Universidade estadual de campinas

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

RECONSTRUÇÃO DE IMAGENS VIA PROJEÇÕES: UMA INTRODUÇÃO A TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

Ana Flávia Rolla Sette Bicalho (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Sandra Augusta Santos (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A tomografia computadorizada é um procedimento de diagnóstico por imagem que combina o uso de raios-X com computação. Neste trabalho foi estabelecido um plano teórico-prático de trabalho, no qual os tópicos de matemática foram estudados e implementados. Com o objetivo de analisar o funcionamento de algoritmos de reconstrução de imagens via projeções, foi analisado um algoritmo de diversas formas, comparado-as em relação a sua eficiência. Para se resolver os sistemas sobredeterminados que sempre são obtidos como resposta desse algoritmo de reconstrução de imagens, utilizamos as chamada Técnicas Algébricas de Reconstrução (“ARTs”), também conhecidas por método interativo de Kaczmarz. A metodologia de análise esta baseada no uso do MatLab como ambiente de simulação computacional. Com a variação de alguns parâmetros do método, pode-se avaliar a eficiência do algoritmo e a validade dos resultados. Aumentando o número de iterações, diminui-se o erro relativo, obtendo-se uma imagem mais próxima do real. Outra variação possível é o número de pixels da figura. Aumentando o número de pixel, aumentamos também a definição da imagem.

Tomografia Computadorizada - Reconstrução de Imagens - Sistemas Lineares Sobredeterminados

SISTEMAS DINÂMICOS DISCRETOS

Ana Leticia Ferreira de Moraes (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Lúcio Tunes dos Santos (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A aplicabilidade da teoria dos sistemas dinâmicos discretos é vasta pois modelam fenômenos físicos cujos estados mudam com o passar do tempo. Estes modelos também são usados em previsões econômicas e financeiras, modelagem ambiental, diagnósticos médicos e outras aplicações que precisam prever o estado futuro do sistema sem recorrer a estados anteriores. Para que pudéssemos fazer um estudo significativo do assunto, escolhemos a análise do comportamento do Método de Newton aplicado à solução de equações. Iniciamos com o estudo das definições fundamentais gerais (diferenciabilidade, estabilidade, bifurcação, etc) e finalizamos com a apresentação dos Conjuntos de Julia e de Mandelbrot para ilustrar o comportamento caótico de alguns sistemas. No decorrer do projeto, além da forte abordagem teórica aos sistemas dinâmicos discretos, procuramos enriquecê-lo com exemplos numéricos visualmente elucidativos.

Conjuntos de Julia e de Mandelbrot - Método de Newton - Sistemas Dinâmicos

A MATEMÁTICA DAS TEORIAS DE CALIBRE E APLICAÇÕES À ROBÓTICA

Carlos Alberto Sato (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Márcio Antonio Faria Rosa (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Este projeto tem por objetivo, primeiro desenvolver os tópicos matemáticos necessários para o estudo das teorias de calibre. Após essa etapa, desenvolveremos possíveis aplicações à Robótica. Isso é possível pois ao analisarmos o movimento de um braço de um robô, por exemplo, teremos um sistema articulado. Ao descrevermos seu movimento consideraremos os possíveis graus de liberdade do sistema e o seu movimento será analisado então no espaço de configurações do mesmo. Para isso é necessário em primeiro lugar estudarmos o Cálculo Diferencial e Integral em espaços euclidianos Rⁿ. Para essa etapa do projeto, analisamos o livro Calculus on Manifolds, de M. Spivak. Neste livro foram abordados os seguintes conceitos: definição de funções em um espaço n-dimensional e continuidade dessas funções; derivada direcional, derivadas parcias de uma função; teorema da função inversa e teorema da função implícita; formas diferenciais e tensores; variedades; integração de formas diferenciais em cadeias. Finalizada essa etapa passaremos a analisar questões mais geométricas com o estudo de geometria diferencial.

Matemática - Robótica - Teoria

UM ESTUDO DE REDES NEURAIS APLICADO A UM PROBLEMA DE CLASSIFICAÇÃO BINÁRIA

Cristina Mayumi Kato (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof Dr. Emanuel Pimentel Barbosa (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Bancos e instituições financeiras tem muitas vezes interesse em classificar ou pontuar clientes (“behaviour scoring”) ou candidatos a crédito (“credit scoring”) como bons ou maus de acordo com o risco de não pagamento. Para isso são utilizados dados cadastrais dos candidatos e histórico dos clientes para estimar esse risco através de algum modelo estatístico. São estudadas, em termos de performance preditiva , não somente técnicas básicas de classificação que apresentam função de discriminação linear, como é o caso da regressão logística, quanto métodos não-lineares como as redes neurais. Diferentes topologias de redes a frente são consideradas variando-se o número de camadas e de nós, além de diferentes métodos de estimação e opções de implementação computacional. As vantagens dos procedimentos não-lineares são mostrados , inclusive em termos de proporção de classificação correta obtida em um conjunto de dados de validação.

Behaviour Scoring - Classificação Binária - Redes Neurais

TÉCNICAS DE REORDENAÇÃO PARA MATRIZES ESPARSAS

Daniel Evangelista Régis (Bolsista SAE/UNICAMP) e Profa. Dra. Maria Aparecida Diniz Ehrhardt (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Neste trabalho vamos tratar de sistemas lineares da forma Ax = b, onde A  R^nxn e b  Rⁿ são conhecidos e x  Rⁿ é a solução procurada. Nosso interesse está voltado para sistemas de grande porte onde, em geral, a matriz A é esparsa. No entanto, quando aplicamos métodos diretos para resolver o sistema, pode haver preenchimento da matriz durante o processo de fatoração. Para evitar isto, existem várias técnicas que podem ser usadas em conjunto com a fatoração de A, tentando preservar ao máximo sua estrutura esparsa; entre estas técnicas estão as técnicas de reordenação de linhas e/ou colunas. Vamos abordar a reordenação à forma triangular por blocos e a estratégia de "minimum degree" (menor grau). No primeiro caso, depois de aplicado um algoritmo para reduzir a matriz A à forma triangular por blocos, resolvemos o sistemas de equações lineares reduzido, fatorando somente os blocos diagonais da matriz e resolvendo o sistema por substituição, regressivamente. Assim, todo o preenchimento fica confinado aos blocos diagonais. Na forma de reordenação das colunas de A baseada na idéia do "minimum degree", minimizamos o preenchimento na matriz determinando a linha pivô i tal que r_i^k = min_tr_t^k, onde r_t^k é o número de entradas não nulas da linha t da matriz, no estágio k. Através de um conjunto significativo de experimentos numéricos, implementados no MATLAB, comparamos o efeito de ambas as reordenações sobre o preenchimento que pode ser causado na matriz A depois de realizada sua decomposição LU, e fazemos uma análise completa dos resultados.

Matrizes Esparsas - Técnicas de Reordenação - Fatoração LU

SOBRE UM TIPO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL

Daniel Juliano Pamplona da Silva (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Apresentamos e discutimos a classificação quanto ao tipo das equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem. Após isto particularizamos para o caso das equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem com duas variáveis independentes, as quais mostramos que sempre podem ser conduzidas a uma equação de Tricomi de primeira ou segunda espécie. A motivação para o estudo destas equações é o grande número de problemas que estas descrevem, tais como propagação de onda e fluxo de calor, dentre muitos outros. Estudamos ainda o d’Alembertiano projetivo que surge no estudo da relatividade projetiva. Como aplicação estudamos o comportamento quanto ao tipo do d’Alembertiano projetivo em duas dimensões. Para este introduzimos mudanças de variáveis independentes com as quais o transformamos em uma equação de Tricomi de segunda espécie do tipo hiperbolico-parabólica. Como uma verificação, obtivemos a equação característica associada à equação de d'Alembert projetiva em duas dimensões sem reduzi-la a uma equação de Tricomi, e comparamos os resultados. A utilidade de reduzirmos uma equação a uma equação de Tricomi é a de podermos classifica-la quanto ao tipo em todos os pontos do espaço e também poder sua solução sempre ser obtida pelo método de separação de variáveis.

