Abdullayev f. S., Mahkamov q. X

T yy

Tyz

^CTyp

0

0

T_

T 0 — 1 = -^

a„

> — <

0

0

o

yx

y

yz

yp

T,y

T

(5

0

0

1. zy

zy

z

yp .

a - a

Tyy

T

X yp

yy

yz

— ,

T

a

— a,

T

‘ = D

yx

y

yp

yz

e

. ^Tzx

S

^Gz -

^Gyp J

yoki T_a = T° + D_o

(2.24)

D_a tenzor kuchlanishlar deviatori deb ataladi. Shunday

qilib, umumiy holda kuchlangan holat sharsimon tenzor va
kuchlanishlar deviatori yig'indisi bilan aniqlanadi.
Sharsimon tenzor jism shakli deformatsiyalarini keltirib
chiqara olmaydi va faqat hajm o'zgarishi - hajmiy deformatsiyani
beradi (elastik deformatsiyada). Kuchlanishlar deviatori esa
buning teskarisi, jism shaklini o'zgarishini oldindan belgilab
beradi.


(2.26)
Kuchlanishlar deviatori bosh diagonali bo'yicha tashkil
etuvchilar yig'indisi nolga teng ekani oson ko'rinadi.
(o_x -a_ur)+(a_u-e_ur)+(a_g-a_ur)=0

7. 
   Oktaedrik kuchlanishlar
   

Bosh o'qlarga bir xil egilgan maydonchalardagi kuchlanish
kattaligini topamiz.
Bu holda a ] + a \ + a 2 = 3a ² =1
Bundan a= ± l/V3
Bunday maydonehalar har bir oktantda bittadan, jami
sakkizta bo'ladi. Ular oktaedr shaklini tashkil etadi (23-rasm).
Shuning uchun ularni, shuningdek bu maydonchalarda ta'sir
etayotgan kuchlanishlami ham oktaedrik deb ataydilar.
To’liq oktaedrik kuchlanish, (2.9) tenglamaga ko'ra ushbuga
teng boTadi



s₀ = V^X^? + + <*?)

(2.27)

ya’ni, toTiq oktaedrik kuchlanishning kvadiati bosh kuchlanishlar
kvadratlari yig'indisining uchdan biriga teng.
Normal oktaedrik kuchlanish [(2.10) ga qarang]:
= (V3Xa₍ + o₂ + q₃) = (l/3Xa_xa_yn_r ) = o_yp (2.28)

Normal oktaedrik kuchlanish o’rtaga normal kuchlanishga

yoki kuchlanishlar tenzorining birinchi invariantini uchdan biriga
teng.
Urinma oktaedrik kuchlanishi (2.11) ifodadan aniqlanadi:
^To = (V3)(^ai ⁺ = (V⁹)(^o>^o2^ff3)^! yoki
Qavsiar ochilgandan so’ng
To = (2/9)(ct² + ct²2 + ct²3 - ct,ct₂ - ct₂ct₃ - ct₃ct, ), (2.29)
bundan
^To = ±0/3)^ - ct₂)² + (ct₂ - ct₃) + (ct₃ - CT,)² (2.30)
yoki urinma kuchlanishlar qiymati (2.20) hisobga olinib
^T0 = ±(2/3)7t?2 + ^t23 + ^T3i ■ (2.30a)
Shunday qilib, urinma oktaedrik kuchlanishlari, bosh normal
kuchlanishiar farqining kvadratlari yig’indisidan olingan kvadrat
ildizning uchdan biriga yoki bosh urinma kuchlanishlar kvadratlari
vig’indisidan olingan kvadrat ildizning uchdan ikkisiga teng.
Bosh normal kuchlanishlar orqali ifodalangan kuchlanishlar
tcnzorini birinchi invarianti (2.14) kvadratni olamiz.
i' = (CTjCToCT.,)' = ctJ" + ct₂ + ct₃ + 2ct,ct₂ + 2ct₂ct₃ + 2ct₃ct,(2.31)
va ikkinchi invariant (2.29) shuningdek bosh kuchlanishlarda:
i₂ = ct,ct₂ + ct₂ct₃ + ct₃ct, (2.32)
(2.31) va (2.32) tenglamalarni (2.29) tenglama bilan
taqqoslab ko’ramizki:
t₀ = (2/a)(i² -3i₂) (2.29a)
Bundan, oktaedrik urinma kuchlanishlarini, tasodifiy (bosh
emas) ortogonal maydonchalar bo’yicha ta'sir etayotgan
kuchlanishlarning tashkil etuvchilari orqali, kuchlanishlar
tenzorining birinchi va ikkinchi invariantlari uchun (2.14) va
(2.15) ifodalardan foydalanib, aniqlash imkoniyatini olamiz:
x²₀ = (2/a) [(a_xo_yo₂)² - 3(o_xa_y + a_ya₂ + o_zo_x - AyJX)].
0’zgartirishlardan so’ng ushbuni olamiz:
^To = ±0/3)^ ~n_y)² + (a_y -a_z)² +(a„ -a_x)² +6(r_xy² +r_yz² +r_zx²)
(2.30b)
Kuchlanish deviatori (2.24) ifodani hisobga olgan holda,
ikkinchi invarianti i₂ ni olamiz:
i₂ = (°x -%>)(^CTy )+(°y “°y_P ) ⁺ fe ~°yp R ~ ^yp ) ~ =
= -0/6)[k -°y)^{2 +}(°y -^Qz)² +k -^x)² +^xy +Sz +^Tzx)l
Bu yerdan, oktaedrik urinma kuchlanishlar kvadrati (2.30b)
kuchlanishlar deviatori ikkinchi invariantini teskari ishora bilan
olingan uchdan ikkisiga teng ekani ko'rinadi:

