Mundarija kirish 3 I aniq integral tatbiqlari 20 II. Bob. Elliptik integral tushunchaining nazariy asoslari 28 II elliptik integrallar 28 II birinchi, ikkinchi va uchinchi turdagi normal elliptik integrali (to'liqsiz)

2.1-misol. va chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzini: ga nisbatan; ga nisbatan integrallash yordamida hisoblang.
Yechilishi. Avvalo, berilgan chiziqlarning nuqtalarda kesishishiga ishonch hosil qilish mumkin.
bo’yicha integrallash uchun, tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarni vertikal joylashtiramiz va tenglamalarni ga nisbatan yechamiz: tenglamani ga nisbatan yechib, bo’lishini olamiz, bunda - parabolaning yuqori yarmidan, esa, parabolaning quyi yarmidan iborat. to’g’ri chiziq tenglamasini , shaklida yozamiz (4.13- chizma). Qaralayotgan sohaning yuqori chegarasi, egri chiziqdan iborat. Uning quyi chegarasi esa, ikkita, har xil tenglamalar orqali ifodalanadi: dan gacha o’zgarganda, egri chiziq, dan gacha o’zgarganda esa, to’g’ri chiziq. Shunday qilib, sohaning yuzi,

2.13-chizma. 2.14-chizma.



bo’yicha integrallash uchun, biz tasavvur qilinadigan to’g’ri to’rtburchaklarni gorizontal joylashtiramiz (4.14-chizma). Bunda, o’ngdan chegaralovchi to’g’ri chiziq va chapdan chegaralovchi egri chiziq esa, . Modomiki, , dan gacha o’zgarar ekan,

2. BOB. ELLIPTIK INTEGRAL TUSHUNCHAINING NAZARIY ASOSLARI

1. Elliptik integrallar

Elliptik integral - haqiqiy yoki murakkab sonlar maydonidagi ba'zi funktsiya , ular rasmiy ravishda quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:

Bu yerda -ikkita argumentning ratsional funksiyasi, - ko‘p ildizga ega bo‘lmagan 3 yoki 4-darajali ko‘phadning kvadrat ildizi , c funksiya aniqlangan maydondan qandaydir doimiydir.
elementar funktsiyalarda rasmiy ravishda ifodalash mumkin emas . Istisnolar bir nechta ildizga ega bo'lganda yoki ko'phadlari ning toq darajalarini o'z ichiga olmaydi.
Biroq, har bir elliptik integral uchun uni elementar funktsiyalar yig'indisiga va birdan uchtagacha normal elliptik integralga kamaytirish uchun formulalar mavjud bo'lib, ular 1-, 2- va 3-turdagi elliptik integrallar deb ataladi).
Elliptik integrallar ko'pincha bir qator turli argumentlar funktsiyasi sifatida ifodalanadi. Bu turli argumentlar butunlay ekvivalentdir (ular bir xil integrallarni beradi), ammo ularning kelib chiqishi turlicha bo'lganligi sababli chalkashliklar paydo bo'lishi mumkin.
Aksariyat asarlarda mualliflar kanonik nomga amal qilishadi. Integrallarning o'zini aniqlashdan oldin, argumentlar uchun nomlarni kiritish kerak:
modulli burchak (ba'zan modulli burchak ligature bilan belgilanadi
elliptik integral modul;
parametr.
Shuni ta'kidlash kerakki, oddiy elliptik Legendre integrallari to'liq va to'liq bo'lmagan, hatto modul ( va modulli burchak ) ning funksiyalaridir. Ularning ta'rif sohasi .
Ba'zan, asosan, sovet ilmiy adabiyotlarida elliptik integral parametri 3-turdagi normal elliptik Legendre integralining xarakteristikasi degan ma'noni anglatadi (masalan, Korn G., Korn T. "Olimlar va muhandislar uchun matematika qo'llanmasi").
E'tibor bering, yuqorida keltirilgan miqdorlar bir-biri bilan belgilanadi; ulardan birining ta'rifi qolgan ikkitasini belgilaydi.
Elliptik integral boshqa parametrga ham bog'liq bo'lib, u avvalgi kabi bir necha usul bilan kiritilishi mumkin:
bu yerda - Yakobi elliptik funksiyasi;
amplituda;
Ushbu parametrlardan birini belgilash qolganlarini aniqlaydi. Shunday qilib, ular bir-birining o'rnida ishlatilishi mumkin.
E'tibor bering, ham ga bog'liq . Bir nechta qo'shimcha tenglamalar boshqa parametrlarga bog'liq:

Va

Ikkinchisi ba'zan delta amplitudasi deb ataladi va shunday yoziladi.

Ba'zan adabiyotda qo'shimcha parametrga, qo'shimcha modulga yoki qo'shimcha modulli burchakka murojaat qilinadi.

Ular quyidagi tartibda kiritiladi:
qo'shimcha parametr;
qo'shimcha modul;
qo'shimcha modulli burchak.

2.