Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

2- §. Son tushunchasini shakllanishi va rivojlanishi 
Reja:
1. Ibtidoiy jamiyatda matematik tushunchalarni paydo bo’lishi. 

2. Son tushunchasini rivojlanishi. Nomerlashning turli sistemalari.

3. O’nli sanoq sistemasining tarqalishi. 
4. Al-Xorazmiyning "Arifmetika" asarining roli.
5. O’nli kasrlarning paydo bo’lishi. 
Qadim tosh asrida (poleolit davri) odamlar hali g’orlarda yashagan va hayoti hayvon
hayotidan deyarli farq qilmaydigan davrdan boshlab, odamlar ov qurollarini tayyorlash, 
o’zaro aloqa vositasi bo’lgan tilni vujudga keltirish borasida, keyinroq esa o’ziga e’tibor
berishi (rasmlar, figurkalar, bezaklar va boshkalar). Yashash uchun nematlarni ishlab chi-
qarishni yo’lga qo’yishi, erni ishlay boshlashi boshqacha aytganda tabiatga nisbatan in-
sonning aktivligini oshishi (neolit davri 15 ming yil) sonli miqdorlar va fazoviy munosa-
batlarni tushunishda ilgari qo’yilgan qadam bo’ldi.
Yashashni o’troq holga o’tishi (qishloqlar paydo bo’lishi, hayvonlarni o’rgatilishi, 

ekinlar ekish, mehnat qurollarini yaratilishi va boshqalar) bu protsessni yanada tezlash-

tirdi.

Albatta matematik bilimlarni shakllanishi turli xalqlarda o’ziga xos usullar bilan 

shakllandi. Lekin shunga qaramasdan asosiy matematik tushunchalar; son, figura, yuza,
natural sonlarning cheksiz davom etishi va boshqalar asosan amaliyot natijasida vujudga 
keldi va rivojlanish bosqichining uzundan - uzun yo’lini bosib o’tdi.
Son tushunchasini rivojini quyidagi gruppalarga ajratish mumkin; 

I. Primitiv ko’rinishdagi miqdoriy munosabatlar ( ovni bo’lish, o’zaro ayrboshlash, 

qo’l va oyoq asosida sanash va ...)
II

. Katta sonlarni vujudga kelishi natijasida sanoq sistemalarini keltirib chiqardi

(mas. 5 lik, 10 lik, 12 lik, 60 lik). Jumladan Ils ( W C Eels) ning tekshirishlariga ko’ra Ame-
rikaning ibtidoiy xalqlarida 307ta sanoq sistemasi mavjud bo’lib, bulardan 147 tasi -
o’nlik, 106 tasi - beshlik, qolganlari 12 lik asosga esa bo’lgan, Meksikaning mayya va 
Evropaning kelьt qabilarida 20 lik, Ўrta Osiyo va sharq mamlakatlarida 10,12,60 lik site-
malar mavjud bo’lgan. 
Bundan tashqari uzunliklarni o’lchashda barmoq, oyoq (fut), tirsak (lokatь), quloch 

va boshqalar mavjud bo’lgan.

III

. Ќozirgi zamonda butun dunyoda qabul qilingan nomerlashning o’nli pozitsion

sistemasiga o’tishga qadar quyidagi ko’rinishlarni bosib o’tdi. 
1. Turli ko’rinishdagi ieroglifli pozitsion bo’lmagan sistemalar.Masalan Misrda, Xi-

toyda, eski xindiy, atsteklarda, rimda va boshqalar.Masalan rimliklarda bog’lovchi sonlar

sifatida I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500) M(1000) lar olingan.Boshqa sonlar algorit-
mik deb atalib, bog’lovchi sonlarning chap yoki o’ng tomoniga bog’lovchi sonni yozish
bilan (bir necha marta takrorlash mumkin) hosil qilinadi. 

---

---

9

Mas. VII, IX, XXX, LXIX, ...
Chapga bittadan ortiq, o’ngga ikkitadan ortiq yozish mumkin emas! 

