Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA

10
 
 
 
a)  
a
b

   (bu teoremi şərti olaraq düz teorem adlandıraq) :  
 
b)  düz teoremin əks теоремi:   
b
a

;  
 
c) düz teoremin  tərs  теоrемi:   
a
b

;  
 
d) əks teoremin tərs teoremi:    
b
a

.  
 
Əgər yuxarıdakı teoremi düz teorem olaraq qəbul etsək, onda bu teoremdən  
aşağıdakı teoremləri almaq olar:  
 
1) Əgər dördbucaqlı - paraleloqramdırsa, onda onun diaqonalları kəsişərək,  
kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünürlər  ( 
a
b

 ) .  
 
2)  Əgər  dördbucaqlıda  diaqonallar  kəsişərək  kəsişmə  nöqtəsində  kəsişərək,  yarıya 
bölünürsə, onda bu dördbucaqlı paraleloqramdır  (
b
a

).  
  
3)  Əgər  dördbucaqlı  paraleloqram  deyilsə,  onda  onun  diaqonalları  kəsişərək,  kəsişmə 
nöqtəsində yarıya bölünmürlər (
a
b

). 
 
4) Əgər dördbucaqlıda diaqonallar kəsişərək, kəsişmə nöqtəsində  yarıya  bölünmürsə, onda 
belə dördbucaqlı  paraleloqram deyil   (
b
a

). 
 
Asanlıqla isbat etmək olar ki, bu misalda alınan bütün dörd teoremin hər biri doğrudur.  
 
Lakin bu həmişə belə olmur.  
 
Belə bir təklifə baxaq:  
 
“Əgər bucaqlar qarşılıqlıdırsa, onda onlar bərabərdirlər (p 

q)” Verilmiş bu teoremin əks 
teoremini, tərsini və əks teoremin tərs teoremini tərtib edək:    
  
b) Əgər bucaqlar bərabərdirsə, onda onlar qarşılıqlı bucaqlardır  (q

 p). 
 
c) Əgər bucaqlar qarşılıqlı deyilsə, onda onlar bərabər deyil    (
p
q

). 
 
d) Əgər bucaqlar bərabər deyilsə, onda onlar qarşılıqlı deyil    (
q
p

) . 
 
Bu misal göstərir ki,  
 
a)  düz  teorem  doğru  olsa  da,  onun  əksi  olan  teorem  doğru  deyil  (məsələn,    düz  bucaqlar 
bərabırdir, lakin onların qarşılıqlı olmaları vacib deyil;   
 
b) düz teorem doğru olsa da teoremin tərsi olan teorem doğru deyil;  
 
c)  verilmiş  teoremin  əksi  olan  teorem  doğru  olmasa  da  əks  teoremin  tərsi  olan  teorem 
doğrudur.  
 
Burada müəyyən  edilmiş  xassələr təsadüfi deyildir. Bu dörd növ teorem  arasında sıx əlaqə 
vardır (doğru teoremlərdə).    
 
1) p

q və 
1
1
q
p

  
eyni zamanda doğrudur və ya doğru deyildir. 
 
2)q 

p
 və (
1
1
p
q

) həmçinin eyni zamanda doğrudur və ya doğru deyildir.  
 
Teoremlər arasında belə qarşılıqlı əlaqənin olması onların öyrənilməsini  
asanlaşdırır.  
 
Doğrudan da, riyazi obyektlərin teoremlər şəklində ifadə olunmuş xassələrinə  
baxdıqda,  bütün  dörd  növ  teoremlərin  hamısının  öürənilməsi  zərurəti  yoxdur:  cüt-cüt  ekvivalent 
olan teoremlərdən (düz və tərs və ya düz və əks və s.) hər hansı birinin doğru olduğunu və ya doğru 
olmadığını müəyyənləşdirmək kifayətdir, belə ki, bu iki teoremdən hər birinin doğru olması və ya 
doğru olmaması qalan iki teoremdən hər birinin doğru olmasını və ya doğru olmamasını müəyyən 
etmək  yetərli  olar.  Elə  buna  görə  də  istənilən  riyaziyyat  kursunda  biz  adətən  yalnız  düz  və  tərs 
teoremlərlə rastlaşırıq, qalan teoremlər və onların isbatları ilə çox təsadüfi hallarda rastlaşırıq.     

---

11
 
 
 
 Zəruri və kafi şərt..  
 
Aşağıdakı təklifləri nəzərdən keçirək:  
 
1) Əgər verilmiş natural ədəd cütdürsə, onda həmin ədəd 6–ya bölünür..  
 
2) Əgər verilmiş natural ədəd  6– ya bölünürsə, onda həmin ədəd  cütdür.  
 
