Microsoft Word riyaziyyatin tedrisinde umumilesdirme 2009. doc

_____________Milli Kitabxana_____________ 

 169

3.2.4. İnduksiya və deduksiya. İdrak prosesində həmişə ümumi biliklərdən 

xüsusi biliklərə doğru deyil, bəzi hallarda xüsusi biliklərdən ümumi biliklərə doğru 

nəticə çıxarırıq. Belə hallarda, ayrı-ayrı xüsüsi halları müşahidə edib, sonra onları 

ümumiləşdirərək, ümumi müddəalar düzəldirik. Deməli, induktiv əqli nəticədə 

təfəkkür prosesi xüsusidən ümumiyə doğru, ayrı-ayrı faktlardan ümumi nəticə 

çıxarılmasına doğru gedir. 

Çox vaxt induksiya müşahidə ilə başlayır. Bioloq quşların həyatını, kimyaçı 

kristalların formasını müşahidə edə bilər. Riyaziyyatçı ədədlərin xassələrini izləyir. 

Ədədlər üzərində müşahidə etmək istəyiriksə, onlarla maraqlanmalı, onları 

öyrənməliyik. Tək və cüt ədədləri bir-birindən fərqləndirməli, kvadrat və sadə 

ədədləri müəyyənləşdirməliyik. Bu sahədə kifayət qədər bilik əldə etdikdən sonra 

ədədlərə aid daha maraqlı  nəticələr müəyyən edə bilərik. Fərz edək ki, 3+7=10, 

3+17=20, 13+17=30 münasibətləri ilə qarşılaşırıq və bunlar arasında bəzi 

oxşarlıqları müəyyənləşdirə bilirik. Fikrimizə gəlir ki, 3, 7, 13 və 17 ədədləri sadə 

və tək ədədlərdir. İki sadə tək ədədin cəmi mütləq cüt ədəddir. Doğrudan da 10, 20, 

30 cüt ədədlərdir. Başqa cüt ədədlər haqqında da belə demək olarmı? İki sadə tək 

ədədin cəmi olan birinci cüt ədəd vardır: 3+3=6. Sonra da müəyyən edirik ki: 

3+5=8, 10=3+7=5+5, 12=5+7, 14=3+11=7+7, 16=3+13=5+11. Həmişəmi belə 

davam edəcəkdir? 

Müşahidə etdiyimiz xüsusi hallara əsasən belə bir ümumi təklif alırıq:  4- 

dən böyük ixtiyari cüt ədədi iki sadə tək ədədin cəmi şəklində göstərmək olar. 

2 və 4 ədədlərinin müstəsna olması ilə həmin təklifi belə ifadə edə bilərik: 

sadə  ədəd və onun kvadratı olmayan ixtiyari cüt ədədi iki sadə  tək  ədədin cəmi 

kimi göstərmək mümkündür. Beləliklə, biz fərziyyə irəli sürdük və onu induk-

siyanın köməyi ilə tapdıq. Başqa sözlə  həmin fərziyyə bizdə ayrı-ayrı xüsusi 

misallarda göstərilmiş müşahidə  nəticəsində yarandı. Lakin bu göstərişlər kifayət 

qədər güclü deyil. Göstərilən təklifə inanmaq üçün çox cüzi əsasımız var. Ancaq 

bir fakta əsasən təsəlli tapa bilirik. Bu da ondan ibarətdir ki, ilk dəfə böyük 

riyaziyyatçı Qoldbax 250 il bundan əvvəl ciddi əsaslandırma vermədən həmin 

təklifi söyləmişdir. 

---

_____________Milli Kitabxana_____________ 

 170

Qoldbaxın fərziyyəsi doğrudurmu? Hələ bu günə  qədər həmin suala cavab 

verən olmamışdır. Böyük riyaziyyatçıların uzun müddət tədqiqat aparmalarına 

baxmayaraq Qoldbaxın fərziyyəsi 

1

 Eylerin  vaxtında olduğu kimi qalır.  Əvvəlki 

misalda induksiya üçün xarakterik olan addımı anlamağa çalışaq.  Əvvəlcə  bəzi 

oxşarlıqları göstərək. 3, 7, 13 və 17 sadə, 10, 20, 30 isə cüt ədədlərdir. Deməli üç 

3+7=10, 3+17=20, 13+17=30 münasibətləri arasında analogiya vardır. Sonrakı 

addım ümumiləşdirmədir. Dörd (3, 7, 13 və 17) ədəddən bütün cüt olmayan 

ədədlərə; 10, 20 və 30 ədədlərindən isə bütün cüt ədədlərə və sonra mümkün olan 

aşağıdakı ümumi münasibətə keçdik. Cüt ədəd= sadə ədəd+sadə ədəd. 

Beləliklə, ümumi bir təklif dedik. Lakin bu yalnız fərziyədir və müəyyən 

sınaqlar nəticəsində alınmışdır. Yəni həmin təklif isbat edilməyib, onun həqiqət 

olduğunu demək olmaz. Ancaq bu həqiqətə yaxınlaşmaq yoludur. Belə  fərziyyə, 

fakt “həqiqətlə” çox əlaqədardır. Bu fərziyyə bir sıra konkret 10, 20, 30 eləcə də 6, 

8, 12, 14, 16 ədədləri üçün doğrudur. Bu misalla induksiyanın birinci pilləsindəki 