2. Alfavitli sanoq sistemasi (abjad hisobi). 

Eramizdan avvalgi V asrdan etib kelgan eng qadimgi grek - yunon alfavit sistemasi. 

9
8

7

6
5

4

3
2

1

,
),

дзета

(
),

дигамма

(
,

,

,
,

,

90

80
70
60

50
40

30

20
10

q

,
,

о

,
,

,

,
),

каппа

(
,

i

900

800
700

600
500

400
300

200
100

)
самма

(
,

,

,
,

,

,
,

Misol:
...

,
444

...

,
2000

,
,

1000

,
Arab hisobi (abjad hisobi). 

Alif 

Be
Jim

Dol
Ќe

Vov
Ze

Xe
Itqi

ا
ب 

ج
د

ץ 

و
ز

ه 

ط
1 

2
3

4 

5
6

7 

8
9

yo 

Kof
Lom

Mim
Nun

Sin
A’in

Fe
Sod

ﻯ
ﻙ 

ﻝ
ﺢ

ﻥ 

ﺱ
ﻍ

ﻒ 

ﺹ
10 

20
30

40
50

60
70

80
90
Qof
Re

Shin
Te

Se
Xe

Zol
Zod

Izqi
Ђa’in

ﻕ
ﺭ

ﺵ 

ﺕ
ﺙ

ﺡ 

ﺫ
ﺽ

ﻅ 

ﻉ
100

200
300

400
500

600
700

800
900

1000
Mas. 12 = ﻯ ب avval 10 ni o’ng tomoniga 2 ni yoziladi 

539 = ﻝﺙ ط

4000 = ﻉد (4 va 1000 ko’rinishida)

50000 = ﻉﻥ ( 50 va 1000 ko’rinishda)

Ko’rinib turibdiki bu usulda alfavit 9 ta harfdan qilib ajratiladi.Bulardan birinchi 9 

tasiga birliklar, 2-9 tasiga o’nlar, 3-9 tasiga yuzlar mos qo’yiladi. Bunda har bir harf son

ko’rinishini olishi uchun ma’lum belgi qo’yiladi.Bulardan tashqari yana qadimgi slavyan, 
evrey, gruzin, armyan va boshqalar bor.
Ko’rinib turibdiki alfavitli sistema yozuv uchun qulay, lekin amallar bajarish uchun 

noqulay.

3. Ўnli bo’lmagan pozitsion sistemalar. 
Bularga Vavilon, indeetslar, mayьya qabilasi, hindlarning ikkilik sistemasi kiradi. 

---

---

10

Ўnli sanoq sistemasi nol bilan birga dastlab eramizdan 500 yil avval Ќindistonda 
vujudga keldi.
Ќindlarning matematikaga oid eng qadimgi yodgorliklari eramizdan oldingi VIII - 

VII asrlarga to’g’ri kelib, bular sanskrit tilida yozilgan diniy kitoblardir. Bularda geometrik

yasashlarga oid (saroylar qurish, ibodatxonalar qurish, buddalar yasash ...), doirani kva-
dratlashning dastlabki urinishlari, Pifagor teoremasining tatbiqlari va buning natijasida
Pifagor sonlarini topishga doir arifmetik masalalar echish va boshqalar. Sanoq sistemasi 
avval boshdan o’nlik sistemada ishlatilina boshladi. Xususan katta sonlarni tuzish va ular
ustida amallar bajarish odat tusiga kirgan. Jumladan qadimiy afsonaga qaraganda Budda 
o’nli sanoq sistemasida 10
54
gacha bo’lgan sonlarni tuzgan va ularning har bir razryadiga 

mos nomlar qo’ygan.Yoki boshqa bir afsona (Er xudosini ishqida musobaqalashgan Sar-

vatasidda) maxraji 100 bo’lgan geometrik progressiyaning 10
7+9*48
- hadini ya’ni 421 ta 

nol bilan tugaydigan sonni hosil qilganligi haqida so’z boradi.

