1. Topologik fazolar. Ta’rif

Ta’rif. Agar topologik fazoda berilgan to’plamni kesishmaydigan 2 ta bo’sh bo’lmagan to’plamlar yiғindisi ko’rinishida ifodalash mumkin bo’lmasa, u ҳolda to’plamga boғlamli to’plam deyiladi.
1 – topshiriқ.
1. to’plamda aniқlangan ixtiyoriy topologiyalar kesishmasi da aniқlangan topologiya bo’lishini isbotlang.

2. to’plamda aniқlangan topologiyalar birlashmasi da topologiya bo’la olmasligini ko’rsating. (Agar to’plam kamida ikkita nuқtadan iborat bo’lsa)

3. – ҳaқiқiy sonlar to’plami bo’lib, unda odatdagi topologiya aniқlangan bo’lsin. Bu topologiya tartibli topologiya bilan ustma – ust tushishini isbotlang.

(Tartibli topologiya ochiқ to’plamlar sistemasi sifatida va ko’rinishdagi to’plamlardan iborat topologiya)

4. to’plam topologik fazoda zich bo’lgan to’plam bo’lsin, u ҳolda istalgan ochiқ to’plam uchun munosabat o’rinli bo’lishini ko’rsating.

5. topologik fazo uchun istalgan elementga mos ravishda bu nuқtani atroflari oilasini orқali belgilaymiz, u ҳolda қuyidagi tasdiқlarni isbotlang.

1. 
   Agar bo’lsa, u ҳolda ;
   
2. 
   Agar bo’lsa, u ҳolda ;
   
3. 
   Agar va bo’lsa, u ҳolda ;
   
4. 
   Agar bo’lsa, shunday element topilib, va istalgan uchun ( – uzining istalgan nuқtasi uchun atrof bo’ladi).
   

6. 5 – misolda aniқlangan funkstiya istalgan elementga biror oilani mos қo’ysin va 1), 2), 3) shartlarni қanoatlantirsin, u ҳolda atroflar oilasi da aniқlangan biror topologiya bo’lishini ko’rsating.
7. Topologik fazo – fazo deyiladi, agar uning yagona nuқtaga ega ixtiyoriy қism to’plami yopiқ to’plam bo’lsa.
Istalgan to’plam uchun shunday eng kichik topologiya mavjud bo’lib – fazo bo’lishini ko’rsating.
8. Agar to’plam cheksiz to’plam bo’lib, eng kichik topologiya bo’lsin. u ҳolda – fazo bo’lishini ko’rsating.
9. – fazo bo’lsin, u ҳolda bu fazoni istalgan қismini limit nuқtalari to’plami yopiқ to’plam bo’lishini ko’rsating.
10. – boғlamli topologik fazo bo’lib, uni boғlamli қismi bo’lsin. Agar bo’lib, A va V lar ajratilgan to’plamlar bo’lsa, u ҳolda to’plamni boғlamli ekanini ko’rsating.
11. va topologik fazolar berilgan bo’lsin. akslantirish nuқtada uzluksiz deyiladi, agar nuқtani ixtiyoriy atrofi uchun nuқtaning shunday atrofi topilib, munosabat bajarilsa.
akslantirish uzluksiz bo’lishi uchun dan olingan ixtiyoriy ochiқ to’plamning asli fazoning ochiқ to’plamidan iborat bo’lishi zarur va etarli ekanini isbotlang.
12. Topologik fazoni kompakt қismi to’plami yopiқ to’plam bo’lishini ko’rsating.
13. Kompakt to’plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi kompakt to’plam bo’lishini ko’rsating.
14. topologik fazoning kompakt қismi bo’lgan to’plamni yopiқ қism to’plami yana kompakt to’plam bo’ladimi?
15. 3 ta elementdan tashkil topgan fazoda topologiya kuring.
16. Boғlamli to’plamning yopilmasi boғlamli bo’lishini ko’rsating.