Equação diferencial Parcial - Equações de Tricomi - Curvas características

GRUPOS DE LIE

Daniel Miranda Machado (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Marcelo Firer (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Introduzimos alguns conceitos e propriedades importantes relativos a grupos de Lie. Uma destas propriedades é o fato de o grupo de isometrias de uma variedade riemanniana ser um grupo de Lie. Como aplicação, exploramos alguns aspectos do grupo de Lorentz, grupos de isometrias do espaço pseudo-riemanniano de Minkovski.

Grupos de Lie - Espaço de Minkovski - Grupo de Lorentz

ESTIMADORES RESISTENTES

Eduardo Ferraz de Campos Mônaco (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Mario A. Gneri (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O objetivo da estatística é extrair inferências válidas a partir de um conjunto de dados. Além de considerar os dados propriamente ditos, qualquer análise está baseada em algumas hipóteses ou suposições a respeito da situação sob estudo. Estas suposições não são verdadeiras no sentido estrito do termo, elas são racionalizações ou simplificações da realidade motivadas pela falta de conhecimento acabado do fenômeno sob estudo ou pela necessidade de “simplificar” o fenômeno para torna-lo acessível às ferramentas matemáticas e computacionais disponíveis. Por estes motivos deve-se estudar a estabilidade dos procedimentos estatísticos em geral (em particular as técnicas de estimação) na presença de desvios das hipóteses nas quais se baseiam, e utilizar técnicas não muito sensíveis aos desvios das hipóteses. Tais técnicas são chamadas resistentes ou robustas. Nos cursos tradicionais de estatística esta problemática é muito pouco trabalhada, embora ela tenha surgido quase simultaneamente com o uso dos primeiros modelos paramétricos da estatística clássica. Pretendemos contribuir um pouco à popularização destes conceitos através deste trabalho, estudando o impacto dos outliers nos estimadores tradicionais, apresentando alternativas resistentes e introduzindo ferramentas adequadas para o estudo da robustez e/ou resistência.

Inferência Paramétrica - Resistência

AS MATEMÁTICAS DA TEORIA DE CALIBRE APLICADAS À ROBÓTICA

Ester Cristina Rosa (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Marcio Antonio de Faria Rosa (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O Projeto teve seu início centrado no estudo do Cálculo no espaço Rⁿ tendo, como base bibliográfica, o livro “Calculus on Manifolds” de Michael Spivak. Partindo do reconhecimento de norma de um vetor e do produto interno de dois vetores, estudou-se topologia no espaço euclidiano explorando conceitos como: ponto interior e exterior; fecho; subconjuntos abertos, fechados, limitados e compactos. Assim, viu-se teoremas importantes como, por exemplo, o de Heine-Borel: ”O intervalo [a,b] é compacto”. Em seguida, trabalhamos com limite e continuidade de funções vetoriais. Estudamos a transformação linear T: RⁿRⁿ, uma função vetorial com suas propriedades características, e apresentamos o cálculo de sua norma utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Num segundo momento vimos a Derivação estudando teoremas fundamentais como o Teorema da Função Inversa e o Teorema da Função Implícita. Depois disso trabalhamos com integração em n dimensões. Estudamos também a definição de medida e conteúdo nulos de subconjuntos do Rⁿ. Analisamos a integrabilidade de funções vetoriais definidas pelo Teorema de Fubini e vimos, também, partição de unidade. Depois disso nos debruçamos no estudo de k-tensores e propriedades do produto tensorial, vendo, em seguida, o divergente e rotacional, formas diferenciáveis e produto cunha, o Lema de Poincaré e o Teorema de Stokes.Estamos agora estudando os primeiros textos do livro “Notes on Differential Geometry” de Noel J. Hicks e, no futuro, faremos aplicações a sistemas flexíveis.