ümumiləşdirməni göstərdik. Həmin pillədəki ümumiləşdirmə köməkçi və ya 

yönəldici  əlaqədir.  Şagirdlərə isbat edilməmiş hökmə inanmamağı  tərbiyə 

etməliyik. Hətta görkəmli alim tərəfindən söylənilmiş hökmün doğru və ya 

yalanlığı isbat edilməlidir, yoxlanılmalıdır. Məsələn, 60 ədədini araşdıraq. Eylerin 

dediyi kimi “yalançı eksperiment” aparaq. Bu ədəd cütdür. O, iki sadə  ədədin 

cəmidirmi? 60=3+sadə ədəd; 60=5+ sadə ədəd münasibətləri doğru deyil, çünki 57 

və 55 sadə  ədədlər deyil. Eksperiment belə getsə  fərziyyəmiz düz olmaz. Lakin 

sonrakı 60=53+7 sınağı  nəticəsində 53 ədədinin sadə olduğunu alırıq. Deməli 

fərziyyəmiz daha bir halda da doğru çıxdı.  Əks nəticə Qoldbax fərziyyəsinin 

taleyini birdəfəlik həll etmiş olardı. Verilmiş cüt ədədə qədər bütün sadə ədədləri, 

məsələn 60-a qədər olan sadə  ədədləri yoxlasaq, heç vaxt fərziyyənin  əks 

istiqamətində  hərəkət etmədən onu iki sadə  ədədin cəmi  şəklində göstərə bilərik. 

Fərziyyənin 60 ədədi üçün doğru olduğunu sübut etməklə yenə  də müəyyən 

nəticəyə gəlmək olmaz. Bir misalla teorem isbat edilmir. Yenə 60 ədədinə baxaq. 

                                                  

1

  Lakin bu haqda böyük rus riyaziyyatçısı J.M.Vinoqradovun xidmətlərini unutmaq olmaz. O, 1937- ci ildə isbat 

etmişdir ki, “kifayət qədər böyük hər bir cüt ədəd üç sadə ədədin cəminə bərabərdir”. Bu Qoldbax-Eyler 

probleminin tək hal üçün həlli adlanır. 

---

_____________Milli Kitabxana_____________ 

 171

3, 5 və 7 sadə  ədədlərini yoxladıqdan sonra 30-a qədər olan qalan sadə  ədədləri 

yoxlaya bilərik (aşkardır ki, daha yoxlama lazım deyil, çünki cəmi 60-a bərabər 

olan iki sadə  ədəddən biri 30-dan kiçikdir). Beləliklə 60-ın sadə  ədədlərin cəmi 

şəklində göstərilməsinin bütün hallarını alırıq:  60=7+53=13+47=17+43=19+41= 

=23+37=29+31. Başqa cüt ədədləri də bu qayda ilə araşdıra bilərik. Nəticədə 

aşağıdakı cədvəli alarıq: 

6=3+3; 8=3+5; 10=3+7=5+5; 12=5+7; 14=3+11=7+7; 16=3+13=5+11; 

18=5+13=7+11; 20=3+17=7+13; 22=3+19=5+17=11+11; 24=5+19=7+17=11+13; 

26=3+23=7+19=13+13; 28=5+23=11+17; 30=7+23=11+19=13+17. 

Fərziyyə burada nəzərdən keçirdiyimiz bütün hallarda sübut edildi. Cədvəli 

uzadan hər bir dəlil fərziyyəni qüvvətləndirir, onu daha inamlı edir və  həqiqətə 

uyğunluğunu dərinləşdirir.  Əlbəttə, belə  dəlillər nə  qədər çox olsa da, yenə  də 

fərziyyəni isbat etmir. Topladığımız müşahidələri müqayisə edib tutuşdurmalıyıq. 

Ola bilsin ki, fərziyyənin isbatı üçün həmin faktlar içərisində gizlənmiş bir açar 

tapılsın. Baxdığımız haldakı cədvəldə bizə lazım olan və kömək edə biləcək açarı 

tapmaq çətindir. Baxmayaraq ki, cədvələ  əsasən fərziyyənin mənasını aydın başa 

düşmək olur. Cədvəl göstərir ki, verilmiş cüt ədədi neçə üsulla sadə tək ədədlərin 

cəmi kimi göstərmək olar. Məsələn, 6-nı bir, 30-u üç üsulla sadə  ədədlərin cəmi 

şəklində göstərmək mümkündür. 2n cüt ədədinin bu qayda ilə tək ədədlərin cəmi 

şəklində göstərilməsinin sayı göründüyü kimi “düzgün olmayaraq artır”. 

Qoldbaxın fərziyyəsi göstərir ki, belə ayırmanın sayı heç vaxt sıfır olmur.  

Tədqiq etdiyimiz xüsusi halları iki qrupa ayıra bilərik: 1) fərziyyəni ifadə 

edənə  qədər və 2) onu ifadə etdikdən sonra nəzərdən keçirdiyimiz hallar. 

Bunlardan birincisi bizi fərziyyəni deməyə yönəltdi, ikincisi isə onu möhkəm-

ləndirdi. Hər iki hal fərziyyə və “fakt” arasında müəyyən əlaqə yaradır. Yuxarıdakı 

cədvələ əsasən “yönəldici” və “möhkəmləndirici” arasındakı toxunma nöqtələrini 

fərqləndirmək çətindir. Yenə  əvvəlki mühakiməmiz üzrə induksiya prosesi üçün 

xarakterik olan cəhətləri qeyd etməyə çalışaq. Fərziyyəni deyərkən onun doğru və 

ya yalan olmasını  aşkar etməyə  cəhd göstərək. Bir neçə xüsusi misallardan 

yaranmış, çox güman ki, doğru olan fərziyyəmiz ümumi xarakterli müddəa olmuş-

---