1. Determinant

2.2. Determinantning xossalari

• 2.2.1-teorema. bo‘lganda (2.1.1) n-tartibli determinant uchun
• (2.2.1)
• munosabatlar o‘rinlidir. Bu yerda - (2.1.1) n-tartibli determinantning qiymati, Aij esa aij elementining algebraik to‘ldiruvchisidir.

Isbot. (2.2.1) ning birinchi munosabati i=1 bo‘lgan hol uchun to‘g‘ri ekanligi n-tartibli determinant qiymatining (2.1.3) ta’rifidan kelib chiqadi. Qolganlarini matematik induksiya usuli bilan ko‘rsatamiz. Avvalo, (2.2.1) ning birinchi munosabati (2.1.1) n-tartibli determinantning i-satri bo‘yicha, ikkinchisi esa j-ustuni bo‘yicha yoyilmasi deb atalishini aytamiz.

• Isbot. (2.2.1) ning birinchi munosabati i=1 bo‘lgan hol uchun to‘g‘ri ekanligi n-tartibli determinant qiymatining (2.1.3) ta’rifidan kelib chiqadi. Qolganlarini matematik induksiya usuli bilan ko‘rsatamiz. Avvalo, (2.2.1) ning birinchi munosabati (2.1.1) n-tartibli determinantning i-satri bo‘yicha, ikkinchisi esa j-ustuni bo‘yicha yoyilmasi deb atalishini aytamiz.

n=2 uchun (2.2.1) o‘rinli ekanligini ko‘rsatish osondir. Masalan, ikkinchi ustun bo‘yicha yoyilmani olsak,

• n=2 uchun (2.2.1) o‘rinli ekanligini ko‘rsatish osondir. Masalan, ikkinchi ustun bo‘yicha yoyilmani olsak,
• Qolganlari ham xuddi shunga o‘xshash ko‘rsatiladi.

Endi, (2.2.1) n-1 uchun to‘g‘ri deb uni n uchun ham to‘g‘ri bo‘lishini ko‘rsataylik. Yuqorida aytganimizdek,

• Endi, (2.2.1) n-1 uchun to‘g‘ri deb uni n uchun ham to‘g‘ri bo‘lishini ko‘rsataylik. Yuqorida aytganimizdek,
• ekanligi n-tartibli determinant qiymatining (2.1.3) ta’rifidan kelib chiqadi.
• bo‘lganda yordamchi (n-2)-tartibli minor tushchasini kiritamiz. (2.1.1)

n-tartibli determinant aij va amk (im , jk) elementlariga mos (n-2)-tartibli minor deb determinantning i- va m-satrlarini hamda j- va k-ustunlarini o‘chirishdan hosil qilingan (n-2)-tartibli determinantga aytamiz va Mijmk kabi belgilaymiz (Mijmk= Mmkij ekanligi ravshandir).

• n-tartibli determinant aij va amk (im , jk) elementlariga mos (n-2)-tartibli minor deb determinantning i- va m-satrlarini hamda j- va k-ustunlarini o‘chirishdan hosil qilingan (n-2)-tartibli determinantga aytamiz va Mijmk kabi belgilaymiz (Mijmk= Mmkij ekanligi ravshandir).
• Endi, i-satr bo‘yicha determinant yoyilmasini qaraylik: