Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

II bob. 

Matematikani rivojlanishining ikkinchi davri 

1- § Yunon matematikasi 
Reja:

1. E.o. VI - V asrlarda antik davr matematikasi.

2. Matematikani deduktiv fan sifatida shakllanishi. 
3. Butun va ratsional sonlar arifmetikasi.
4. Irratsional sonlarning kashf etilishi. 
5. Antik davr matematiklarining yutuqlari. Matematikani aksiomatik asosda qurili-
shi.

Eramizdan avvalgi VI asrga kelib o’retsiyada kuchli quldorlik davlati (davlat - 

shaharlar -polislar) vujudga keladi. Tarixiy yodgorliklar o’retsiya davlatlarida texni-
ka, fan va madaniyat yuqori darajada rivojlanganligidan dalolat beradi. Yirik quldor-
lik davlatlarining birlashmasi bo’lgan o’retsiyada Milet, Korinf, Afina; Italiyada Sira-
kuza, Sitsilia, Rim va boshqalar mustahkamlanib, boyib asosiy shaharlarga aylandi. 
Bu davrga kelib matematika dastlab ioniylar (ioniyskaya) - VII - VI (e.o.), so’ng 

VI - V (e.o) asrlarda pifagoriylar, keyinroq esa V(e.o) asrlarda afina maktablari vu-

judga keldi. Bu maktablarda asosan tabiyot va filosofiya masalalari bilan quldorlar 
va boy savdogarlar shug’ullanishgan.
Bu davr matematikasida arifmetik hisoblashlar, geometrik o’lchashlar va ya-

sashlar asosiy rolini yo’qotmagan bo’lib, ular asta - sekinlik bilan matematikaning u

yoki bu bo’limlariga gruppalana boshladi. Agarda sharq matematikasi asosan “qan-
day?” degan savolga javob bergan bo’lsa, grek matematikasi esa bunga qo’shimcha
“nima uchun ?” degan ilmiy savolga javob berishga harakat qilgan. 
o’rek matematikasining ilk shakllanish davri haqida juda kam ma’lumotlar 

saqlanib qolgan. Matematika tarixini o’rganuvchi olimlardan Tanneri, Xis, Tseyten,

Frank va boshqalarning izlanishlari natijasida bu davr haqidagi matematikadan 
ko’pgina ma’lumotlar ma’lum bo’ldi.
Bizgacha etib kelgan to’liq matematik asarlardan e.o. IV asrga oid bo’lgan Ev-

klid, Arximed, Appoloniy asarlaridir. Bularda matematika ilmiy fan sifatida shaklla-

nib bo’lgan edi. 
E.o. 430 yilga kelib , Afina, o’retsiya imperiyasining markaziga aylandi (oltin 

davri) .Matematika nazariy asosda bayon etila boshlandi.Tarixda birinchi marta ma-

tematikaga tanqidiy yondoshadigan olimlar (sofistlar) paydo bo’la boshlashdi. Bu 
davr sofistlari haqida juda ham kam ma’lumotlar saqlangan. Bizgacha to’liq saqlanib
kelgani Xioslik filosof o’ippokratning matematik asaridir. Bu asar matematik mulo-
hazalarning etarlicha to’liqligi va nazariy masalalarni ko’tarilishi bilan ahamiyatga
molikdir. Bunda: 
1. Ikkita doira yoylari bilan chegaralangan yaproqlarning yuzini qisoblash.

2. Ўxshash doiraviy segmentlar yuzalarining nisbati, ularni tortib turuvchi va-

tarlar kvadratlarining nisbati kabi.
3. Uchburchak tengsizligi va Pifagor teoremasi. 

---

---

16

4. Antik davrining asosiy problemalari burchakni uchga bo’lish, kubni ikkilan-
tirish, doirani kvadratlash haqida ma’lumotlar bo’lib, aksiomatikani dastlabki qa-
damlari qo’yildi, mantiqiy xulosa chiqarish printsipi qo’llanildi. 
Demokratik harakatlarning ta’siri natijasida sofistlar gruppasidan matemati-

ka bilan shug’ullanuvchi filosoflar ajralib chiqdi. Ular o’zlarini shu maktabning aso-

schisi Pifagor nomi bilan pifagoriylar deb atadi. Pifagor - zadogonlardan chiqqan 
davlat arbobi, olim bo’lib , ilohiyotga (mistika) ishonuvchan bo’lgan. Ular tabiyatda
va jamiyatda abadiy asosni qizdirishgan. Buning uchun ular geometriya, arifmetika, 
astronomiya va muzika ilmini o’rganishgan. (Buyuk nomoyondalaridan biri Arxit
e.o 400 yilda yashagan bo’lib pifagoriylar matematikasining ko’p qismi unga tegish-
li).

