Elmi ƏSƏRLƏr fiZİka-riyaziyyat və texniKA

14
 
 
 
NAXÇIVAN DÖVLƏT UNİVERSİTETİ.  ELMİ ƏSƏRLƏR,  2015,  № 5 (73) 
 
NAKHCHIVAN STATE UNIVERSITY.  SCIENTIFIC WORKS,  2015,  № 5 (73) 
 
НАХЧЫВАНСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ.  НАУЧНЫЕ  ТРУДЫ,  2015,  № 5 (73) 
 
 
 ЯГУБ МАМЕДОВ 
  Нахчыванский Институт Учителей 
[e-mail]
 
УДК 517.51 
 
ПОТЕНЦИАЛ БЕССЕЛЯ  ПОРОЖДЕННЫЙ ОПЕРАТОРОМ ДАНКЛЯ В 

,
p
L
( R ) ПРОСТРАНСТВАХ 
 
 
Açar sözlər: Dankl operatoru, Bessel potensialı, Dankl çevirməsi, məhdudluq, kafi şərt 
 
 Key words: Dunkl operator, Bessel potential, Dunkl translation, boundedness, sufficient 
conditions 
 Ключевые слова: оператор Данкля, потенциал Бесселя, преобразование Данкля, 
ограниченность, достаточная условия 
 
         В статье определен и изучен потенциал Бесселя, порожденный оператором Данкля   (

 
потенциалов  Данкля-Бесселя  или 
D
-потенциала  Бесселя).  Доказан  аналог  теоремы  Харди-
Литтлвуда-Соболева.  Эта  теорема  является  основным  результатом,  в  котором  получены 
достаточные  условия  для 
D
-  потенциала  Бесселя 


,
J
 типа  Данкля,  дуйствующего 
ограниченно  из  пространства 
??????
??????,??????
(??????) в  пространство ??????
??????,??????
(??????),  1
<∞ и  из  пространства  
??????
??????,??????
(??????) в пространство ??????
??????,??????
(??????), 1≤ ?????? ≤ ∞. 
Одно  из  основных  достижений  последних  десятилетий,  повлиявших  на  облик 
гармонического  анализа,  состоит  в  успешном  привлечении  идей  и  техники  теории 
максимальных операторов и интегральных операторов типа потенциала. Эти идеи и методы 
применяются  в  теории  дифференциальных  уравнений  с  частными  производными,  теории 
функций,  функциональном  анализе,  теории  вероятностей,  в  задачах  теории  приближений, 
гармоническом анализе на однородных группах и других разделах математики. Применение 
метода  теории  потенциала  к  решению  многочисленных  краевых  задач,  встречающихся  в 
теории  дифференциальных  уравнений  в  частных  производных,  в  задачах  теории 
аналитических  функций,  а  также  в  задачах  механики  имеет  богатую  историю  и  успешную 
практику. 
Операторы  Данкля  являются  дифференциально-разностными  операторами  на 
действительной  оси,  которые  введены  в  1989  году  Данклом  [1].  Оператором  Данкля 
называется следующий дифференциально-разностный оператор 
α
D :  
,
)
(
)
(
)
2
1
(
)
(
=
)
(
x
x
f
x
f
x
dx
df
x
f
D






 
 где 

-произвольное действительное число, удовлетворяющее условию 
1/2
>


. Действие 
оператора 
α
D  определено для всех функций 
)
(
(1)
R
C
f

. 

---

15
 
 
Пусть 
1/2
>


 фиксированное число  и 


 весовая  Лебеговая  мера  на 
R
, заданная 
по  
.
|
|
1)
(
2
1
:=
)
(
1
2
1
dx
x
x
d









 
Для  каждого 



p
1
 обозначим  через 
)
(
=
)
(
,



d
L
L
p
p
R;
R
 пространства 
комплексно-значных функций 
f
, измеримых на 
R
 таких , что  
 









<
)
(
|
)
(
|
=
1/
,
,
p
p
p
L
p
x
d
x
f
f
f




R
 если 
),
[1,


p
  и  
 
|
)
(
|
sup
=
,
,
x
f
ess
f
f
x
L
R






 если   
.
=

p
 
Для 


<
1
p
 обозначим  через 
)
(
,
R

p
WL
 слабое  пространство 
)
(
,
R

p
L
, 
определяемое  как  множество  локально  интегрируемых  функций 
)
(x
f
, 
R

x
 с  конечной 
нормой  




,
|>
)
(
| 
: 
sup
=
1/
0
>
,
p
r
p
WL
r
x
f
x
r
f
R




 где
 
 
.


A
x
d
A




 
Для 
R

y
x,
 оператор обобщенного сдвига Данкля определяется следующим образом  
                 


θ
d
θ
θ
y
x
h
θ
xy
y
x
f
c
y
f
τ
α
e
π
α
x
2
1
2
2
0
)
sin
)(
,
,
(
cos
|
|
2
=
)
(




 
             


,
)
sin
)(
,
,
(
cos
|
|
2
2
2
2
2
0
θ
d
θ
θ
y
x
h
θ
xy
y
x
f
c
α
o
π
α





                            (1) 
 где 
o
e
f
f
f

=
, 
o
f
 и 
e
f
 четная  и  нечетная  часть 
f
 соответственно,  с 
1/2))
(
1)/(
(
=









c
,  
 
,
cos
)
(
1
=
)
,
,
(
1


xy
sgn
y
x
h

 
 









0.
=
  
    
0
 
0,
  
  
cos
|
|
2
]
cos
)
(
[1
)
(
=
)
,
,
(
2
2
2
xy
если
xy
если
xy
y
x
xy
sgn
y
x
y
x
h



 
(2) 
Для 
1/2



 и 
C


, начальная задача  
R

x
f
x
f
x
f
D
  
1,
=
(0)
   
),
(
=
)
)(
(


 
 имеет единственное решение 
)
( x
E


 называемoe ядром Данкля [2, 3, 4] и задается по  
,
  
),
(
1)
2(
)
(
=
)
(
1
R




x
x
i
j
x
x
i
j
x
E








 
 где 

j
-  нормированная  функция  Бесселя  первого  рода,  порядка 

 и 

J
 функция  Бесселя 
первого рода, порядка 

 [268], определенная по  
 
.
   
,
1)
(
!
/2)
(
1)
(
1)
(
=
)
(
1)
(
2
=
)
(
2
0
=
C











z
n
n
z
z
z
J
z
j
n
n
n







 
Мы можем написать, что для 
R

x
 и 
C


( [5], стр. 295)  

---