Guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe ia mebonia

45

pasuxi:  (–∞;  –3)∪(3;+  ∞).

 |x|  geometriulad gamosaxavs sakoordinato wrfis saTavidan im wertilamde 

manZils, romlis koordinatia x. mocemul SemTxvevaSi |x|>3, saTanado wertilebi  3 

erTeulze meti manZiliTaa daSorebuli saTavidan, amitom maTi x koordinatebisTvis 

vRebulobT: 

x>3 an x<–3, anu x∈(–∞; –3)∪(3; +∞).

b)  |x|<7.

Tu  x≥0, maSin x<7;

Tu  x<0, maSin –x<7, anu x>–7. SeiZleba  

asec CavweroT:

Z

[

\

]

]

]

]

x≥0  

Z

[

\

]

]

]

]

x<0

     x<7 

an 

     x>–7,

saidanac  –7<x<7.

pasuxi:  (–7;  7).

x aris saTavidan 7 erTeulze naklebi manZiliT daSorebuli wertilis koor-

danati,  –7<x<7.

g) |x–5|≥10.

amovxsnaT SemTxvevebis ganxilviT:

Z

[

\

]

]

]

]

x–5≥0  

Z

[

\

]

]

]

]

x–5<0

     x–5≥10,   

     –(x–5)≥10,

saidanac  x≥15 an x≤–5.     pasuxi:  (–∞;  –5]∪[15; +∞)

amoxsna SeiZleba a) SemTxvevaSi ganxilul utolobasac davukavSiroT, Tu Semo-

viRebT  x–5=y aRniSvnas, miviRebT |y|≥10. saidanac y≥10  an y≤–10 anu x–5≥10, x≥15, an 

x–5≤–10, x≤–5.

x  aris im wertilis koordinati, romelic 

x

0

=5 wertilidan 10-ze aranaklebi manZiliTaa 

daSorebuli.

d) |2x–5|<3.

mocemuli utoloba davukavSiroT b) SemTxvevaSi warmodgenil utolobas. vTqvaT, 

2x–5=y, maSin vRebulobT: |y|<3, saidanac miiReba –3<y<3, anu –3<2x–5<3, 2<2x<8, 1<x<4.

pasuxi:  (1;  4).

axla es utoloba amovxsnaT kvadratul utolobaze miyvaniT. utolobis orive 

mxare arauryofiTia, aviyvanoT kvadratSi (gaixseneT: Tu a, a≥0, b≥0, maSin a

2

<

b

2

).

4x

2

–20x+25<9,    x

2

–5x+4<0,    (x–4)(x–1)<0,

x∈(1;4).

axla amoxsnisTvis geometriuli mosazrebebi gamoviyenoT. utoloba gadavweroT 

ase:

|

x– 52

|

< 32,  rac niSnavs _ x koordinatis mqo-

ne wertili  52-is Sesabamisi  wertilidan 

3

2-ze 

naklebi manZiliTaa daSorebuli:

suraTidan TvalsaCinoa, rom 1<x<4.

e)     |3x–6|>|x| 

    (1)

---

46

aviyvanoT kvadratSi:

9x

2

–36x+36>x

2

, saidanac 2(x–3)

(

x - 32

)

>0

,  x∈

(

-∞; 32

)

∪

(3;  +∞).

•  amovxsnaT igive utoloba SemTxvevebis ganxilviT. ricxviTi wrfe davyoT sam 

Sua ledad da TiToeul maTganSi amovxsnaT utoloba.

Z

[

\

]

]

]

]

x<0  

Z

[

\

]

]

]

]

0≤x≤2  

   

Z

[

\

]

]

]

]

x>2

  –(3x–6)>–x 

    –(3x–6)>x              3x–6>x.

miviRebT  x<0,  0≤x<32, x>3.                  

 

pasuxi: 

(

-∞; 32

)

∪

(3;  +∞).

mocemuli utolobis amonaxsnTa simravles mogvcems namdvil ricxvTa simrav-

lidan |3x–6|≤|x| utolobis amonaxsnebis gamoricxva. ganvixiloT es ukanaskneli 

utoloba.

vRebulobT:  |x|≥3|x–2|, anu M(x)-dan  0-mde manZili (|x|) metia an tolia  M-dan  2-is 

Sesabamis wertilamde  manZilis gasammagebul sidideze.

suraTze isini daStrixulia.

darCa 

(

-∞; 32

)

∪

(3; +∞).

v)  |x–3|+|x–5|<3.

x-is  x=3 wertilze gavlisas x-3 niSans icvlis, x=5 wertilze gavlisas ki x–5 

icvlis niSans. es wertilebi RerZs 3 Sualedad yofs. ganvixiloT 3 SemTxveva.

Z

[

\

]

]

]

]

x<3    

Z

[

\

]

]

]

]

3≤x≤5  

 

Z

[

\

]

]

]

]

x>5

  –(x–3)–(x–5)<3;  

     x–3–(x–5)<3;  

     x–3+x–5<3.

miviRebT, Sesabamisad,

5

23,  3≤x≤5,  5

11

2 .  pasuxi: 

(

5

2;

11

2

).

geometriulad: M(x) RerZis is wertilebia,  romelTagan 3-mde da 5-mde manZilebis 

jami  3-ze naklebia. viyenebT geometriul warmodganas. miviRebT   3–12<x<5+

1

2. 

$1.2  utolobaTa sistema

mizani: im amocanebis amoxsnis unaris ganviTareba, romelTa amoxsna utolobaTa 

sistemaze daiyvaneba; geometriuli warmodgenebis, simravleTa Teoriis cnebebis 

gamoyeneba utolobaTa sistemis amoxsnisas.

winapirobebi: moswavleebma unda icodnen wrfivi da kvadratuli utolobebis 

amoxsna, utolobis amonaxsnebis gamosaxva ricxviT wrfeze, simravleTa TanakveTa.

moswavleTa motivaciis mniSvnelobis gaTvaliswinebiT Temis ganxilva iwyeba 

amocanis dasmiT; marTkuTxedis formis fotosuraTs, romlis zomebi cnobilia, 

vawebebT marTkuTxedis formis muyaos furcelze, ise, rom muyaos arSia erTnairi 

siganis iyos. veZebT muyaos furclis zomebs (miaxloebiT _ 1 mm-mde sizustiT) im 

---