Beleška o piscu

gudačkim  instrumentima,  pa  ih  primenili  na  prostorne  razdaljine  pla- 
netnog  sistema,  mislioci  i  naučnici  nalaze  se  u  opasnosti  da  prirodne 
činjenice  sabijaju  u  brojčane  sheme.  Frančesko  Sići  (Francesco  Sizi), 
firentinski  astronom  iz  sedamnaestog  veka  suprotstavlja  se  na  sledeći 
način  Galilejovom  otkriću  Jupiterovih  meseca:
»Covekova  glava  ima  sedam  prozora,  dve  nozdrve, dva  oka,  dva  uveta 
i  jedna  usta;  tako,  i  na  nebu  ima  dve  povoljne  zvezde,  dve  nepovoljne, 
dve  svetiljke,  i  samo  Merkur  neodlučen  i  neuvršćen.  Iz  toga  i  mnogih 
drugih  sličnih  prirodnih  pojava,  kao  što  su  sedam  metala  itd.,  koje  bi 
bilo  teško  nabrajati,  zaključujemo  da  broj  planeta  nužno  iznosi  sedam__
Sem  toga,  Jevreji  i  drugi  drevni  narodi,  kao  i  današnji  Evropljani 
prihvatili  su  podelu  nedelje  na  sedam  dana  i  nazvali  ih  prema  imenima 
sedam  planeta.  Ako  sada  povećamo  broj  planeta,  čitav  sistem  se  raspada.«
U  takvim  slučajevima,  um  ne  može  ili  nije  voljan  da  se  suoči 
sa  činjenicom  primarne  situacije  zato  što  model  čistih  količina  po­
stavlja  drukčije  zahteve.  Taj  model  privlači  um  svojom  elegantnom 
jednostavnošću.  On  je  doduše  vizuelan  i  opažajan,  ali  na  jednom  ide- 
alizovanom  nivou.
Brojevi  su  opažaj ne  celine,  vizuelne,  a  često  taktilne  i  auditivne. 
Ova  činjenica  je  od  odlučujuće  važnosti  za  nastavu  i  učenje  aritme­
tike.  Nastavnici  koji  ne  shvataju  da  brojevi  imaju  svoju  sopstvenu 
opažajnu  oblast  povezuju  aritmetiku  sa  »životnim  situacijama«  da  bi 
prevazišli  »apstraktnost«,  koja  je  tobože  toliko  teška  za  neobrazovan 
mozak.  Tako  se,  u  Specijalnoj  jedinici  za  obrazovanje,  koja  u  ame­
ričkoj  vojsci  postoji  za  regrute  sa  malo  škole,  »jedna izmišljena  ličnost, 
redov  Pit,  prati  kroz  njegovu  vojničku  karijeru,  pa  je  čitav  tečaj 
postavljen  na  fùnkcionalan  nivo.  Utvrđeno  je  da  će  ljudi  da  upamte 
mnogo  više  ako  im  se  kaže  da  jedan  čovek  ima  četiri  jabuke  a  drugi 
mu  da  još  četiri,  tako  da  prvi  čovek  ima  osam  jabuka,  a  ne  da  su 
4  +   4  jednako  8.«
Da  li  je  ovaj  metod  prihvatljiviji,  zavisi  od  toga  kako  bi  se 
drukčije  predavalo.  Ako  bi  se  inače  nastava  aritmetike  oslanjala 
prosto  na  govorne  glasove  i  pisane  brojčane  znakove,  koji  se  nabubaju 
i  kojima  se  izvode  nerazumljive  i  besmislene  operacije,  onda  će  reg­
ruti,  kao  i  svaki  drugi  razumni  ljudi,  zaista  sa  lakoćom  da  pozdrave 
svako  ukazivanje  na  razumljivu  životnu  situaciju.  Ali,  »praktični  pri- 
meri«  u  nastavi  aritmetike,  imaju  svoje  dve  strane.  Ovo  je  jasno 
istaknuto  u  nekim  novijim  istraživanjima  o  ovoj  temi.  Margerita  Ler 
(Marguerite  Lehr),  u  svom  uvodu  knjizi  Katarine  Stem  (Catherine 
Stern)  o  strukturalnoj  aritmetici,  odbija  da  prihvati  tvrđenje  da  je 
»stvarni  pojam  broja  ,đua‘  teža  apstrakcija  nego  ,crveno1  ili  ,stolica‘
Ona  dalje  kaže:
»Kada  se  čovek  toliko  uporno  trudio  da  se,  pomoću  tako  mnogo  ne­
adekvatnih  jezičkih  formi,  oslobodi  sputavajuće  veze:  dve  noge,  dva  ka­
mena,  kada  je  razmišljao  o  dva  lava,  o  paru  cipela,  prvom  čoveku,  drugom 
čoveku  i  na  kraju  prepoznao  dvojku  u  svom  njenom  bogatstvu  i  jedno­
stavnosti  sa  njenim  konotacijama  reda,  veličine,  forme  i  njenom  potpunom 
ravnodušnošću  prema  svemu:  dva  od  čega?  — zašto  bismo  namemo  puštali 
svoju  decu  da  počinju  kao  da  su  savremenici  onih  prvih  divljih  plemena?«
176