Teoria de Calibre -Sistemas Flexíveis - Espaço n-dimensional

A MATEMÁTICA DO MOVIMENTO: APLICAÇÕES DAS REPRESENTAÇÕES PARAMÉTRICAS EM TÉCNICAS DE ANIMAÇÃO

Isaias José Amaral Soares (Bolsista SAE/UNICAMP) e Profa. Dra. Sandra Augusta Santos (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Este trabalho se desenvolveu tendo em vista a compreensão e aplicação de representações paramétricas em animações feitas por computador. A representação paramétrica de curvas e superfícies é uma ferramenta poderosa na definição de movimentos associados a um caminho, por permitir, ao mesmo tempo, que se defina o caminho e a forma como esse caminho é percorrido. Foram trabalhados durante o trabalho os diversos conceitos de animação, bem como a implementação prática dos mesmos. Fizemos uma análise detalhada de parametrização por comprimento de arco e curvas de espaço, o que nos permitiu definir exatamente a posição de um objeto móvel sobre uma curva paramétrica qualquer. Analisamos ainda o comportamento de estruturas articuladas cujas extremidades se movem segundo uma função geral. Utilizamos o programa Mathematica® para validação de conjecturas e testes preliminares de algoritmos, e a linguagem C++ para a implementação de programas-exemplo que contribuíram para o maior entendimento do assunto. A exploração detalhada desses elementos nos permitiu elaborar por escrito, de maneira simples e prática, diversos aspectos com o objetivo de que o leitor desenvolva seus próprios programas utilizando tais conceitos, ou ainda, se apoie em rotinas prontas que executam animações. Também podem ser feitas simulações, exemplificações e modelos baseados em leis físicas, cujo resultado aparece diretamente na tela do computador, aumentando o grau de compreensão do leitor acerca do processo em andamento. Sem dúvida, esse é um dos motivos pelo qual a computação gráfica tem ganhado tanto espaço no mundo moderno.

Computação Gráfica - Animação - Estruturas articuladas

INTRODUÇÃO ÀS REDES NEURAIS

Joana Meirelles Villas Bôas (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Lúcio Tunes dos Santos (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Este é um trabalho de iniciação científica que procura estudar redes neurais artificiais. A motivação para o desenvolvimento das mesmas foi a intenção de se simular o processo que ocorre no cérebro, uma vez que o funcionamento deste é completamente diferente dos computadores digitais convencionais. Como parte do trabalho, foram estudados o funcionamento geral de redes (sua estrutura e características, tais como seus elementos e os tipos de função de ativação tipicamente utilizados, além de um estudo não aprofundado do cérebro humano), algumas características gráficas de redes neurais (especificamente, trabalhou-se com redes que apresentavam duas entradas e uma saída, uma vez que as mesmas podem ser representadas em gráficos 3D cujos eixos são precisamente as duas entradas e a saída) e algumas de suas aplicações práticas (nesta parte, alguns exemplos foram discutidos). O auxílio computacional, que se deu na construção dos gráficos e na simulação de algumas redes, favoreceu muito a compreensão dos conceitos envolvidos em redes neurais.

