1. Determinant

Endi, i-satr bo‘yicha determinant yoyilmasini qaraylik:

• Endi, i-satr bo‘yicha determinant yoyilmasini qaraylik:
• Bu yerda (2.1.1) n-tartibli determinant elementining
• (n-1)- tartibli minori ekanligidan, u (n-1)-tartibli determinant bo‘lib, yuqoridagi farazga ko‘ra, uning uchun (2.2.1) munosabatlar o‘rinlidir. 2in bo‘lganda
• ning birinchi satri bo‘yicha yoyilmasi

• bo‘lib, bu yerda esa Hevisaydning birlik funksiyasidir:
• Demak,

• ya’ni ni olamiz. Bu satrlar bo‘yicha yoyilmalar uchun (2.2.1) ning isbotidir.

Ustun bo‘yicha yoyilmani olsak, bo‘lganda, xuddi yuqoridagiga o‘xshash,

• Ustun bo‘yicha yoyilmani olsak, bo‘lganda, xuddi yuqoridagiga o‘xshash,
• ekanligini ko‘rsatish mumkin (buni o‘quvchining o‘ziga qoldiramiz).
• Endi, ekanligini ko‘rsatish kifoyadir.

• Teorema isbotlandi.
• (2.2.1) yordamida (2.1.1) n-tartibli determinantning quyidagi xossalarini isbotlash mumkin.

10. Determinantning barcha satrlarini mos

• 10. Determinantning barcha satrlarini mos
• ustunlar qilib yozish (determinantni transponirlash) uning qiymatini o‘zgartirmaydi.
• 20. bo‘lganda determinantning ikkita satrlarining (ustunlarining) o‘rinlari o‘zaro almashtirilsa, uning qiymati qarama-qarshisiga o‘zgaradi.
• 30. bo‘lganda ikkita bir xil satrlarga (ustunlarga) ega bo‘lgan determinant qiymati nolga tengdir.
• 40. Biror satridagi (ustunidagi) barcha elementlari nolga teng bo‘lgan determinant qiymati nolga tengdir.

50. Biror satridagi (ustunidagi) barcha elementlari bir xil ko‘paytuvchiga ega bo‘lsa, bu ko‘paytuvchini determinant tashqarisiga chiqarish mumkin, va aksincha, determinantni biror songa ko‘paytirish uchun uning biror satridagi (ustunidagi) barcha elementlarini shu songa ko‘paytirish kifoyadir.

• 50. Biror satridagi (ustunidagi) barcha elementlari bir xil ko‘paytuvchiga ega bo‘lsa, bu ko‘paytuvchini determinant tashqarisiga chiqarish mumkin, va aksincha, determinantni biror songa ko‘paytirish uchun uning biror satridagi (ustunidagi) barcha elementlarini shu songa ko‘paytirish kifoyadir.
• 60. Proportsional satrlarga (ustunlarga) ega bo‘lgan determinant qiymati nolga tengdir.