t; = -(2/3)i2	(2.29b)
t; = +V^(2/3)i2	(2.29v)

Oktaedrik urinma kuchlanishlar shuningdek urinma

kuchlanishlar jadalligi nomi bilan ham yuritiladi. Urinma
kuchlanishlar jadalligidan, kuchlanishlar jadalligi yoki
umumlashgan kuchlanishni farqlash kerak. U quyidagicha
ifodalanadi:

Bu tushunchalarning alohida muhimligi sababli yana bir
marta keltirilgan kattaliklarning qiymatlarini taqqoslaymiz. Buning
uchun quyidagi ifodani A bilan belgilab olamiz:
-oj² + (a₂ - j + (ct₃ -o,)² =




ZX²)

2
y^z

= ~a_y)² +(o_y -a_z)² + (cr_z -oj _{+ 6(t}X

U holda x₀ oktaedrik urinma kuchlanisblar yoki x urinma

kuchlanishlar jadalligi x_u = X =(1/3) A ko'rinishida ifodanalanadi.
Kuchlanishlar jadalligi O; = (l/V2]\
Bundan x = (l/-V/')tii_i
Nuqtaning kuchlangan holatini ko'rayotib, biz quyidagi
o'ziga xos maydonchalarga ega bo'lamiz. Ular orqali ushbular
o'tadi:

1. 
   bosh normal kuchlanishlar ta'sir etadigan, urinma
   kuchlanishlar bo'lmagan oltita bosh maydoncha;
   
2. 
   bosh urinma kuchlanishlar ta'sir etadigan o'n ikkita
   maydoncha;
   

v) kattaligi bo'yicha bir xil oktaedrik kuchlanishlar
ta'siridagi sakkizta maydoncha.
Shunday qilib, hammasi bo'lib 26 ta o'ziga xos
maydonchaga ega bo'lamiz.