Yoki boshqa misol b

1
= 3, q = 5, S = 22888183593 bo’lgan geometrik progressiyan-

ing hadlari sonini topish masalasi (Bxaskara “Lilovati” asari).
Ўnli sanoq sistemasi (nol bilan) va sonli simvolikani ishlab chiqish va rivojlantirish 

bilan birga hindlar cheksiz katta sonlar haqida ham tasavvurga ega bo’lganlar. Jumladan

Bxaskara Akarьya 
0
а

ko’rinishdagi ifodaga izoh berib, uni son ekanligini, lekin unga qan-

day katta sonni qo’shganimizda yoki ayirganimizda ham o’zgarmaydi deb tushuntiradi.

Xitoyda matematik tushunchalarni paydo bo’lishi Xitoy matematika tarixchisi Li 

Yanning tasdiqlashiga ko’ra e.o. XIV asrga to’g’ri keladi. Dastlabki matematikaga oid

ma’lumotlar chjou - bi (quyosh soati) va matematikaga oid 9 kitob (matematika v devyati 
knigax) asarlardir. Bu asarlar eramizning boshida (e.o. 152 y. olim Chjan Tsan) paydo
bo’lib, bungacha bo’lgan Xitoydagi matematikaga oid barcha ma’lumotlar jamlangan. 
Jumladan bu asarda ieroglifli simvolika bilan berilgan o’nli sanoq sistemasi haqida ham
ma’lumotlar bor. Sonlar sinflarga bo’linib, har birida to’rttadan razryad bor. Nol esa yo’q 
bo’lib, faqat XII asrda paydo bo’lgan (qindlardan o’zlashtirilgan bo’lsa kerak). Arifmetik
amallar esa sanoq taxtasida bajarilib, nolni o’rni bo’sh qoldirilib ketgan. 
Misrda matematikaga oid bo’lgan ma’lumotlar 1858 yili Raynda (Rhind) papirusin-

ing o’qilishidir. U Londonda saqlanayotgan bo’lib, taxminan uzunligi -5,5 metr eni - 32 sm

bo’lib, 84 ta amaliy ahamiyatga ega bo’lgan masala jamlangan. Ikkinchi katta yodgorlik 
Moskvada bo’lib, Axmes papirusi deb ataladi. Uzunligi o’shanday bo’lib, eni 8 sm ga
teng, 25 ta masala bor. Birinchisi e.o. 1650 yilga tegishli bo’lib, 1882 yili V.V.Babinin ru-
scha sharxini bergan. Ikkinchisi e.o. 1850 yilga tegishli bo’lib, sovet akademiklari
B.A.To’raev va V.V.Struve tomonidan o’qilgan va o’rganilgan. Ma’lum bo’`lishicha Mis-
rliklar e.o. 4000 yillar davomida matematikani amaliy ishlari bilan shug’ullanganlar. Ular-
ga o’nlik va 60 lik sanoq sistemalari tanish bo’lgan. Jumladan o’nli sanoq sistemasi ierog-
lifli bo’lib, bog’lovchi sonlar 10
k
larga maxsus belgilar qo’yilgan. Algoritmik sonlar esa 

bog’lovchi sonlarning kombinatsiyasi asosida tuzilgan.

Umuman olganda o’nli sanoq sistemasini paydo bo’lishi, shakllanishi va rivojlanishi 

turli xalqlarda turlicha kechdi.

---

---

11

Ўnli sanoq sistemasining bundan keyingi rivoji ko’p jixatdan Islom dinining vujudga 
kelishi va 641 yili Bag’dod xalifaligini o’rnatilishi bilan bog’liq.
Taxminan 773 yili al - Fazari xindlarning “Siddxanti” (300 – 400 yillar) asarini arab 

tiliga tarjima qiladi (saqlanib qolgan “Surьya” qismi).

