff. Equations, 2002, 15, pp.37-46 3. Lemarie-Rieusset P.G. Some remarks on the Navier-Stokes equations in 3 R , J. Math. Phys., 1988, 39(8), pp.4108-4118 4. Giga Y., Miyakawa T. Navier-Stokes flow in 3 R with measures as initial vorticity and Morrey spaces, Comm. In Partial Differential Equations, 1989, 14(5), pp.577-618 Yüklə 5,01 Kb. Dostları ilə paylaş:
|