7. 
   Muvozanat shartlari.
   

Kuchlar bilan yuklangan va muvozanatda bo'lgan jismdagi
kuchlanishlar kattaligi nuqtadan nuqtaga uzluksiz o'zgarib boradi,
ya'ni, kuchlanish koordinatning uzluksiz funksiyasi hisoblanadi.
Kuchlangan jismda qirralari koordinat tekisliklariga parallel
bo'lgan elementar j. 'iralletepiped (24-rasm) ajratamiz va uning
muvozanatini ta'minlovchi qanday shartlar mavjud ekanini
aniqlaymiz.
Koordinatlari x, y, z bo’lgan, kuchlangan nuqtalardan biri a
parallelepipedning avsd, adv'as’ va ac’d’b qirralari bilan
tasvirlansin. Ikkinchi nuqta a’ a dan cheksiz kichik masofada
turadi va bunga mos ravishda uning koordinatlari x+dx, u+du va
z+dz bo’ladi. Bu a’ nuqta parallelepipedning a’v’s’d’, a’d’bc va
a’sdb’ qirralari bilan tasvirlanadi. Parallelepiped qirralarining
o’lchamlari dx, dy, va dz bo'lishi tushunarli.
a nuqtaning holati kuchlanishlar tenzori bilan aniqlanadigan
bo'lsin.
< T T >
yx y yz
a’ nuqtadagi kuchlanish a nuqtadagi kuchlanishdan cheksiz
kichik miqdorlarga farq qiladi. Yuqori tartibli hadlarni e’tiborga
olmasdan, har bir kuchlanishning o'sishi o’sha berilgan
kuchlanishning ta'sir maydonchasi ko’chgan koordinata bo’yicha,
ya’ni kuchlanish manzilining indeksi orqali ko'rsatiladigan
koordinata bo’yicha xususiy differensial bilan ifodalanadi.
Unda a’ nuqta uchun kuchlanishlar tenzori ushbu ko'rinishda
bo'ladi:
(a_x) + (xy + (dc_xy / dy)dy)((dc_xz /dx)dz)
^Taa' = (^Tyx ⁺ (dtyx / 5x)dx)(a_y) + (So_y / 5y)dy)((dc_yz / 5z)dz)
(^Tzx + (^zx (3x)dx)(x_xy + (<7c_xy / ay)dy)(o_z, + (3a_z / 5z)dz)
Parallelepiped qirralari bo'yicha ta’sir etayotgan kuch,
kuchlanish manzili indeksi ko'rsatadigan, mos ravishdagi
qirralarning maydoniga ko’paytirilgan kuchlanishlarga teng bo’ladi.
Hamma kuchlarning koordinat o’qiga proeksiyalari
yig’indisini olib va bu yig'indilarni nolga tenglab, muvozanat
shartlaiini tuzamiz.
X o’qiga
(o_x) + (d3x / Scjdxjdydz- xdydz- x_xy + (d\_y / ^/d^dxdz- x_xydxdzb
(t_xz + (dc_xz / cZ)d7dxdy- Tx_Zdxdy= 0
Qavslarni ochib va dxdydz ga qisqartirib ushbuni olamiz:
da x / dx + dx xy / dy + dx x_Z / dz = 0

24-rasm. Kuchlangan jismdagi elementar parallelepiped.

u va z o'qlariga proeZsiyalar yig'indisini shuncha o'xshash
yozishimiz mumZin. Natijada ushbuni olamiz.

1.1.Metallarning tuzilishi. 6
7.2.Plastik deformatsiya haqida tushuncha 13
1.3.Monokristallning sovuq plastik deformatsiyasi mexanizmi. 15
1.4.Polikristallning sovuq plastik deformatsiyasi 24
7.5.Sovuq deformatsiyada mustahkamlanish 29
1.6.Mustahkamlanish egri chiziqlari 32
Fq/q _ F_o/₀ _ F_o /₀ + A/ /₀ (1 + e) 1 + e 34
l-t₀ 35
1.7.Deformatsiya temperaturasi va tezligini deformatsiyalash jarayoniga ta’siri 41
1.8.Metallarga bosim bilan ishlov berishdagi deformatsiyalarning turlari 50
1.9.Deformatsiyaga qarshilik va plastiklikka temperaturaning ta’siri 51
1.10.Deformatsiya tezligining plastiklik va deformatsiyalashga qarshilikka ta'siri 55
1-jadval. W tezlik koeffitsientining qiymatlari 58
2.1.Koordinat tekisliklaridagi kuchlanishlar 62
cy 65
2.2.Qiya maydonchadagi kuchlanishlar 65
2.3.Bosh normal kuchlanishlar 67
A² 67
2.4.Kuchlanishlar tenzori haqida tushuncha 69
+v_z =o> Vx +(^ ~°K ^+TyA =°; ^T:A ^+Tzy^ay ⁺ (A ~ 71
2.5.Kuchlanishlar ellipsoidi. 72
2.6.Bosh urinma kuchlanishlar 77
a j (a, + a₃ - 2csja ₍ - 2o₂a ₂ - 2a₃ + 2a₃a , + 2o₃a “) - 0. 78
a j = ±71 / 2 _; a₂=0; a ₃ = ±71 / 2 . 78
2.7.Oktaedrik kuchlanishlar 83
Bu holda a ] + a \ + a 2 = 3a ² =1 83
2.8.Muvozanat shartlari. 87
2.9.O’qqa simmetrik kuchlangan holat 92
QppdOdz + (o_p + jdpjp + dp)d0dz - cr_ed0dpdz - 96
^T_pzP^dedP ⁺ (^tpz ⁺ (^aTPz /5_z)dz)pd0dp = 0 96
- T_zppdOdz + \r_Zp + \\dcr_Zp/d_p)dp jp + dp)d0dz - a_zpdOdp + (a_z + (da_z /d_z )dz)pdOdp = 0 97
2.10.Yassi kuchlangan va yassi dej'ormatsiyalangan holatlar («yassi masalo) 99
q² - (a_x + a_z)a + a a_z - t_xz² = 0 a = (a_x + a_z) / 2 ± (1 / 2)-J(a_x -a_z)² + 4t_xz² 103
Cj = (a_x + a_z) / 2 + (1 / 2)7(o_x ~ s_z)² + 4t_xz² , &3 = (<\ + cr_z) / 2 - (1 / 2)7(x -g_z)² + 4t_xz². 104
dx 105
+ —- dz 105
0. 106
dp p 106
2.11.Ko’chish komponentlari (tarkibiy qismlari) va deformatsiya komponentlari orasidagi bog’lanish 106
u_vu =u_u +(du_u/ax)dx, 109
= (5u„/ax)/(i + au_x/ax). 109
dU_x dU 109
- -I - dy dx 109
Yxy = dJj/cy + dVjdx:, 110
s, K,/z Y_xz/z 111
+ = ^{0 c}. r,_x /z 111
^{00 £}x 111
2.12.Deformatsiyalar uzluksizligi 111
s _x = X / dx; 112
as_e /a_P = (s_p£_e)/_P (2.53) 113
2.13.Hajmning doimiylik sharti 113
1.14.Deformatsiya darajasi va siljigan hajm. 115
_s ^x? dx . , ,x„ 118
o_x = J — = In x = 118
X„ ^{X X}M 118
Ax 118
^XM 118
Ay 118
yn Az 118
yu 118
Z-M 118
^XH ^XH ^XM 118

