Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA

25
 
 
Рассмотрим  пространство 

,
p
H

.  Подпространство  пространства 

,
p
L
,  порожденное 
сужениями  функций  из 

,
p
H

 на 

,  обозначим  через 

,
p
L

.  Из  результатов  предыдущих 
пунктов непосредственно следует, что пространства 

,
p
H

 и 

,
p
L

 изоморфны и 
    
z
Jf
f



,  где 

,
p
H
f


, 

f
 -  некасательные  граничные  значения 
f
 на 

,  и  J  осуществляет 
соответствующий изоморфизм. 
 
Пусть 



,
,
,
p
p
p
L
L
L




.  Ясно,  что 

,
p
L

 является  подпространством 

,
p
L
 
относительно нормы 

,
p
L

. Положим 
 


,
1
,
p
p
L
J
H




. Оно является подпространством 

,
p
H

.  Пусть 

,
p
H
f


 и 

f
 ее  граничные  значения.  Совершенно  очевидно,  что  норму 

,
p
H
f

 
можно определить и выражением 


,
,
p
p
L
H
f
f



. 
 
Аналогично  классическому  случаю,  определяем  класс  Morrey-Hardy  вне 

.  Итак, 
пусть 

\
C
D

.  Будем  говорить,  что  аналитическая  в 

D
 функция 
f
 имеет  конечный 
порядок  k  на бесконечности, если ряд Лорана ее в окрестности бесконечно удаленной точки 
имеет вид 
 




k
n
n
n
z
a
z
f
, 


k
, 
0

k
a
.                                    (3) 
Таким образом, при 
0

k
 функция 
 
z
f
 имеет  полюс  порядка 
k ;  при 
0

k
 она  ограничена; 
а в случае 
0

k
 имеет  нуль порядка 
 
k

. Пусть 
 
 
 
z
f
z
f
z
f
1
0


, где 
 
z
f
0
 -  главная, а в 
 
z
f
1
 -  правильная  части  разложения  (3)  функции 
 
z
f
.  Следовательно,  если 
0

k
,  то 
 
0
0

z
f
.  При 
0

k
, 
 
z
f
0
 есть  полином  степени 
k .  Будем  говорить,  что  функция 
 
z
f
 
принадлежит классу 

,
p
m
H

, если 
f
 имеет порядок на бесконечности меньше либо равен 
m , 
т.е. 
m
k

 и 

,
1
1
p
H
z
f








.  
 
Совершенно  аналогично  случаю 

,
p
H

,  определяется  класс 

,
p
m
H

.  Иначе  говоря, 

,
p
m
H

 -  подпространство  функций  из 

,
p
m
H

,  сдвиги  которых  на  единичной  окружности 
непрерывны относительно нормы 
 


,
p
L

. 
 
Нам понадобится также следующий результат из работы [11]. 
Теорема  7.  Системы 
 


Z
n
nt
i
e
; 
 
N
n
nt
i
e


 (
 


Z
n
n
z
;
 
N
n
n
z


)  образуют  базисы  в 
пространствах 

,
p
L

; 

,
1
p
L


 (

,
p
H

; 

,
1
p
H


), соответственно. 
 
Будем  пользоваться  также  следующими  понятиями.  Пусть 
C


-  некоторая 
ограниченная  спрямляемая  кривая,  и 
 
l
t
t





0
,
,  ее  параметрическое  представление 
относительно длина дуги 

, 
l - длина 

. Положим 
 


d
t
d

, т.е. 
 


 - линейная мера на 

. Пусть 
          
 


,
:
r
t
r
t








    
 
 
 


.
:
r
s
r
s
t









 
Совершенно очевидно, что 
 
 
 
r
r
t
s
t



. 
 
Определение 1. Кривая 

 называется карлесоновой, если 
0


c
: 
 


0
,
sup






r
cr
r
t
t

. 

---