5.86.
(20) (Polsha 79)
𝑎
1
, 𝑎
2
, . . , 𝑎
𝑛
natural sonlar
qandaydir
𝑚
ga
bo’linganda
turli xil qoldiqlar beradi, bunda
𝑛 >
𝑚
2
. Har bir
𝑘
uchun shunday
1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛
sonlari (turli bo’lishi shart emas) mavjud ekanligini ko’rsatingki
𝑎
𝑗
+
𝑎
𝑘
− 𝑘 ⋮ 𝑚
munosabat bajarilsin.
5.87.
(20) (Yugoslaviya 81)
{1, 2, . . , 100}
to’plam 7 ta turli
qismto’plamlarga ajratildi. Bu qismto’plamlarning
kamida birida
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑
shartni qanoatlantiruvchi 4 ta
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
sonlari yoki
𝑒 + 𝑓 = 2𝑔
shartni
qanoatlantiruvchi 3 ta
𝑒, 𝑓, 𝑔
sonlari topilishini ko’rsating.
5.88.
(20)(MO 63)
{1, 2, . . , 1963}
to’plamdan ko’pi bilan nechta element
olib hech bir ikkitasining yig’indisi ularning ayirmasiga bo’linmaydigan to’plam
tuzish mumkin.
5.89.
(20)(MO 72) To’plamning istalgan 7 ta elementining yig’indisi 15 ga
teng. To’plamning barcha elementlari kichik yig’indisi 100 ga teng bo’lgan 7 ta
natural sondan iborat to’plam berilgan.
5.90.
(20) (Sankt-Peterburg 85) Omborda 41, 42, 43 –o’lchamli etiklarning
har biridan 200 juft etik bor. Bunda 600 ta etikning 300 tasi o’ng, 300 tasi chap.
Bu etiklardan foydalanib kamida 100 juft to’g’ri etik tuzish mumkinligini
isbotlang.
5.91.
(15) (BO 89) 7 ta do’stning har biri yakshanba kuni 3 martadan
muzqaymoq do’koniga borishdi. Ularning istalgan ikkisi do’kon atrofida hech
bo’lmaganda bir marta uchrashishgan. Vaqtning qaysidir momentida do’kon
atrofida 3 do’st uchrashib qolishganligini ko’rsating.
5.92.
(20) (BO 65, MO 94) a) Qandaydir komissiya 40 marta yig’ildi. Har
bir yig’ilishda odamlarni o’rinlariga joylashtirish ishlariga 10 nafar a’zo ma’sul
etib tayinlandi. Hech bir juftlik ikki yig’ilishda yonma-yon o’tirib qolishlari
mumkin emas edi. Komissiya a’zolari 60 nafardan ortiq ekanliklarini ko’rsating.
b) 25 kishidan har birida 5 nafardan kishi a’zo bo’lgan
va istalgan ikki
guruh bittadan ko’p umumiy a’zoga ega bo’lmaydigan 30 tadan ko’p guruh tuzish
mumkin emasligini ko’rsating.
5.93.
(20) (BO 82)
{1, 2,3 , … , 1982}
to’plamdan kamida nechta elementni
olib tashlab hech biri boshqa ikkitasining ko’paytmasiga teng bo’la olmaydigan
to’plam hosil qilishimiz mumkin?
5.94.
(20) (BO 83) Moduli
2𝑚 − 1
dan oshmaydigan istalgan
2𝑚 + 1
ta
turli butun sonning ichida yig’indisi nolga teng bo’ladigan uchtasini tanlab olish
mumkinligini ko’rsating.
5.95.
(20) (BO 99) Yugurish musobaqasida 100
ta sportchi ishtirok
etishmoqda. Ularning istalgan 12 tasining ichida tanishlar topiladi. Sportchilarni
qanday tartibda joylashtirganimizda ham ( tartib bilan 1 dan 100 gacha joylashishi
shart emas) tartib raqami bir xil raqam bilan boshlanadigan tanishlar topilishini
ko’rsating.
