Abdullayev f. S., Mahkamov q. X

<^p! ^dp⁺(i/ ⁺(XpJ²⁰?^- (a^+a°)⁺=<sup>0

+</sup> °*p

= 0

7. 
   Yassi kuchlangan va yassi dej'ormatsiyalangan
   holatlar («yassi masalo)
   

Yassi kuchlangan va yassi deformatsiyalangan holatlar
quyidagi xususiyatlari bilan ta'riflanadilar:

1. 
   Knchlanishlarning barcha tarkibiy qismlari hammasi uchun
   umumiy koordinatlardan biriga bog'liq emas va koordinat
   o'zgarganda o'zgarmas bo'lib qoladilar.
   
2. 
   Bu koordinat o'qiga normal tekisliklarda:
   

1. 
   urinma kuchlanishlarining tarkibiy qismlari nolga teng;
   
2. 
   normal kuchlanish yoki nolga teng (yassi kuchlangan
   holat), yoki kattaligi bo'yicha o'zgarmas va boshqa ikki normal
   kuchlanishni yarim yig'indisiga teng (yassi deformatsiyalangan
   holat).
   

Yuqorida aytilgan o’q sifatida u o'qini qabul qilamiz.
llgarigilaridan aniqki, bu o’q bosh bo'ladi. U holda o_x ,o_z va x_xz =
^Txz u, t_xu = t_xu ga bog'liq emas, detnak t _ux = x_uz nolga teng. Yassi
kuchlangan holat uchun 0^=0.
Yassi deformatsiyalangan holat uchun o_i;= (ct + o_z) / 2
(Yassi deformatsiyalangan holatning bu xususiyati keyin
isbot qilinadi).
Shunday ekan, yassi kuchlangan holat uchun kuchlanish:
^xz
t_xz va o_u =0.
Yassi deformatsiyalangan holat uchun:
°x ^Txz
T_xz CF_Z ^Va = (^x+^z) ^{Z 2}-
Yassi kuchlangan va yassi deformatsiyalangan holatlar
orasidagi muhim farqni doimo hisobga olish lozim. Birinchisida
uchinchi o’q yo’nalishida normal kuchlanish yo’q, ammo
deformatsiya bor, ikkinchisida esa normal kuchlanish bor,
deformatsiya esa yo’q.
Z

31. 
    rasm. Yassi kuchlangan holatdagi plastina
    

Plastina konturiga, uning tekisligi parallel qilib qo'yilgan va
balandligi (qalinligi) bo’yicha bir tekis taqsimlangan kuchlar ta’siri
ostida bo'lgan plastinada yassi kuchlangan holat bo’ladi (31-rasm).
Bu holda plastina balandligini o'zgarishining ahamiyati yo'q,
va uning balandligi birlik sifatida qabul qilinishi mumkin. Taxta
(list) materialdan silindrik xom ashyo tortib olishda flanesni
kuchlangan holatini yetarlicha aniqlik bilan yassi deb hisoblash
mumkin.
Katta uzunlikka ega silindrik (bu atamani umumiy
ma'nosida) yoki prizmatik jismni, agar jism uning uzunligi
bo'yicha o'zgarmaydigan va tashkil etuvchisiga perpendikulyar
yo'nalgan kuchlar bilan yuklangan bo'lsa, uning uchlaridan
uzoqlashgan uchastkalari uchun yassi deformatsiyalangan holat
qabul qilinishi mumkin. Masalan, qalinligi yo'nalishida
cho'ktirishga duchor qilingan to'sinni, uzunlik bo'yicha
defomiatsiyalarni e'tiborga olinmasa, yassi deformatsiyalangan
holatda deb hisoblash mumkin.
Kuchlangan holatning barcha tenglamalari yassi masala
uchun ancha soddalashadi, shuncha o'zgaruvchilar soni ham
qisqaradi.
Yassa kuchlangan holat uchun tenglamani, hajmiy
kuchlangan holat uchun ilgari olingandan T_xy = x_yx = r_zy = r_yz = 0
va a_u =0, chunki faqat u o'qiga parallel qiya maydonchalarni
ko'rib chiqish mumkin ekanligini hisobga olib keltirib chiqaramiz.
Ko'rilayotgan holda a_x² + a? = 1, ya'ni a/ = 1 - a/
ekanini eslatamiz.

31. 
    rasm. Qiya maydonchani belgilanish sxemasi
    

Qiya maydonchaga normal va x o'qi orasidagi burchakni
(32-rasm)
a_x =cos
z² = 1 - cos²
bundan a_z = sincp.

31. 
    rasm.. Qiya maydonchadagi kuchlanishlar.
    