Redes Neurais - Gráficos - Aplicações

REDES NEURAIS ARTIFICIAIS APLICADAS À RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Juliana Cristina Marques Ferreira (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Sandra Augusta Santos (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A teoria de redes neurais artificiais tem se mostrado eficiente na solução de problemas em que extensas massas de dados devem ser analisadas e modeladas num contexto multidisciplinar, envolvendo, simultaneamente aspectos estatísticos, computacionais, dinâmicos e de otimização. Nosso projeto consistiu em um roteiro de estudos dessas redes como uma ferramenta para a exploração e análise de problemas. Iniciamos com a pesquisa em redes de uma só camada (Perceptron e Adaline), prosseguindo com redes de várias camadas (Madaline e Backpropagation) e com memórias associativas (Hopfield) Fizemos um estudo bibliográfico, bem como experimentos computacionais, para a simulação de exemplos numéricos nos problemas de reconhecimento de padrões abordados. Com base em nossos resultados, podemos afirmar que o desempenho das redes neurais é, em geral, bastante sensível aos parâmetros que definem a rede. Também observamos que o desenvolvimento de heurísticas para acelerar o desempenho é uma prática bastante comum e poderosa na área. Verificamos que o valor das redes neurais está justamente na potencialidade de abordar problemas mais complicados, para os quais não exista uma formulação determinística fechada, ou que tal formulação seja inviável do ponto de vista prático.

Redes Neurais Artificiais - Reconhecimento de Padrões - Simulação

INFERÊNCIA BAYESIANA PARA SEQÜÊNCIA DE CONSENSO DE DNA USANDO MÉTODOS DE MONTE CARLO E BASEADO EM CADEIAS DE MARKOV COM SALTOS REVERSÍVEIS

Leandro Teixeira Sanchez (Bolsista SAE/UNICAMP) e Profa. Dra. Nancy Lopes Garcia (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O objetivo deste trabalho é a estimação de uma seqüência de consenso de DNA e seu comprimento. A suposição principal deste trabalho é que a seqüência observada foi obtida da seqüência original através de um mecanismo aleatório oculto (neste caso, cadeia de Markov oculta). Assim, o espaço de parâmetro estendido é: a seqüência de consenso, seu comprimento, a matriz de transição da cadeia oculta, a matriz de produção e a própria cadeia oculta. Obteremos uma estimação bayesiana de maximum a posteriori selecionando a seqüência e o comprimento que maximizam a distribuição posteriori dos parâmetros dado as observações, escolhendo assim para representar o verdadeiro DNA. Neste caso, a distribuição a posteriori não é possível de ser obtida analiticamente e através de método de Monte Carlo baseado em uma cadeia de Markov de saltos reversíveis podemos obter uma amostra da distribuição a posteriori.

Inferência Bayesiana - Método de Monte Carlo - Cadeia de Markov oculta

SOBRE UM ESTUDO DO EQUILÍBRIO BIONÔMICO DE UM SISTEMA DE DUAS ESPÉCIES

Livia Ferrari Negrão (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Benjamin Bordin (Orientador), Institituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Neste trabalho estudamos o problema de captura integrada de duas espécies de população. Inicialmente estudamos modelos pesqueiros de um sistema de duas espécies com captura conjugada que são os seguintes:(I) Modelo logístico de crescimento de duas espécies ecologicamente independentes, (II) Modelo logístico de crescimento de duas espécies que competem entre si e (III) Modelo de Lotka-Volterra de uma presa e um predador. No estudo de (I), (II) e (III) são utilizados os conceitos de equilíbrio dinâmico e de equilíbrio bionômico(factível e parcialmente factível) para a obtenção de resultados que permitem uma análise sob a qual, levando em conta um esforço de pesca(por exemplo, quantidade de barcos pesqueiros por dia), termos uma viabilidade econômica sem tornar predatória a captura integrada de duas espécies. A seguir estudamos, em analogia com (I) e (II) , o sistema de duas espécies em que o crescimento não é o logístico obtendo resultados para o equilíbrio bionômico das espécies.