Shunday qilib biz, hajmiy Zuchlangan holat uchun
muvozanatning differensial tenglamasini oldiZ.
Bu tenglamalar jismning hajm bo'yicha hamma nuqtalari
uchun qanoatlantirilgan bo'lishi kerak. Kuchlanish jism hajmi
bo'yicha o'zgaradi va sirtda ularning kattaligi jismga ta'sir
etayotgan tashqi kuchlarni muvozanatlaydigan bo'lishi kerak, ya'ni
sirt shartlarini yoki kontur shartlarini qanoatlantirishi lozim.

25-rasm. Jism sirtining elementar maydonchasi.

Jismning sirtiga chiqadigan cheksiz kichik elementidagi
kuchlanishlarni (2.3) tenglamadan foydalanib tashqi kuchlar bilan
bog'lash mumkin. Haqiqatan ham, umumiy holda jism sirtining
elementlar maydonchasini (25-rasm) elementar tetraedr qiya qirrasi
sifatida ko'rib chiqish mumkin.
Uchta muvozanat differensial tenglamalari oltita noma'lumni
o'z ichiga oladi (urinma kuchlanishlar jufti o'zaro teng ekanini
hisobga olib) va shuning uchun ularni yechish qo'shimcha
tenglamalar bo'lishini talab qiladi. Shunday qilib, masala statik
aniqlanmaydigan hisoblanadi.
Yetishmaydigan tenglamalar deformatsiyaning geometrik va
fizik shartlarini ko'rib chiqishdan olinadilar.

7. 
   O’qqa simmetrik kuchlangan holat
   

Metallarni bosim bilan ishlashda nihoyatda tez-tez
uchraydigan, hajmiy kuchlangan holatning ayrim hollaridan biri
o'qqa simmetrik kuchlangan holat hisoblanadi.
Bu turdagi kuchlangan holat dcganda uning o'qiga nisbatan
simmetrik taqsimlangan kuchlar qo’yiigan aylanish jismining
kuchlangan holati nazarda tutiladi.
Bunga silindrsimon dastlabki xom ashyoni cho'ktirish, uni
teshib chiqish, press ostida siqish, o’rash va boshqa operatsiyalar

26-rasm. Nuqtaning holat koordinatlari

O’qqa simmetrik kuchlangan holatni ko’rib chiqishda dekart

koordinatlari o’rniga silindrik koordinatlardan foydalanish
nihoyatda qulay. Bunda har qanday a nuqtaning holati 26-rasmda
tasvirlangandek p radius-vektor, p(x) o'qidan boshlab
hisoblanadigan, 0 qutb burchagi va z applikata bilan aniqlanadi.

27-rasmda ko'rsatilgan		kuchlanishlar		tenzori silindrik
koordinatlarda shunday yoziladi:
		^Tpe	V
To =■	^Tep	^0	^T0z
	^Tzp	^TZ0

Endi o’qqa simmetrik kuchlangan holatni bundan keyingi

ko’rib chiqishga qaytamiz.