---

Tradicionalni  pristup  nastave  aritmetike  da  se  zadaci  iz  računa 
nakite  kao  situacije  iz  svakodnevnog  života  zamagljuje  činjenice  na 
koje  učenik  treba  da se  usredsredi.  Ali,  on  bar  ne  brka  oblast  prirode 
sa  oblašću  čistih  količina.  On  se  ograničava  na  situaciju  iz  svako­
dnevnog  života  i  prepušta  učeniku  da  otkriva  brojeve  skrivene  u  njoj 
a  da  zanemaruje  sve  drugo,  sem  brojeva.  Do  većih  teškoća  dolazi 
kada  se  oblast  prirode  i  podjednako  opažajna  oblast  kvantiteta  strpaju 
u  isti  koš.  To  dovodi  do  predstava  sastavljenih  od  neodgovarajućih 
elemenata,  koji  ometaju  jedan  drugog.  Na  primer,  prema  Projektu  za 
aritmetiku  Ilinojskog  univerziteta  u  SAD,  deca  moraju  da  uče  mate­
matiku  pomoću  »igara  sa  brojčanim  nizovima«.  Brojčani  niz  je  vodo­
ravna  decimalna  skala,  nacrtana  na  hartiji  i  obeležena  brojevima 
počev  od  0  na  levoj  strani,  pa  idući  do  25  na  desnoj.  Detetu  se  kaže 
da  tu  ima  »plusnih  cvrčaka«,  koji  skaču  po  nizu  sleva  nadesno,  i 
»minusnih  cvrčaka«,  koji  skaču  ulevo.  Jedan  »+   4  cvrčak«  pravi  sko­
kove  od  po  četiri  jedinice  udesno;  jedan  »—  3  cvrčak«  pravi  skokove 
od  po  tri  jedinice  ulevo.  U  tipičnom  primeru  kaže  se:  »+   Jedan  +   4 
cvrčak  počinje  da  skače  kod  2  i  napravi  pet  skokova;  gde  da  završi?« 
To  je  u  stvari  (4  X  5)  +   2  =   22,  prevedeno  na  novi  slikovni  jezik.
Detetu  možda  i  neće  biti  isuviše  teško  da  zamisli  nepostojećeg 
cvrčka  na  vidljivoj  mernoj  skali.  Možda  će  čak  uspeti  i  da  pravi 
razliku  između  cvrčkova  od  tri  skoka  i  cvrčkova  od  četiri  skoka.  Ali, 
do  prave  prepone  stiže  kada  se  od  njega  zatraži  da  razume  samu 
činjenicu  za  koju  je  i  izmišljen  čitavi  taj  sistem,  naime,  odnos  između 
plus  i  minus.  Od  njega  se  očekuje  da  i ažurne  plus  i  minus  pomoću 
analogije  desno  i  levo;  ali,  ta  analogija  je  pogrešna.  Vizuelni  prostor 
u  svetu  cvrčka  i  ljudi  je  izotropan,  nautralan,  što  se  smerova  tiče 
kada  se  radi  o  horizontalama,  tj.  jedno  kretanje  ulevo  prosto  je 
ogledalska  slika  kretanja  udesno.  Ova  simetrija  postoji  u  aritmetici 
samo  ako  se  zanemari  značenje  izraza  »sabiranje«  i  »oduzimanje«. 
U  oblasti  čisto  formalnog  manipulisanja,  ova  transpozicija  može  zaista 
da  bude  prostorno  simetrična:
3 + 4 = 7  
7 - 4 = 3
Međutim,  ovo  je  tako  sve  dok  se  zanemaruje  bitna  činjenica 
koju  dete  treba  da  razume,  naime,  da  plus  nije  na  ime  cvrčaka  ni 
putokaz,  nego  znači  sabiranje  nečega,  dok  minus  znači  oduzimanje 
nečega.  Takva  razlika  ne  postoji  kada  neko  pravi  skokove  u  suprot­
nim  smerovima;  a,  ukloniti  tu  razliku  znači  svesti  osmišljeno  barata­
nje  količinama  na  prosto  žongliranje  brojevima.  Zadatak  je  dodeljen 
neodgovarajućoj  opažajnoj  oblasti.
N  {SD ©} *N  {0} »N {@D © ® }
Slika  177
Još  jedan  primer,  jednostavniji  i  drastičniji,  može  da  doprinese 
ilustrovanju  ovog  problema.  U  projektu  koji  je  Stenfordov  univer­
zitet  (Stanford)  izradio  za  nastavu  matematike  u  prvom  i  drugom 
razredu  osnovne  škole,  stvarne  slike  predmeta  —  lopte,  doboši,  kocke 
—  stavljene  su  u  zagrade  u  formule  iz  teorije  skupova  (si.  177).  Od­
12
177

---