Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

2-
§

. Yunon matematiklarida asosiy uch muammoning qal qilinishi 
Reja:
1. Kubni ikkilantirish masalasi. 

2. Burchakni uchga bo’`lish masalasi.

3. Doirani kvadratlash masalasi. 
4. Muammolarni bundan keyingi qal qilinishi.
Irratsional sonlarni kashf etilishi matematikaning nazariy asoslarini yaratish uchun 
asosiy sabablardan biri bo’`ladi. Chunki qali mustaxkam asosga ega bo’`lmagan grek
matematikasi irratsionallik tufayli sonlar nazariyasi va geometriyada katta qiyinchi-
liklarga duch keldi. Chunki buning natijasida metrik geometriya va o’`xshashlik kabi
nazariyalarni tushuntirish qiyin bo’`lib qoldi. Kashf qilingan faktni moqiyatini ilmiy 
asosda tushunish va uni tarkib topgan tasavvurlar bilan muvofiqlashtirish matema-
tikani bundan buyongi rivojlanishi uchun katta turtki bo’`ldi. Ratsional sonlar bilan 
bir qatorda irratsional sonlar uchun qam yaroqli bo’`lgan matematik nazariyani yara-
tishga bo’`lgan urinish natijasida geometrik algebra nomi bilan yangi yo’`nalish ya-
ratildi. Ammo geometrik algebraning kamchiligi shundan iborat bo’`lib qoldiki,
chiz¼ich va tsirkul yordamida echish mumkin bo’`lmagan masalalar qam etarlicha 
ekan. Bunday masalalar turkumiga:
Kubni ikkilantirish; 
Burchakni teng uchga bo’`lish;
Doirani kvadratlash va boshqalar kiradi. 
1. Kubni ikkilantirish, ya’ni qajmi berilgan kub qajmidan ikki marta katta
bo’`lgan kubni yasash. Berilgan kub qirrasi a ga teng bo’`lsin, u qolda yangi kub qirra-
sini x desak, masala x
3
=2a

3
tenglamani echishga, yoki 

3
2

kesmani yasashga keladi. 

---

---

20

ªuyida Xioslik o’ippokrat (e.o. V asr o’`rtasi) tomonidan tavsiya etilgan usul bilan ta-
nishaylik. U masalani umumiyroq qilib qo’`yadi, ya’ni parallelopipeddan kub qosil qi-
lish. Buni u ikkita o’`rta proportsionalni topish masalasiga olib keladi.
Bizga V=a
1
b

1

c
1
parallelopiped berilgan bo’`lsin. Uni asosi kvadrat bo’`lgan yangi 

parallelopipedga V=a

2
b ga keltirilgan bo’`lsin. Endi buni x

3
=a

2

b kubga o’`tkazamiz.

Izlangan kubning qirrasi o’ippokratga ko’`ra a:x=x:y=y:b proportsiyadan aniqlangan. 
Buning uchun x
2
=au, xu=ab va u

2
=bx ko’`rinishdagi geometrik o’`rinlar tekshirilgan 

va ular (a va b lar) shu geometrik o’`rinlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini
o’`rta proportsianalini topish ko’`rinishida qal qilgan. Bu esa konus kesimlari 
ko’`rinishida qal bo’`ladigan masaladir.
Boshqa ko’`rinishda Eratosfen kubni taqriban ikkilantiradigan qurilma (mezola-
biy) yasagan.
Muammoning bundan keyingi taqdiri qaqida 1637 yilda Dekart bu masalani 
echish mumkinligiga shubqa bildiradi. 1837 yilda Vantselь bu masalani uzil-kesil qal
qiladi, ya’ni kubik irratsional sonlar ratsional sonlar to’`plamiga qam va uni kvadrat 
irratsionallik bilan kengaytirilgan to’`plamiga qam tegishli emasligini isbotlaydi.
Demak, masalani chiz¼ich va tsirkul yordamida qal qilib bo’`lmas ekan. 
1. Burchakni uchga bo’`lish.
Antik davrning ikkinchi mashqur masalasi bu ixtiyoriy burchakni geometrik 
algebra usullari bilan teng uchga bo’`lishdir. Bu masala qam oldingisi kabi uchinchi
darajali tenglamani echishga keltiriladi, ya’ni a=4x
3
-3x yoki trigonometrik 

ko’`rinishda cos =4cos

3
( /3)-3cos( /3). 

3. Uchinchi masala - yuzi kvadrat yuziga teng bo’`lgan doirani topish. Doiraning

yuzi r
2
, kvadrat yuzi 

2
x

. U qolda r
2
=

2

x
,

x

r
bo’`lib, ning arifmetik tabiati 
ochilmaguncha bu muammo qam echimini kutib turdi. Faqat XVIII asrga kelib I.
Lambert va A. Lejandrlar ratsional son emasligini isbotladilar. 1882 yilda Linde-
mon ni transtsendent son ekanligini, ya’ni u qech qanday butun koeffitsentli alge-
braik tenglamaning ildizi bo’`la olmasligini isbotladi. 
Albatta antik matematiklar bularni bilmaganlar. Ular muammoni qal qilish da-
vomida ko’`plab yangi faktlarni va metodlarni kashf qildilarki, shubxasiz bular ma-
tematikani rivojlantirish uchun katta qissa qo’`shdi. Ba’zi xususiy qollar uchun
muammoni qal qilishga erishdilar. Jumladan, o’ippokrat masalasi.
1.Diametrga tiralgan va radiusi
2
r ga

teng yaproqcha. Bunda yaproqcha yuzi diametri

gipotenuza vazifasini bajaruvchi teng
yonli to’`¼ri burchakli uchburchak ASV yuziga
teng, ya’ni:

S
ADB yaproіcha

=S
ACB

2.ASV-to’`¼ri burchakli uchburchak.