Equilíbrio bionômico - Modelo logístico - Sistemas autônomos

MODELOS PRINCIPAIS DE REDES NEURAIS: INTRODUÇÃO À TEORIA E APLICAÇÕES

Marcio Teruo Akyama (Bolsista FAPESP) e Prof. Dr. Peter Sussner (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
As redes neurais têm sido estudadas desde a década de 50 com o objetivo de atingir uma inteligência, comparável ao cérebro, em sistemas artificiais. Esses modelos são compostos de vários elementos computacionais não lineares operando em paralelo e arranjados em padrões que lembram redes neurais biológicas. Elementos computacionais ou nós são conectados via pesos que são tipicamente adaptados durante o uso para melhorar seu desempenho. Desde os anos 80, surgiram vários modelos e algoritmos poderosos de redes neurais, tais como técnicas eficientes de implementação em VLSI que provêem um excelente desempenho em uma vasta variedade de aplicações. Neste trabalho, foram feitos estudo e implementação dos principais modelos de redes neurais e suas aplicações, sendo todas implementações feitas em C/C++. Houve, com isso, a possibilidade de se fazer estudo do sistema de aprendizado das redes neurais, confirmando os resultados teóricos encontrados na literatura. Foram vistos os modelos mais importantes como: Perceptron, AdaLiNe e Hebbiana utilizadas na classificação de padrões; o modelo de múltipla camado do Perceptron, utilizando o algoritmo da retropropagação em seu aprendizado; os modelos principais de memórias associativas, incluindo as morphológicas; as redes baseadas em competição; redes de função de base radial; e a teoria da ressonância adaptativa.

Redes Neurais - Reconhecimento e Associação de Padrões - Inteligência Artificial

LOCALIZAÇÃO TERRESTRE: DO MAPA DE MERCATOR AO GPS

Matheus Fabiano Pila (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Lúcio Tunes dos Santos (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Foram feitos estudos sobre dois diferentes tipos de projeções da esfera no plano - Estereográfica e de Mercator. Para cada uma dessas projeções foram feitas comparações entre modos de caminhar sobre o globo terrestre: sobre a loxodromia (curva que mantém um ângulo constante com os meridianos) e sobre o maior arco (curva de menor distância). Apresentamos também a implementação computacional desses estudos, onde foram feitos programas em Matlab, de maneira a visualizar esses caminhos na esfera (globo terrestre) sobres as duas diferentes projeções citadas. Estudamos ainda os fundamentos de GPS (Global Positioning System), analisando como as informações dos satélites determinam a posição do indivíduo no globo terrestre. Foi desenvolvido um programa que simula o funcionamento do GPS de maneira a verificarmos a sua eficácia. Posteriormente, analisamos algumas modificações ao sistema original de maneira a melhorar a precisão. São elas o Serviço de Posicionamento Preciso (PPS em inglês) e o GPS Diferencial.

GPS - Mercator - Localização Terrestre

MODELOS DO UNIVERSO

Melissa Tancredi Zanettini e Prof. Dr. Yuri Dimitrov Bozhkov (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Na primeira parte do projeto etudamos vários modelos cosmológicos desde a antiquidade até a atualidade. Em particular, fizemos um apanhado histórico do surgimento da Teoria do Big-Bang que se originou com base em trabalhos de Einstein, Friedman, Lemaitre. Dando prosseguimento ao projeto estudaremos a geometria do Espaço-Tempo de Minkowski, abordaremos alguns elementos da Teoria Especial da Relatividade e, em seguida, tópicos da Teoria Geral da Relatividade.

Teoria do Big-Bang - Lei di Hubble - Equações de Einsten

EXPLORAÇAO DE REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

Paula Peixoto Olivetti (Bolsista SAE/UNICAMP) e Profa. Dra. Margarida Pinheiro Mello (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A teoria de Redes Neurais Artificiais, apesar de sua relativa juventude, conta com inúmeras aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento, do processamento de sinais à medicina. Profissionais com formação nas mais diversas áreas foram responsáveis pelo desenvolvimento inicial da pesquisa em redes Redes Neurais Artificiais, criando modelos e algoritmos inspirados em analogias com processos biológicos. As Redes Neurais Artificiais costumam ser vistas como ferramenta de aproximação universal, que permite fazer inferências sobre o comportamento de uma entidade sem que para tanto seja necessário decifrar a lógica, as razões e o mecanismo responsável pelo seu comportamento. Neste trabalho, a partir da literatura, foi realizada uma pesquisa introdutória de Redes Neurais Artificiais e um estudo bem detalhado dos algoritmos para a fase de treinamento da rede neural, como Hebb, Perceptron, Adaline, Madaline, Backpropagation e Hopfield. Desses algoritmos, apenas os considerados mais importantes foram programados, utilizando o software Mathematica. Comparou-se redes cujos parâmetros foram obtidos pelos algoritmos de treinamento típicos desta área, com redes cujos parâmetros foram calculados por outros métodos. Por fim, realizaram-se diversas simulações envolvendo aplicações comparando-se a eficácia da rede neural com outros métodos matemáticos.