Islom davri matematikasi turli - tuman kuchlar ta’siri ostida rivojlandi. Ayniqsa xali-

fa Abbosiylar davrida: al - Mansur (754 - 775), Xorun - al - Rashid (786 - 809), al - Mamun

(813 - 833). Al-Mamun Bog’dodda kutubxonasi va observatoriyasi bo’lgan katta madrasa 
qurdiradi. Bu erda ko’plab sharq olimlari ishlab ijod qilganlar. Xivalik Muxammad ibn
Muso al-Xorazmiy (825 yili) Xindistonga qilgan safaridan so’ng yozgan “Xind sonlari ha-
qida” asari (XII asrda Lotin tiliga tarjimasi saqlangan) paydo bo’lgandan so’ng o’nli sanoq
sistemasi tez tarqala boshladi. Bu davrga kelib savdo-sotiq keng yo’lga qo’yilgan turli 
xalqlardagi matematika yutuqlari umumlashtirilib yaxlit holga kelgan edi. Ana shunday
holda u Evropaga kirib keldi. (Algoritm - Algorifm – al-Xorazmiy). 
Xulosa qilib aytganda islom dini tarqalishi bu yangidan-yangi o’lkalarni qamrab 

olish va natijada vujudga kelgan ulkan davlatni boshqarish uning ravnaqini ta’minlash

fanni keng mikyosda davlat raxnamoligiga olishni taqozo etardi. Chunki savdo-sotiqni 
yo’lga qo’yish yangi shaxarlar barpo etish, meros masalalari va boshqalar bunga sabab
bo’la oladi.Natijada davlat apparatida maxsus oylik bilan ishlovchi olimlar jamlana bordi. 
Ular turli mamlakatlardan keltirilgan asarlarni o’rganish, tarjima qilish, umumlashtirish
va yangi kashfiyotlar bilan shug’ullanishgan. Shuning uchun ham al-Xorazmiyning “Xind 
sonlari haqida” asari o’ziga xos entsiklopedik asar bo’lib, berilgan sharxlar va Xorazmiy
tomonidan rivojlantirilgan nazariyalar bizning hozirgi zamon o’nli sanoq sistemasiga juda 
yaqin keltirilgani uchun ham, u butun dunyoda qabul qilindi.
H
ind raqamlari: 

٠٫١٫٢٫٣٫٤٫

۵٫
٦٫٧٫٨٫٩. 

Sharq matematiklari o’nli sanoq sistemasida ishlash bilan birga, o’nli kasrlar bilan 

ham bemalol ishlashgan. Bu haqdagi dastlabki ma’lumotlar XV asrning birinchi yarmida
yashab ijod etgan al-Koshiga tegishli. U o’nli kasrlar ustida bemalol amallar bajargan 
vergulьni ham o’ylab topgan u. (~1442).
Masalan: 25,07 ni 14,3 ko’paytirib 358, 501 ko’rinishda yozishni ko’rsatgan. ning 

16 aniq o’nli xonalarini aylanaga ichki va tashqi chizilgan muntazam 3*2

28
ko’pyoqli yor-

damida hisoblagan. Bundan 150 yil keyin F.Viet 3*2

17
burchak yordamida 9 ta aniq xona-

sini topgan, 1597 yili esa van Roumen al Koshi natijasini takrorladi va keyinroq o’tib ket-

di.

Umuman esa Evropada (Ђarbiy Evropa, sharqida hech narsa yo’q) 1585 yili fla-

mandiyalik matematik va injener S.Stevin tomonidan kiritildi.
Bundan ilgariroq ham o’nli kasrlar haqida ma’lumotlar mavjud. Mas; Xitoyda Sun 

dinastiyasi davrida yashab ijod etgan Yan Xuey (1261 y) . Uning misollaridan biri

24,68 X 36,56 = 902,3008

Tekshirish savollari: 

1. Ibtidoiy jamiyatda matematik tushunchalar qanday paydo bo’lgan?

2. Son tushunchasini rivojlanishi qanday kechgan? 
3. O’nli sanoq sistemasini tarqalishda Al-Xorazmiyning roli.

---

---

12

4. Nomerlashning boshqa usullari haqida nimalar bilasiz?