3) Əgər verilmiş natural ədəd cüt deyilsə, onda həmin ədəd  2 –yə bölünmür.  
 
4) Əgər verilmiş natural ədəd  2 – yə bölünmürsə, onda natural ədəd cüt deyil.  
 
Bu təkliflərin hər birini riyazi məntiq dilində ifadə etmək olar:  
 
1
1
1
1
1)
; 2)
; 3)
; 4)
p
q
q
p
p
q
q
p




. 
 
Biz  görürük  ki,  birinci  təklif  doğru  deyil,    lakin  ikinci,    üçüncü    və  dördüncü  təkliflər 
doğrudur. 
 
Teoremləri ifadə etdikdə tez-tez “kafi”, “zəruri”, “zəruri və kafi” terminindn istifadə edirlər. 
Bu terminlərin mənasını aydınlaşdıraq:    
 
1.  Əgər  p  –dən  məntiqi  olaraq    q  alınırsa  (yəni 
p
q

 teoremi    doğrudursa),  onda    p  
şərtinə  q hökmü üçün kafi şərt deyilir. 
 
2.  Əgər  q  –  dən  məntiqi  olaraq  p  alınırsa  (yəni 
q
p

 teoremi  doğrudursa),  onda      p   
şərtinə  q  hökmü üçün zəruri şərt deyilir. 
 
3. Əgər  p  - dən məntiqi olaraq  q  alınırsa və  q –dən də  məntiqi olaraq  p   
alınırsa (yəni hər iki teorem : düz və onun tərsi doğrudursa), onda  p  şərtində  q  hökmü üçün zəruri 
və kafi şərt deyilir.     
 
Yuxarıda baxdığımız misalda   p şərti  q  üçün kafi şərt deyil, çünki ,   p – 
məntiqi olaraq  q- dən  alınmır  (yəni  p –in  doğru olmasından  q
 
 -nün doğru olması  
alınmır ); p
1  
isə q
1
 üçün  kafi şərtdir, çünki  p
1 
 –dən  məntiqi olaraq  q alınır.  
 
Burada p
1
 şərti  q
1
 üçün zəruri şərtdir belə ki,  q
1
 –dən  məntiqi olaraq  p
1
 alınır.  
 
 p
1
 şərti isə  q
1
 üçün kafi və zəruridir və hər iki teorem eyni zamanda doğrudur:  
p
1
 

 q
1
 və  q
1
 

 p
1  
(yəni burada   p
1

  q
1
 məntiqi ekvivalentliyi vardır).  
 
Aşağıdakı hallar mümkündür:  
 
а) p şərti q hökmü üçün kafidir, lakin zəruri deyil;  
 
b) p şərti  q hökmü üçün zəruridir, lakin kafi deyil.  
 
Birinci halda  p –nin  doğruluğundan q –nün doğruluğu alınır, lakin q –nün doğruluğu  həm 
də başqa  p
1
 şərtindən də alına bilər . Məsələn, ədədin cüt olması üçün, onun yalnız  6-ya bölünməsi 
deyil, həm də 4-ə bölünməsi kafidir. İkinci halda  q – nün doğru olmasından p –nin doğru olduğu 
alınır, eyni  zamanda,   əgər   p doğru olarsa, onda    q   hər halda doğru  olmaya da bilər. Məsələn, 
ədədin  6 – ya bölünməsi üçün , həmin ədədin cüt olması  zəruridir, lakin kafi deyil; məsələn, 4 cüt 
ədəddir, lakin ədəd,  6 - ya bölünmür.  
 
“Kafi”,  “zəruri”,  “zəruri  və  kafi”  terminlərindən  istifadə  etdikdə    “şərt”  sözünün  əvəzinə  
tez-tez “əlamət” sözü işlədilir.    
 
“Zəruri və kafi” sözlərinin əvəzinə  çox vaxt belə sözlərdən istifadə olunur:  “onda və yalnız 
onda”, “o halda və yalnız o halda”, “o və yalnız o”.  Onu da qeyd etmək faydalıdır ki,  bu bağlayıcı 
ifadələrin  ayrıca  baxılan hissələri də  müəyyən məna daşıyır: məsələn,  “yalnız o halda”, “yalnız 
onda” və s. sözləri “yalnız o halda”, “yalnız onda”  və s. sözləri isə “kafi şərt” sözlərini əvəz edir.   
 
Aksiomatik üsul. Evklid həndəsəsinin aksiomları.  
 
Aksiomatik üsul elmi nəzəriyyələrin qurulması üsuludur.  Həmçinin elmi  
nəzəri  müddəalarin  bu  və  ya  didər  riyazi  məsələlərə  tətbiqi  üsuludur.  Elmi  nəzəriyyə  aksiomatik 
üsulla qurulduqda:  

---