27-rasm. Kuchlanishlar silindrik koordinatda belgilanishi.

28-rasm. O'qqa simmetrik kuchlangan holat

O’qqa simmetrik kuchlangan holatda (28-rasm)
kuchlanishlarni tarkibiy qismlari 0 koordinatga bog’liq emas,
demak bu koordinata bo'yicha barcha hosilalar muvozanat
differensial tenglamalarida nolga aylanadi.
Bundan tashqari, jismni simmetrikligi va tashqi yuklamaning
simmetriyasi oqibatida meridional tekisliklarda (z o’qi orqali
o'tadigan, ya’ni 0 tekisliklarda) urinma kuchlanishlar paydo bo’la
olmaydi, shuning uchun va urinma kuchlanishlar juftligi qonuni
bo’yicha
^Tp0 ^{= T}z0 ~ ^T0p ~ ^T0z ~ 0 •
Shunday ekan, cre kuchlanish doimo bosh bo’ladi, p o’qi
ega z tckisligida (ya'ni, z o’qiga normal) har qanday yo’nalishga
ega bo’lishi mumkin.
Shunday qilib, kuchlanishlar komponentlari (tarkibiy
qismlari) o’qqa simmetrik kuchlangan holatda shunday yoziladi:

Hammasi bo’lib uchta normal kuchlanish va ikkita o’zaro

teng urinma kuchlanishga egamiz. Bunda ao=a_z , ya’ni doimo
bosh hisoblanadi. Dekart koordinatlarda hajmiy kuchlangan holatni
ko'rib chiqishda ishlatilgan usulni qo’llab, silindrik koordinatlarda
o’qqa simmetrik kuchlangan holat uchun muvozanat differensial
tenglamalarini keltirib chiqaramiz.
Ta'sir etuvchi kuchlanishlar 29-rasmda ko’rsatilgan. Ilgari
aytilganidek p o’qi istalgan yo'nalishda o'tkazilishi mumkin. Bu
o’q 29-rasmda shunday o’tkazilganki, hisoblashlarga qulay bo'lishi
uchun, p₂ tekisligi ajratilgan elementar hajmning simmetriya
tekisligidir. Elementar maydonchalar yuzasi quyidagicha bo'ladi:
F_p=avsd yuza =pd0dz;
F(p+dp) =a'd's'v' yuza = (p+dp) d0dz;
Fe=a'd'sv yuza = dpdz;
F_z=a'cdv' yuza = ac'd'v yuza =pd0dp

29-rasm. O’qqa simmetrik kuchlangan holatda ta’sir etuvchi

kuchlanishlar
Hamma elementga ta’sir etayotgan kuchlarni p va z o’qlariga
proeksiyalab, muvozanat shartlarini yozamiz:

• 
  QppdOdz + (o_p + jdpjp + dp)d0dz - cr_ed0dpdz -
  
• 
  ^T_pzP^dedP ⁺ (^tpz ⁺ (^aTPz /5_z)dz)pd0dp = 0
  

(a)
- T_zppdOdz + \r_Zp + \\dcr_Zp/d_p)dp jp + dp)d0dz - a_zpdOdp +
(a_z + (da_z /d_z )dz)pdOdp = 0
(b)
Ba'zi o'qqa simmetrik masalalarni yechishda, bundan keyin
silindrik koordinatdan tashqari, sferik koordinatlarni uchratishga
to'g'ri keladi. Bunday tizimda nuqtaning holati (30-rasm) p radius
vektor va uning fazodagi holatini aniqlovchi ikkita burchak (0 va
9) bilan topiladi.

9 burchak z o'qidan boshlab hisoblanadi (geografik

kenglikka o'xshash), 0 burchak esa z o'qiga normal va O tizim
markazi orqali o'tuvchi tekislikdagi qandaydir o'qdan boshlab
hisoblanadi (geografik uzunlikka o'xshash).
Silindrik tizim uchun berilgan belgilashlardagi z indeksni,
indeks bilan almashtirib, sferik koordinatlardagi kuchlanishlarni
belgilanishini olamiz.
O'qqa simmetrik kuchlangan holatda, kuchlanishlar 0
koordinatga bog'liq emas, indeksida bu koordinata bo'lgan, urinma
kuchlanishlari esa ya'ni x_pe va t₉q nolga teng bo'ladi.
O'qiga simmetrik kuchlangan holat uchun sferik
koordinatlardagi muvozanat differensial tenglamasini keltirib
chiqarishsiz beramiz: