Norqulov J. Sh, Axmadova M. O kombinatorika va nyuton binomi

TEOREMA (BINOMIAL TEOREMA)
Quyidagi tenglik o„rinli
ya‟ni
(
)
(
)
(
)
(
)
Bu yerda
(
)
( )
sonlarga 
binomial koeffitsiyentlar
, 
tenglikka esa 
Nyuton binomi
deyiladi. 
Fakt:
binom 
yoyilmasining binomial koeffitsiyentlari yig‟indisi uchun ushbu tenglik o‟rinli: 

---

48 
Eslatma:
ko‟phad qaralayotganda uning binom
koeffitsiyentlari va “oddiy” koeffitsiyentlarini farqlash lozim.
Masalan:
ko‟phadning
koeffitsiyentlari
sonlaridan iborat, ammo bu yoyilmaning binom 
koeffitsiyentlari
va
lardan iborat. Shuning uchun ham bu ko‟phadning 
koeffitsiyentlari yig‟indisi
ga, binom koeffitsiyentlari yig‟indisi esa 
ga 
teng.
Agar
yoyilmada
kabi belgilash kiritsak , ushbu yoyilmani
ko‟rinishga keltiramiz, bunda
ifodaga
yoyilmaning
hadi 
deyiladi.
Demak ifodaga
yoyilmaning
hadi
ko‟rinishdagi ifodadan iborat bo‟lar ekan. Ravshanki, 
yoyilmaning
hadi oldidagi binom koeffitsiyenti
ga teng bo‟ladi.
Endi e‟tiboringizni quyidagi masalalarni qarating.
1-
 
masala:
Ayniyatni isbotlang: 
Isbot:
2-
 
masala:
Ayniyatni isbotlang:

---

49 
Isbot:
3-
 
masala:
Agar
yoyilmaning
va
hadlari mos 
ravishda
va 
ga teng bo‟lsa, 
larni toping.
Yechish:
Berilgan yoyilmaning 
va 
hadlarini
formulaga ko‟ra yozib olaylik:
{
Hosil bo‟lgan tenglamalar sistemsini yechamiz:
{
(
)
Bundan ushbu tenglikka kelamiz:

---

50 
(
)
Demak,
ekan.
larning qiymatlarini topishni o‟quvchiga qoldiramiz.
Binomial teoremani umumlashtirib polinomial teoremani ham keltirishimiz 
mumkin: 
•