5.96.
(20) (BO 94 ) Sinfda 30 ta o’quvchi bo’lib, ularning har birining bu
sinfdagi do’stlari soni bir xil. Sinfda o’zining do’stlaridan yaxshi o’qiydigan
o’quvchilar soni ko’pi bilan nechta bo’lishi mumkin? (Sinfdagi istalgan ikki
o’quvchining bilimini taqqoslash imkoni bor bo’lsin deb faraz qilamiz)
5.97.
(20) (BO 94) Gullar shahrida
𝑛
ta maydon va
𝑚
ta ko’cha bor.
(𝑚 >
𝑛)
Har bir ko’cha ikki maydonni tutashtiradi va boshqa maydondan o’tmaydi.
Shaharda mavjud an’anaga ko’ra shahardagi ko’chalarni
“𝑘𝑜’𝑘”
yoki
“𝑞𝑖𝑧𝑖𝑙”
deb
nomlashadi. Shaharda har yili qaytadan nomlash jarayoni o’tkaziladi.
Bunda
maydon tanlanadi va undan chiqqan barcha ko’chalar nomi o’zgartiriladi ( qaysi
nomad bo’lsa boshqa nomga o’zgaradi). Dastlab ko’chalarni shunday nomlab
chiqish mumkin ekanligini ko’rsatingki, qayta nomlashlar yordamida barcha
shaharlar nomini bir xil qilib bo’lmasin.
5.98.
(20) (BO 97) 33 ta o’quvchining har biridan bu sinfda nechta u bilan
otdoshlar va nechta familyadoshlar borligi so’raldi. Aytilgan javoblarning ichida
0 dan 10 gacha bo’lgan barcha natural sonlar bore edi. Sinfda
ismi ham familyasi
ham bir xil bo’lgan o’quvchilar mavjud ekanligini isbotlang.
5.99.
(30) (Belgiya 79)
𝑋
to’plam
𝑛
ta elementdan iborat.
𝑋
dan ko’pi
bilan nechta uch elementli qismto’plamlar ajratib olish mumkin, bunda ajratib
olingan to’plamlarning istalgan ikkitasi aniq bitta umumiy elementga ega bo’lsin.
5.100.
(25) (XMO 76) Bizga
𝑝
ta tenglamadan iborat bo’lgan tenglamalar
sistemasi berilgan:
{
𝑎
11
𝑥
1
+ ⋯ + 𝑎
1𝑞
𝑥
𝑞
= 0
… … … … …
𝑎
𝑝1
𝑥
1
+ ⋯ + 𝑎
𝑝𝑞
𝑥
𝑞
= 0
Agar
𝑞 = 2𝑝
bo’lib har bir
𝑎
𝑖𝑗
koeffitsiyentlar
−1, 0, 1
sonlarining biriga
teng. Bu tenglamalar sistemasining shunday butun sonli yechimi
(𝑥
1
, . . , 𝑥
𝑞
)
mavjud ekanligini ko’rsatingki qandaydir
𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑞)
uchun
𝑥
𝑗
≠ 0
bo’lib
barcha
𝑗 (1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑞)
uchun
|𝑥
𝑗
| ≤ 𝑞
5.101.
(20) (XMO 78) Xalqaro jamiyatga 6 mamlakatdan kelgan odamlardan
tuzilgan. A’zolar ro’yhati 1978 familyadan iborat bo’lib u 1 dan 1978 gacha
bo’lgan sonlar bilan raqamlab chiqilgan. Jamiyatning kamida bitta a’zosi mavjudki
uning tartib raqami uning boshqa ikki vatandoshining tartib raqamlari yig’indisiga
teng bo’ladi. Shuni isbotlang.
5.102.
(20) (XMO 91)
𝑆 = {1, 2, … , 280}
to’plamni qaraylik.
𝑛
ning eng
kichik qiymatini topingki,
𝑆
ning istalgan
𝑛
elementli qism to’plami o’zaro tub
sonlarga ega bo’lsin.
Dostları ilə paylaş: