Mundarija kirish 3 I aniq integral tatbiqlari 20 II. Bob. Elliptik integral tushunchaining nazariy asoslari 28 II elliptik integrallar 28 II birinchi, ikkinchi va uchinchi turdagi normal elliptik integrali (to'liqsiz)

Kurs ishining maqsadi: oliy ta’lim muassasalarida elliptik integrallar haqidagi fikrlarni boyitish va ilmiy jihatdan asoslashdan iborat.
Kurs ishining obyekti: oliy ta’lim muassasalarida elliptik integrallar mavzusi.
Kurs ishining vazifalari:

1. 
   Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish
   
2. 
   Elliptik integrallar mavzu haqida tushuncha berish
   
3. 
   Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
   

Kurs ishining tuzilishi va hajmi: Kurs ishi ishi kirish, 2 ta bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro`yxatidan tashkil topgan.
Matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarda tadqiqotlar olib borishning eng yaxshi vositasi aniq integraldir. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, yoylarning uzunliklarini, hajmlarni, ishni, tezlikni, yo’lni, inersiya momentlarini hisoblash aniq integralni hisoblashga keltiriladi.
[ a,b ] kesmada uzluksiz y= f( x) funksiya berilgan bo’lsin. m va M bilan shu oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarni belgilaymiz. [ a,b ] kesmani

a= ,……..

bo’lishini nuqtalari yordamida n ta qismlarga ajratamiz, bunda

,……..

va

So’ngra, y= f(x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini quyidagicha belgilaymiz

[

[
[
[
……………….
……………….
……………….
……………….
……………….
[



Quyidagi yig’indilarni tuzamiz:


- yig’indi quyi integral yig’indi, -yig’indi esa yuqori integral yig’indi deb ataymiz.
Agar f (x)0 bo’lsa, u holda quyi integral yig’indi sonma-son “ichki chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng, yuqori integral yig’indi sonma-son

“tashqi chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng.
Quyi va yuqori integral yig’indilarning ba’zi xossalarini sanab o’tamiz:

1. 
   m agar f(x)=const bo’lsagina tenglik belgisi bo’ladi.
   

s yig’indi [ a,b ] kesmani 1 [ ]  kesmalrga bo’lish usuliga va shukesmalar ichida nuqtalarning tanlanishiga bog’liq. Endi max[ ] bilan
 kesmalar uzunliklaridan eng kattasini belgilaymiz. [ kesma  kesmalarga shunday bo’lamizki,  bo’lsin. Albatta, bunda, kesmalar soni n cheksizlikka intiladi. Har bir bo’lish uchun tegishli i qiymatlarni tanlab



integral yig’indini tuzish mumkin. Shunday qilib, bo’linishlar ketma-ketligi va unga mos integral yig’indilar ketma-ketligi haqida gapirish mumkin. Shunday bir ketma-ketlikni tanlasakki, , u holda yig’indi I limitga intilsin. Agar [ a,b ] akesmani max bo’ladigan qilib bo’lganda va i nuqtalar ixtiyoriy tanlashganda yig’indi o’sha I limitga intilsa,

u holda f (x) - integral osti funksiya - [a ,b ] kesmada integrallanuvchi, I limit esa [ a, b] kesmada aniqlangan f (x) funksiyaning aniq integrali deyiladi. Uni deb belgilaymiz va

=


=

soni integralning quyi limiti, b - yuqori limiti deyiladi. [a,b] kesma integrallash kesmasi, x esa integrallash o’zgaruvchisi deyiladi. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u kesmada integrallanuvchidir. Albatta, agar

 x1 bo’ladigan qandaydir bo’linishlar ketma-ketligida f (x) funksiya s va n integral yig’indilarni qarasak, u holda bu yig’indilar I limitga - f =(x) funksiyadan olingan aniq integralga intiladi

integral son jihatdan ko’rsatilgan egri chiziq x= a, x=b to’g’ri chiziqlar va Ox o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng. Shuning uchun, agar y =f (x) egri chiziq x=a, x=b to’g’ri chiziqlar va Ox o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini hisoblash kerak bo’lsa, u holda bu Q yuza
Q=
formula bilan hisoblanadi.
Izox 1. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, aniq integral faqat f x( ) funksiyaning ko’rinishiga va integrallash chegaralariga bog’liq, lekin integral o’zgaruvchisiga bog’liq emas. Shuning uchun aniq integralning qiymatini o’zgartirmagan holda x harfining o’rniga ixtiyoriy boshqa xarfni olishimiz mukin:
= =…
Aniq integral tushunchasini kiritayotganda bu a
Endi, a=b bo’lganda ta’rifga ko’ra, ixtiyoriy f(x) funksiya uchun tenglik o’rinli. Bu geometrik nuqtai nazardan ham tabiiy. Haqiqatan ham egri chiziqli trapetsiya asosi nolga teng uzunlikka ega, demak, uning yuzasi nolga teng

1-xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: agar A const  bo’lsa, u holda

=
Isbot:

=
2-xossa. Bir necha funksiyalarning algebraic yig’indisidan olingan aniq integral qo’shiluvchilardan olingan integrallarning algebraik yig’indisiga teng. Ikki qo’shiluvchi bo’lgan holda



= =

Qo’shiluvchi soni ixtiyoriy bo’lganda ham shunaqa isbotlanadi. 1- va 2- xossalar a



=