Azərbaycan miLLİ elmlər akademiyasi naxçivan böLMƏSİ

/

Onda

M  (г) >

 exp 

e

 J

dı

\

\

0 

У/ ^ 

(’)

c o n st

 

bərabərsizliyi

/

doğrudur.  Burada 

> 0  hər hansı sabit ədəddir.

(Müəyyən 

r

  ədədindən  başlayaraq 

M [ r ) = o o

  ola

bilər).

isbatı.

  (I)  tənliyinə  uyğun  olan  operatoru  müntəzəm  elliptik 

şəklə  gətirmək  üçün 

у  n  — a ( x

n)  əvəzləməsini  qəbul  edək.

Burada  y„ 

= a ( x

lt)  kəsilməz  diferensiallanan  və  monoton 

funksiyadır.  Onda alarıq:

Эи 

Эи

Э х

Э2 

и

Э ?

Э  и

  /  // 

\ \ 2

 

Эи

И * ,,))  +

э>'„ 

Эл-; 

Э у ]

  --------  

Э

Уи

Bu zaman (1) təıı Ну i aşağıdakı şəklə düşər:

»«-•1

' L aA x h

  д

i . H

 

"

Э

2

 u

 

,/  \  / 

,t

  \\2 

д 2и 

Эи

+ 

4 х „

) • (

ö

'(-v„ ))

+

ə^2 

Э y n

Л(хп) - а \ х п)=: (p{x,u)

Л ( х

п) • 

( a '( x n

 ))2  = 1  qəbul edək.

1 

x,i

Buradan 

a \ x „) = -= = =

  va ya  a(.v„)= y.„  = 

т г й  

Axırıncı  tənliyi aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

м - 1

Və ya

/  \  Ə “ 

U 

Э и

 

- / 

\  Э U 

/,/ 

\ 

/ 

\

L  a ij \х ) т ~ г ~ +

t t

+

Ä (x » h

—  ‘G  t a

)

=

u )  >

ı j i  

d x id x j 

°Уп

 

Э 

y n

v* 

/  \  Ə2

m

 

Э2и

 

1 

Эи  Л \ х п )

 

/ 

\

Йй 

Ə

Xjdxj 

Эуп 

2

 

Эу„^л(ха)

Xj

  = 

X

,-, 

1 < / < / ? - 1, 

х н

  = yn 

qəbul edək.

Onda (3) tənliyini aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

605

---

X'1 ~  /~\ 

1 

^

 (^л ) 

\

«-.7=1 

-  

)

* := U »........ -Vi > У. )

(

4

)

Beləliklə,  biz  уя =д(л:и)  əvəzləməsini  aparmaqla  (1)

tənliyini  (4)  şəklində  müntəzəm  elliptik  tənliyə  gətirmiş 

oluruq.  Bizə  məlumdur  ki,  (4)  şəklində  tənlik  üçün 

maksimum  prinsipi  və  böyümə  haqqında  lemmamn  hökmü 

doğrudur.  Aşağıdakı hallara baxaq.

a) Tutaq ki, 

x n  -

  j

dÇ

i

  Ш

)

inteqralı dağılır.

Bu  halda  baxılan  inteqralın  dağılan  olması  üçün 

Л(£) < ç

2

  • İn2 £ 

və 

x n

  —> +•*> 

şərtində 

x n

  = 

a ( x

n) —> +<*>

münasibətlərinin ödənməsi kafidir.

•v«  j t

b) Tutaq ki, 

x a = a { x n) =   \ ~ r S ^

  inteqralı yığılır.

Bu halda 

x n

  —» +°°  şərtində 

x n

  —> 

A <

 «>  olur.  Baxılan 

inteqralın 

yığılan 

olması 

üçün, 

məsələn, 

7 ( 0  >(ä

l l n a 4 \   a

 > 1 şərtinin  ödənməsi  kafidir.  Qeyd  edək 

ki,  teoremin  isbat  prosesi 

x n

  kəmiyyətinin  sonlu  və  sonsuz 

qiymət almasından asılı deyildir.  Mərkəzləri 

x

0

  e

  C n { l (l  = O} 

nöqtəsində  yerləşən  və  radiusları  uyğun  olaraq  8$jq(r0)  və

n

 1/2

и -1

V 1=1

M ( ro).  '

0

=  Z W 2 

olan 

B * M

  və  B £ (  , kürələrinə

/

baxaq.  Onda  maksimum  prinsipinə  görə, 

u ( x )

  funksiyası 

G

 П 

oblastının  qapayıcısında  maksimum  qiymətini  bu

kürənin  səthində  hər  hansı  nöqtədə  alır.  Bu  nöqtəni 

x i

  ilə 

işarə edlək. 

x x

  ardıcıllığını aşağıdakı qaydada quraq:

606

---

3c,+l nöqtəsi 

и ( х )

  funksiyasının  C r f l ^  (  >  oblastının

qapayıcısındakı

1/2

maksimum

nöqtədir,

burada

/

Г:  -

n~

 1

Z  (5, 

)\

• 

B l M n G

  çoxluğuna  böyümə  haqqında

V ı=l

lemmanın hökmünü tətbiq etsək, alarıq:

(l^ı 

(n

 ))

S

u

p

< ы лс

ı + s

(2r ı  (o) ) 'J  flä,uınG

• 

Sup  u ( x

),

Burada  £ > 0  

S

 

-dən asılı ədəddir.

/

P

 = İn

V

E

1

  +   -

2

-

V

qəbul  edək.  Onda

Sup  u ( x )  > e p

 •  iSwp  wfe) olur.

Й8к(-0)ПС

^,(„)ПС

Ona. görə də, alarıq:

М ( ) ) ) > е 1}  • M (г{_

j

).

1

Buradan 

M ( r k ) > ( e f i j

  -M(r0).  olur.  |< (r)|<  —  şərtmı  nəzərə 

alsaq, alarıq:  |^, (r) -   (ö |  < ^  f a ,  -  

f

))

Buradan 

(r) > 

y/x (r

.) -  ~  8 

-\f/x (r

.) -  

(ö)

1

Л

. + 1 

^

Ona görə də 

J

—

7 - 7

 

^ 8 

-if/

, (r.)

5

•k

Deməli,  |

dt

W\

 (0

A—1  'l+ı

: = Z

r , ( n )

= 40

l//,(0 

U

< ш

Tutaq  ki,  £ > 0   elə  ədəddir  ki,  £ - 4 0 < ^   bərabərsizliyi

doğrudur.  Onda alarıq:

r

к

J

r0

dt

ty\

 (0

i / 3 - k

607

---