Uchburchak tomonlarini diametr qilib

---

---

21

aylanalar yasalgan. U qolda katetlarga
tiralgan yaproqchalar yuzalarining
yi¼indisi ASV uchburchak yuziga teng, ya’ni:
S
AEB

+S
BCF

=S
ABC

3.Tomonlari 1, 1, 1, 

3
bo’`lgan

trapetsiyaga chizilgan tashqi aylana,

3
tomonni esa vatar qilib,

boshqa 3 ta segmentga o’`xshash segment

yasaymiz. Natijada qosil bo’`lgan
yaproqcha yuzi trapetsiya yuziga teng, ya’ni:
S
ADCB yaproіcha

=S
ABCD trapetsiya.

1-rasm

Bunda o’ippokrat “O’xshash segmentlar yuzalarining nisbati ular tiralgan di-

ametrlar nisbatining kvadratiga proportsional” degan teoremaga asoslangan. Bun-
day yaproqlar soni qancha degan savolga javob ochiq qolaveradi. 1840 yilda nemis 
matematigi Klauzen yana 2 ta yaproqcha topadi. XX asrda sovet matematiklari
Chebotarev va Dorodnovlar tomonidan to’`liq javob topildi, ya’ni agar yaproqcha-
larning tashqi va ichki yoylarining burchak qiymatlari o’`zaro o’`lchamli bo’`lsa, u qol-
da masala echimga ega, aks qolda yo’`q. Shunga ko’`ra
2
1

3

1
3
2

5
1

5

3
, , , ,

bo’`lib, boshqa ya-
proqchalar kvadratlanmaydi. 
Masalaning qo’`yilishining o’`ziyoq bizda uni chiz¼ich va tsirkulь yordamida qal
qilib bo’`lmasligini anglatadi. 
o’ippiy usuli.
Faraz qilaylik AVSD to’`¼ri to’`rtbur- 
chakda VS tomon AD bilan ustma-ust
tushguncha o’`ziga parallel qolda siljisin.
Shu bilan bir vaqtda AV tomon A
uch atrofida soat strelkasi bo’`yicha
AD bilan ustma-ust tushguncha 2-rasm
aylansin. Bu ikki tomon kesishish nuqtalarining geometrik o’`rni kvadratrisa deb ata-
luvchi egri chiziqni beradi. Bu egri chiziqning mavjud bo’`lishi burchakni ixtiyoriy
bo’`lakka bo’`lishni AV (yoki SD) kesmani shuncha teng bo’`lakka bo’`lish masalasiga 
keladi. o’ nuqta

r

АG
2
kvadratrisa bilan AD tomonning kesishish nuqtasi 

qo’`shimcha ravishda aniqlangan.

Boshqa misol (orasiga qo’`yish 
usuli). Bu usulda uchlari berilgan
chiziqlarda yotuvchi va berilgan
nuqtadan o’`tuvchi (yoki davomida)
kesmani yasash tushuniladi.
Orasiga qo’`yiluvchi kesma DE=2AV. 3-rasm

---

---

22

Bunda DF=FE=AB, ABF= AFB=2 AEF=2 CBD, CBD=
1
3

ABC.
Orasiga qo’`yiluvchi kesma oldindan chiz¼ichga belgilab qo’`yilgan va u mexanik ra-

vishda qo’`z¼almas nuqta atrofida qarakatlangan, bunda belgining biri bir chiziqdan
chiqmasdan ikkinchi belgi ikkinchi chiziqqa tushguncha qarakatlangan. 
Masalani qal qilishga ko’`p urinishlar bo’`ldi. Faqatgina X asrga kelib uchinchi da-
rajali tenglamaga kelishi ma’lum bo’`lib qoldi. ªat’iy isboti esa Vantsel tomonidan 
berildi.
Ko’`rdikki, antik davr matematiklari bu muammolarni qal qilish uchun ko’`p 
uringanlar, ammo matematik ma’lumotlarni etarli bo’`lmagani uchun oxiriga etkaza
olmaganlar. Shunga qaramay, ular matematikani rivojlanishi uchun katta qissa 
qo’`shdilar. Yangi ma’lumotlar va yangi metodlarni yaratdilar.
Tekshirish savollari: 

1. Kubni ikkilantirilishini izoxlang.

2. Burchakni uchga bo’`lishini izoxlang. 
3. Doirani kvadratlash qaqida nimalar bilasiz ?
4. Muammolarni bundan keyingi qal qilinishi qaqida nimalar bilasiz?