Mundarija kirish 3 I aniq integral tatbiqlari 20 II. Bob. Elliptik integral tushunchaining nazariy asoslari 28 II elliptik integrallar 28 II birinchi, ikkinchi va uchinchi turdagi normal elliptik integrali (to'liqsiz)

1-ta’rif. Agar (a,b) da f(x) funksiya biror F(x) funksiyaning hosilasiga teng, ya’ni (a,b) intervaldan olingan ixtiyoriy x uchun F’(x)= f(x) bo‘lsa, u holda F(x) funksiya (a,b) intervalda f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
Masalan,

1. 
   f(x)= bo‘lsin. Bu funksiyaning (0;+) intervalda boshlang‘ich funksiyasi F(x)=2 bo‘ladi, chunki (0;+) da ;
   
2. 
   2) f(x)=x² ning (-;+) oraliqda boshlang‘ich funksiyasi bo‘lishi ravshan.
   

Ravshanki, agar biror oraliqda F(x) funksiya f(x) ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda ixtiyoriy o‘zgarmas C son uchun
F(x)+C (1)
funksiya ham f(x) ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘ladi, chunki
(F(x)+C)’=F’(x)=f(x).
Bundan quyidagi xulosa kelib chiqadi: agar f(x) funksiya biror boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘lsa, u holda uning boshlang‘ich funksiyalari cheksiz ko‘p bo‘ladi.
Quyidagi savol tug‘ilishi tabiiy: biror oraliqda berilgan f(x) funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalari (1) formula bilan ifodalanadimi, boshqacha aytganda f(x) funksiyaning (1) formula bilan ifodalanmaydigan boshlang‘ich funksiyalari mavjudmi?
Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.
1-teorema. Agar biror oraliqda F(x) funksiya f(x) ning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda f(x) funksiyaning ixtiyoriy boshlang‘ich funksiyasi C o‘zgarmasning biror qiymatida (1) formula yordamida ifodalanadi.
funksiya kesmada aniqlangan bo’lsin. kesmaning shartni qanoatlantiradigan chekli sondagi nuqtalar sistemasiga kesmaning bo’linishi deyiladi va u kabi belgilanadi. nuqta bo’linishning bo’luvchi nuqtasi kesma esa, qism oralig’i deyiladi. Agar kesmaning ixtiyoriy bo’linishidagi qism oralig’ining uzunliklari bir xil bo’lsa, u holda, bunday bo’linish, kesmaning regulyar bo’linishi deyiladi. , bo’linishning diametri, deb ataladi. Har bir kesmadan nuqtani olamiz: .
1.1 – ta’rif. Ushbu
(1.1)
yig’indiga, funksiyaning, bo’linishga va nuqtani tanlashga mos kelgan, integral yig’indisi (Riman yig’indisi) deb ataladi.
1.2– ta’rif. Agar olinganda ham, shunday mavjud bo’lib, diametri bo’lgan kesmaning har qanday bo’linishida, hamda nuqtani tanlashga bog’liq bo’lmagan holda,
(1.2)
tengsizlik bajarilsa, u holda, shu son, integral yig’indining limiti deyiladi va u kabi yoziladi.
1.3– ta’rif. Agar funksiya uchun, (1.1) integral yig’indining da limiti mavjud bo’lsa, u holda, funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi deyiladi.
Integral yig’indining limitiga funksiyadan kesma bo’yicha olingan aniq integral (Riman ma’nosida) deyiladi va u
(1.3)
simvol orqali belgilanadi (1.3) da, - integral ostidagi funksiya, son- integralning quyi chegarasi, son esa,- integralning yuqori chegarasi, deb ataladi. Integral ostidagi o’zgaruvchini boshqa o’zgaruvchiga almashtirish ham mumkin, ya’ni

va h.k..
Ta’rif bo’yicha, ( deb olamiz).