Yuqorida aytilganlarni hisobga olib, hajmiy kuchlangan
holatning mos keluvchi ifodalariga bevosita o'miga qo'yishlar
yo'li bilan, koordinat o'qlari bo'yicha qiya maydonchalardagi
kuchlanishlar tarkibiy qismlarini (2.3) tenglamadan hosil qilamiz:
S_x = o_xcos(p + T_x2sin
S_z = Tx^coscp + o_xsin
bosh o'qlarda esa:
Sj = acosp
S3 = a₃sin9 (2.36a)
Qiya maydonchadagi to'liq kuchlanish (2.4) tenglamadan:
S₂ = a_x²cos²(p + a_z²sin²(p + (q_x + a_z)T_xzsin 2
t_X7², (2.37)
bosh o’qlarda esa:
S₂ = a,²cos²(p + cy₃²sin²
Qiya maydonchadagi normal kuchlanish (2.5a) tenglamadan:
a₁₂ = cr_xcos²(p + cr_zsin²
xzsin2(p (2.38)
bosh o’qlarga esa:
a_n = a,cos²(p + a₃sin²(p (2.38a)
Qiya maydonchadagi urinma kuchlanishlar (2.6)
tenglamadan:
t = ±[(l/2)(a_z - a_x) sin 2(p + t_xzcos 2cp], (2.39)
bosh o'qlarda esa
t = ±(l/2)(a₃ - O|) sin 2(p, (2.39a)
sin 2(p = 1 bo'lganda, ya'ni cp = 45° da t maksimumga
erishishi (2.39a) ifodadan oson ko'rinadi.
t₃₁ = ±(1/2)(g₃ - a,) (2.40)
Shuning uchun (2.39a) ifodani bunday qayta yozish mumkin:
t = t₃| sin 2(p (2.39b)
Ixtiyoriy o’qlardagi kuchlanishlar tarkibiy qismlarini bilib
turib, yassi masalada bosh o'qlar holatini va bosh normal
kuchlanishlarni aniqlash oson.
(2.39) tenglamada t ni nolga tenglab olib, bosh o’qlardan
birining holatini olamiz; bosh maydonchada urinma kuchlanishlar
bo'lmaganidan:
(l/2)(a_z - a_x) sin 2tp + t_xz cos 2(p = 0,
bundan
(p =(l/2)arctg(2T_xz/(a_x - a_z)), (2.41)
Bosh kuchlanishlar kattaligini (2.13) tenglamadan foydalanib,
ixtiyoriy o’qlardagi tarkibiy qismlar orqali ifodalash mumkin.
Bundan ushbuni olamiz:
bundan
q² - (a_x + a_z)a + a a_z - t_xz² = 0
a = (a_x + a_z) / 2 ± (1 / 2)-J(a_x -a_z)² + 4t_xz²
ya’ni
Cj = (a_x + a_z) / 2 + (1 / 2)7(o_x ~ s_z)² + 4t_xz² ,
&3 = (<\ + cr_z) / 2 - (1 / 2)7(x -g_z)² + 4t_xz².
Bunda yassi kuchlangan holat uchun
a, = 0.
Yassi deformatsiyalangan holat uchun
a, = (O|+o₃) /2
Bosh o’qlardagi kuchlangan holatni bilib turib, har qanday
ixtiyoriy koordinat o’qiga o’tish oson.
Yangi koordinat o’qi x o’q / bilan
etadigan bo'lsin, unda, uni qiya maydonchaga norrnal sifatida
qarab, (2.38a) tenglama bo’yicha oxirgisi uchun ushbuga egamiz:
cy_p= o, sos² (p + o₃ sin²
Ammo x o’qi uchun a_p kuchlanish a_x kuchlanish bo’lib
hisoblanadi, ya'ni a_x = a^ cos² (p + a₃ sin² (p.
Bu ifodani bunday o'zgartirish mumkin:
a_x = a, ((1+ cos² (p)/2) a₃ ((1- sin² (p)/2)
a_x = ((1+ cos² (p)/2) a₃ ((a,+a₃)/2) sin² (p.
O'rtacha kuchlanishlarni a_{o r} orqali belgilab, ya’ni
(a_x + a_z)/2 = ((?! + a₃)/2 = a_or va (2.40) tenglamani
inobatga olib, ushbuga ega bo’lamiz:
Q_x = + x₃₎ COS 2(p.
Yangi r o’qi 1 o’qqa ((p + 90°) burchakka qiyalangan;
demak, avvalgi tenglamada ni ((p = 90°) ga almashtirib, ushbuni
olamiz:
a_z = ((Oj + a₃)/2) - ((a, - a₃)/2) cos 2(p.
Yoki a_z = a_{o r} - t_3i cos 2(p.
txz kuchlanish (2.39) ifodadan aniqlanadi
t_xz = ±(l/2)(a₃- a,) sin 2(p.
Natijada o’zgartirish formulalari deb nomlanadigan,
kuchlanish tarkibiy qismlarini (p burchak funksiyasida
ifodalovchilarni olamiz:
a_x ~ ((°i ⁺ a₃)/2) + ((a_t - a₃)/2) cos 2(p;


(2.43)
a_z = ((3)/2) - ((<5, - g₃)/2) cos 2cp;
^Txz = ±((°i - °₃)/2) sin 2cp.
Yoki cr_x = o_{o r} + t₃₁ cos 2
cr_z = ^ao r ■ ^T3i ^cos 2cp; (2.43a)
t_xz = t₃₁ sin 2cp.



dx

xz
Yassi masala uchun (2.34) tenglamadan, u bo'yicha barcha
hosilalar nolga tengligini hisobga olib, muvozanat differensial
tenglamasini olamiz:

(2.44)





zx

6x

+ —-
dz

= 0.

Yassi kuchlangan holatga tegishli turli masalalarni yechishda,
ba’zan to’g’ri burchakni o’rniga qutb koordinatlaridan foydalanish
qulay bo’ladi. Bunda nuqtaning holati radius-vektor p va qutb
burchagi 0, ya’ni radius-vektor p o'qi bilan tashkil etgan burchak
bilan aniqlanadi.
Qutb koordinatlarida muvozanat shartlarini silindrik
koordinatlardagi o'sha shartlarning o'zidan olish oson. Bunda t_zo =
tq_z = ^Tzp = ^Tp_z = 0 g^a tenglab olinadi va z bo’yicha hosilalar nolga
tengligi hisobga olinadi:

^p
<3p
5p
1 l+v
(2.45)
Kuchlanishlar shuningdek 0 koordinatga ham bog’liq
bo’lgan hol yassi masalaning xususiy holi bo’ladi (o’qqa nisbatan
kuchlanishlarning taqsimlanishi simmetrik). Bu holda 0 bo'yicha
hosilalar va t_po, Te_p kuchlanishlar nolga aylanadi, muvozanat
shartlari esa bitta differensial tenglama bilan aniqlanadi:




(2.46)

0.

dp p

Ravshanki, o_p va
Bunday kuchlangan holatga silindrik jismni siqmasdan tortib
olishda flanesda ega bo'lamiz.

7. 
   Ko’chish komponentlari (tarkibiy qismlari) va
   deformatsiya komponentlari orasidagi bog’lanish
   

Ilgariroq deformatsiya haqidagi dastlabki tushunchalar berib
bo'lingan edi. Bu ycrda o’sha tushunchalar oydinlashtiriladi va
to'ldiriladi. Bunda shuni esda tutish lozimki, mos keluvchi
differensial bog'Ianishlarni olish bilan kichik deformatsiyalar
ko’rib chiqiladi. Har qanday plastik deformatsiya jarayonini har
bir ayni shu paytida ko’rib chiqish mumkin va qulay bo'lganidan
ular foydali bo'ladi.
Agar jism deformatsiyalansa, uning har bir nuqtasi o'zining
boshlang'ich holatidan siljiydi. Bunda jism muvozanatda bo'ladi
va butunlay joyidan ko’chish imkoniyatiga ega bo’lmasligi nazarda
tutiladi. Shunday qilib, har bir nuqtaning siljishi batamom
del'ormatsiya oqibatida ro’y beradi (ya’ni, qattiq ko’chish sodir
bo’lmaydi).
Nuqtaning koordinatlari dastlabki paytda x, y, z bo’lgan,
deformatsiyaning hozirgi paytida (dastlabkiga yaqin) x’, y’, z’
bo'lsin, u holda
x’ - x = U_x
y’ - y = u_y
z’ - z = U_z
U_x
u_y (2.47)
U_z
Ko’chishning koordinat o’qlariga proeksiyasidan iborat
bo'ladi, ya'ni nuqtaning ko’chish komponentlari bo'ladi.
Jismning turli nuqtalari uchun ko'chish komponentlari
turlicha bo’ladi va ular koordinatalarning uzluksiz funksiyasi
hisoblanadi.
Bundan kelib chiqadiki, jismda hayolan kesib olingan
elementar parallelopiped deformatsiyada faqat o’z holatini emas,
balki o’z shaklini ham o'zgartiradi. Umumiy holda parallelopiped
qirralari uzunligini o'zgartiradi, burchaklar esa to’g’ri bo'lmay
qoladi. Deformatsiyalar ikki turda bo'ladi: chiziqli (cho'zilish) va
burchakli (siljishlar). Bunda yuqori tartibli cheksiz kichik hadlarni
e'tiborga olmasdan, hisoblash mumkinki, burchakli deformatsiyalar
(siljishlar) chiziqli o’lchamlarga ta’sir etmaydi.
Nisbiy chiziqli deformatsiyalarni bundan keyin s orqali
belgilaymiz. Indekslarni xuddi kuchlanish o dagi kabi olamiz. Bu
yerda faqat kichik deformatsiyalar ko'rib chiqilayotgani uchun o
= 5 bo’ladi. Nisbiy siljishlarni y orqali belgilaymiz. Indekslarni
xuddi t kuchlanishlardagi kabi olamiz. Ikkita indeks buzilayotgan
deformatsiya burchagi proeksiyalanadigan koordinat tekisligini
ko’rsatadi. Bunda, nisbiy siljishlar, agar ularga tomonlari koordinat
o'qlarining musbat yo’nalishiga yo’naltirilgan burchakning
kamayishi mos kelsa, musbat hisoblanadi.
Aytilganlarni 34-rasm oydinlashtiradi.