Pifagoriylar arifmetika sohasida: 

1. Ular sonlarni juft - toq, tub va murakkab, mukammal, qo’shaloq, uchbur-
chakli, kvadratli, beshburchakli va hakozo sinflarga ajratganlar. Ќozirgi ko’rinishlar
ulardan meros. 
2. Muntazam ko’pyoqlarning va muntazam ko’pburchaklarning xossalari. 

3. Tekislikni muntazam uchburchaklar, to’`rtburchaklar, oltiburchaklar siste-

masi bilan qoplash usuli, fazoni esa - kublar sistemasi bilan qoplash usulini bilganlar.
4. Pifagor teoremasining isboti. 

5. a:v=v:s - o’rta geometrikni o’rganish natijasida o’zaro o’lchamsiz kesma-

larning, ya’ni irratsionallikni kashf etganlar.
Iloxiy sonlar bir va ikkining o’`rta geometrigi nimaga tengligini izlash kvadratning 
tomoni bilan diagonali orasidagi munosabatga olib keladi, bu esa ularning tushun-
chasidagi ratsional son bilan ifodalanmasligi - irratsionallikga olib keladi. 2 ni 
qat’iy isbotini bilishgan. Faraz kilaylik
n
,

m
,

n

m
2

o’zaro tub sonlar bo’`lsin, u 

qolda 2n

2
=m

2
bo’lib, m

2
juft, demak m - juft. U xolda n - toq. Lekin, m - juft edi, de-

mak, m
2

4 ga bo’`linadi. Bundan n

2
- juft bo’`ladi va bundan n qam juft bo’`ladi. Bir 

vaqtda n - qam juft, qam toq bo’`lib qoldi. Bu esa mumkin emas. Demak, 2 rat-
sional emas. 
Bundan so’ng Arxit (e.o V) 

)
1

n

(
n

irratsional ekanligini isbotladi. Teodor 

3,5,6, ... 17 larning kvadrat ildizi irratsional ekanligini isbotladi. Teetet (e.o. IV) esa

dastlabki klassifikatsiyasini berdi. 
Dedikind va Veyershtrass tomonidan tuzilgan hozirgi zamon irratsional sonlar 

nazariyasi o’zining mohiyati jixatidan antik matematiklarning (Evdoks) fikrlash us-

lubiga mos keladi, ammo hozirgisi zamonaviy metodlarga asoslangani uchun 
keyingi rivojlanish uchun keng imkoniyatlar yaratib beradi. Bundan tashqari (e.o.
450 yillar) Elladalik Zenon kashfiyoti kutilmagan natijalarga ya’ni arifmetika va 
geometriyaning mavjud garmoniyasining buzilishiga olib keldi.
Tabiatan filosof - konservator bo’lgan Zenon o’zgarish bu shunchaki bo’lib, 

absalyut mavjudlikka faqat ong etadi deb tushungan. U quyidagi, avval qabul qilin-

gan

0
,

0

0
,

0

0
n

,

, tushunchalarni tanqid qilishi nati-

---

---

17

jasida qo’lidagi 4 ta paradoksga olib keldiki, bular barcha matematik tushunishlarni
ag’dar - to’ntar qilib yubordi. Arximedning ma’lumot berishicha bular quyidagi pa-
radokslar Axilles, Strela, Dixotomiya (ikkiga bo’lish), Stadion. Bu paradokslar pira-
mida hajmini hisoblashdagi cheksiz protsesslar natijasida matematik mazmun 
kashf etdi.
Dixotomiya paradoksi: faraz qilaylik men A dan V gacha bo’lgan to’g’ri maso-

fani bosib o’tishim kerak. Buning uchun avval AV ning yarmi bo’lmish AV

1
ni bosib 

o’tishim kerak. B

1
ga borish uchun esa avval AV

1
ning yarmi bo’lmish AV

2
ni bosib 

o’tishim kerak. V

2
ga borish uchun V

3
(yana takror) va hokazo cheksiz davom etadi. 

Natijada hakarat bo’lmaydi va men yurolmayman.
Demak, Zenonning fikricha 
chekli kesmani uzunligi chekli bo’lgan cheksiz kesmalarga ajratish mumkin. Bu
kashfiyot umuman “matematika aniq fanmi?” degan shubhaga olib keldi. 
Ko’pgina matematika tarixchilari buni grek matematikasining inqirozi boshla-

nishi deb sharqlashdi. E.o. 404 yilda Afinaning qulashi va jamiyat sistemasining

o’zgarishi (respublika) o’retsiya tarixida va shu qatori matematikasida ham yangi 
davr boshlandi. Platon (360 y . e.o) akademiyasining buyuk matematiklaridan Arxit,
Teetet (369) va Evdoks (408-355y). 
Evklid “Boshlang’ichlar”ining 5-kitobida Evdoksning nisbatlar nazariyasi va 

inkor etish metodi qaqida ma’lumotlar beradi. Agarda birinchisi qat’iy aksiomatik

formada bayon etilgan geometrik nazariya bo’lib, o’zaro o’lchamli yoki o’lchamsiz 
miqdorlar tushunchasiga nisbatan pifagoriylar nazariyasiga zarba bergan bo’lsa;
ikkinchisi esa formal logika elementlari yordami cheksiz kichiklar bilan bog’liq 
bo’lgan barcha problemalarni chetlab o’tishga imkon berdi. Bu esa Zenon paradok-
slariga berilgan zarba bo’ldi. Bu metod yordamida yuzalarni va hajmlarni hisoblash-
ni qat’iy isboti berildi.
Masalan: 

приз
тет

P
3
1

V

1) faraz qilaylik V> Р
3
1

bo’lsin; qarama-qarshilik paydo qilinadi;

2) faraz qilaylik V< 

Р
3

1

bo’lsin; qarama-qarshilik paydo qilinadi;

Xulosa, demak V=

Р
3

1

bo’lish kerak.

Evdoks tomonidan grek matematikasidagi krizisning bartaraf etilishi uning

bundan keyingi rivoji uchun yangi turtki bo’ldi.

E.o. 323 Aleksandr Makedonskiy Bobilda vafot etdi. Uning lashkarboshilari 

imperiyani bo’lib oldilar. Natijada uchta yirik davlat; Ptolomeylar sulolasi hukmdor-

ligida - Misr ; Selevkidlar hukmdorligida - Mesopotaliya va Suriya; Antigon hukm-
dorligida - Makedoniya va Ќind vodiysida bir qancha knyazliklari vujudga keldi. Bo-
sib olingan erlarda greklar o’zlarinikiga qaraganda rivojlangan matematik 
ma’lumotlarga duch keldilar. Ular buni qabul qildilar. Natijada matematikaning

---

---

18

bundan keyingi rivoji yanada tezlashdi. Ўrta er dengizi atroflaridagi davlatlar tezroq
rivojlana bordi. Aynan shu erlarda ya’ni Aleksandriya, Afina, Sirakuz va boshqalar. 
Aleksandriyada - Evklid (306-283 y), Appoloniy (asli Pergamalik, 260-170 y), 

Ptolomey (II asr), o’eron (I-II asr), Sirakuzada - Arximed (287-212 y).

Antik davr matematikasining rivojini uchinchi davri Rim xukmdorligi bilan 

bog’liq.Eramizning boshlanishiga kelib u yaqin sharqni o’ziga bo’ysundirdi. Bu

davrning matematikalaridan; o’eraslik - Nikomax (100 y) - “Arifmetikaga kirish” asa-
ri pifagoriylar arifmetikasining to’liq bayoni keltirilgan.
Aleksandriyalik - Ptolomey (150 y) asarining arablashtirilgan nomi 

“Alьmagest”. Bu kitobda

1) 0

0
- 180

0
gacha burchaklar uchun vatarlar jadvali; 
2) 0

0
- 90

0
gacha burchaklar uchun har yarim gradusda sinuslar jadvali; 
3) uchun qiymat

.
14166

,
3
120

377
60

30

60
8

3

)
30

,

8
,

3

(
2

4) Ikki burchak yig’indisi va ayirmasi uchun sinus va kosinus formulasi; 
5) “Ptolomey teoremasi” - aylanaga ichki chizilgan to’rtburchak haqidagi va 

boshqalar.

Keyingi olimlardan Menelay (100 y) asari “Sferika” da sferik geometriyaga oid 

ma’lumotlar aksiomatik asosda berilgan.

Bu bilan bir davrda o’eron yashab ijod etgan. ”Metrika” asarida 

)
)(

)(

(