Redes - Neurais - Artificiais

MODELAGEM DE AEROFÓLIOS BIDIMENSIONAIS

Pedro Francisco Maciel Neto (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Vera Lúcia Xavier Figueiredo (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Este trabalho procura interagir Dinâmica dos Fluídos com a teoria das Variáveis Complexas visando aplicações à Aerodinâmica, em particular na modelagem de aerofólios bidimensionais. Apresenta uma pequena introdução aos conceitos de sustentação, ângulo de ataque e as leis de movimento de Newton para o entendimento do vôo de aviões. Investiga a geometria de perfis de asas por meio de enfoques experimentais e analíticos e explora movimentos bidimensionais de fluídos “perfeitos”. Explora os principais conceitos envolvidos por meio de um enfoque computacional com o pacote analítico e gráfico Mathematica. Curvas de Bezier permitiram resgatar e desenhar vários perfis de aerofólios a partir de um conjunto de pontos fornecidos pela NACA (National Adivisory Commitee for Aeronautics). Transformações de Nicolai Joukowski (1847-1921) possibilitaram criar e estudar, a partir de círculos, a geometria de aerofólios bidimensionais. A ligação entre a teoria das funções analíticas e escoamentos de fluídos inspirou simulações, por meio de animações, de alguns efeitos físicos de fluxos ao redor de aerofólios de Joukowski, a partir de escoamentos em volta de cilindros circulares. O tratamento computacional, aliado à teoria dos aerofólios bidimensionais, favoreceu a compreensão dos principais conceitos estudados.

Aerofólios - Joukowski - Animações Gráficas

APLICAÇÕES EM ÁLGEBRA LINEAR IMPLEMENTADAS COMPUTACIONALMENTE

Rafael Rodrigues da Silva (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Claudina Izepe Rodrigues (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O projeto desenvolvido teve como metas principais o estudo e subseqüente implementação computacional dos mais diversos tipos de aplicações práticas em Álgebra Linear. Antes do início do período efetivo da bolsa foi desenvolvido um estudo pormenorizado da Álgebra Linear assistido pela orientadora já focando as aplicações que viriam a ser trabalhadas posteriormente. No desenvolvimento do trabalho com essas aplicações foi enfatizado o uso de programas como MATLAB e MATHEMATICA, bem como o uso da calculadora HP48G para implementar a resolução dos variados requisitos algébricos presentes nos diferentes temas abordados; parte essa, que torna o trabalho com as aplicações diferenciado dos tradicionais. A parte computacional do projeto serviu não só para uma resolução mais rápida e efetiva dos problemas impostos pela parte prática da Álgebra, como também para a parte teórica da mesma, uma vez que os softwares e a calculadora usados operam com matrizes e conceitos algébricos de maneira simplificada, eficiente e muito rápida, sendo que por vezes possibilita desenvolvimentos inviáveis sem o uso desses meios, além de permitir graus mais elevados de precisão em cálculos iterativos ou que exijam discretização mais refinada.

Álgebra Linear - Aplicações - Implementação

A FUNÇÃO DE GREEN UNIDIMENSIONAL

Rodolfo Valentim da Costa Lima (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Através do método de Sturm-Liouville calculamos a função de Green e os níveis de energia para uma partícula submetida a um potencial unidimensinal, associada à equação de Schrödinger independente do tempo. A equação de Schrödinger é uma equação diferencial que provém da física quântica e permite o estudo de sistemas microscópicos. Por se tratar de uma equação diferencial, podemos estudar, do ponto de vista matemático, suas soluções, singularidades, estabilidade de soluções e métodos (de solução) aproximativos, onde é de fundamental importância o conhecimento da função de Green associada ao problema. Para sistemas quânticos, onde o potencial é conhecido e independe da velocidade podem ser representados por equações de Schrödinger independentes do tempo (isto é, a parte espacial), que são equações diferenciais lineares, ordinárias de segunda ordem e homogênea. Para este tipo de equação ordinária, a teoria de Sturm-Liouville prevê a existência e a forma da função de Green para o problema, de onde é obtida a partir de duas soluções linearmente independentes da equação homogênea associada, onde cada uma das soluções é regular num extremo do intervalo [a,b]. Como aplicações, calculamos a função de Green e os níveis de energia para uma partícula sujeita a potenciais do tipo: oscilador harmônico na presença de um campo elétrico uniforme, potencial isotônico e um potencial tipo Morse, sendo todas elas expressas em termos das funções hipergeométricas confluentes e/ou funções de Whittaker.

Equação de Schrödinger - Método de Sturm-Liouville - Função de Green

COMPARAÇÃO DE MODELOS PARAMÉTRICOS E NÃO-PARAMÉTRICOS PARA ESTIMAÇÃO DE VOLATILIDADE

Tatiana Andréa Benaglia (Bolsista FAPESP) e Prof. Dr. Aluísio de Souza Pinheiro (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Neste trabalho, fazem-se comparações entre métodos não-paramétricos e paramétricos para o estudo da volatilidade. Como método paramétrico de predição da volatilidade, utiliza-se um AR(1)-SV, com resultados já existentes na literatura. As alternativas não-paramétricas apresentadas são a de predição da volatilidade por estimação da função de regressão via: (i) funções-núcleo e (ii) ondaletas. Para estimação da curva de volatilidade, são utilizadas funções-núcleo e ondaletas. São realizadas simulações de séries, com e sem valores extremos. São simulados modelos paramétricos de volatilidade estocástica bem como modelos de volatilidade não-paramétricos. Duas séries reais também são utilizadas para as comparações. O desempenho relativo dos estimadores é representado pelos Erros Quadráticos Médios, Erros Quadráticos Médios Integrados e sua capacidade de identificar os valores aberrantes.

Volatilidade - Funções-núcleo - Ondaletas

APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS ATRAVÉS DE PONTO FIXO

Túlio Costa Rizuti da Rocha (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Maria Sueli Marconi Roversi (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Alguns problemas práticos de diversas áreas como equações diferenciais ou equações integrais, podem ser inseridos no contexto dos espaços de Banach, de modo que as suas soluções caracterizam-se como pontos fixos de funções auxiliares, definidas a partir das próprias condições iniciais destes problemas. Tais espaços devem estar munidos de uma distância d e as funções devem verificar a seguinte condição: d ( T(x), T(y) )  k d (x , y), para todo x e y no espaço, onde k < 1 é uma constante real positiva. Geometricamente, as imagens de x e de y estão mais próximas entre si do que os pontos x e y. O teorema do ponto fixo garante a existência de um ponto z tal que T(z) = z, através de um processo construtivo partindo de um elemento x_o e determinando sucessivamente x _n+1 = T (x _n) para n 1. O ponto fixo será o valor de convergência da seqüência construída. Este método iterativo possibilita construir melhores aproximações para o ponto fixo e obter estimativas de erro. Um exemplo ilustrativo consiste em determinar a existência e unicidade de solução da equação integral . O espaço de Banach será o espaço C^*( [ 0,  );R ) das funções reais contínuas e limitadas em [ 0,  ) e a função auxiliar para a qual a constante k vale . A solução da referida equação será dada pelo ponto fixo da função T.

Aproximação - Ponto Fixo - Método Iterativo