Blackcurse

Teorema isboti. 
Chebishev tengsizligini 
   
 
n
x
x
x
X
n
+
+
+
=
....
2
1
 
 
tasodifiy miqdorga nisbatan qo’llaymiz. Matematik kutilish, dispersiyaning 
xossalaridan foydalanib va teorema shartlariga ko’ra quyidagilarni hosil qilamiz. 
   
P
(
)
2
)
(
1
)
(
ε
ε
Х
Д
X
М
X
−
≥
<
−
  
(*) 

---

 
69
   
∑
∑
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
i
n
i
X
M
n
X
n
M
X
M
1
1
1
1
)
(
1
1
)
(
 
 
 
 
 
 
 
 
∑
∑
=
=
=
≤
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
i
n
i
n
c
n
nc
X
D
n
X
n
D
X
D
1
2
1
2
1
1
)
(
1
1
)
(
 
   
Bularni (*) tengsizlikka qo’ysak 
 
)
ε
ε
ε
n
C
n
X
D
X
M
n
X
n
P
n
i
n
i
n
i
−
≥
−
≥
<
⎜⎜
⎝
⎛
−
∑
∑
∑
=
=
=
1
)
(
1
)
(
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
 
va ixtiyoriy hodisa ehtimoli 1 dan katta emasligini hisobga olsak; 
   
)
⎜⎜
⎝
⎛
≤
<
−
≤
−
∑
∑
=
=
n
i
n
i
X
M
n
X
n
P
n
C
1
1
1
1
2
1
)
(
1
1
1
1
ε
ε
 
Bu munosabatda n
→∞
 da limitga o’tsak, teorema tasdig’i kelib chiqadi. 
 
)
⎜⎜
⎝
⎛
=
<
−
∑
∑
=
=
∞
→
n
i
n
i
n
X
M
n
X
n
P
1
1
1
1
1
)
(
1
1
lim
ε
 
Teorema isbotlandi. 
Chebishev teoremasida biz tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlari har 
xil deb faraz qilgan edik. amaliyotda esa tasodifiy miqdorlar ko’pincha bir xil 
a
=M(X
1
) matematik kutilishga va D (X
1
) dispersiyaga ega bo’ladi. Bu holda,  
∑
∑
=
=
=
⋅
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
i
i
n
i
a
na
n
X
M
n
X
n
M
X
M
1
1
1
1
)
(
1
1
)
(
 
bo’lishini tushunish qiyin emas. 
  Qaralayotgan xususiy holda, Chebishev teoremasi quyidagicha ta’riflanadi.
 
 
Teorema.
 
Agar X
1
, X
2
, … X
n 
tasodifiy miqdorlar juft – juft erkli bo’lib, bir 
xil 
a
 matematik kutilishga va 
2
σ
chekli dispersiyaga ega bo’lsa, u holda ixtiyoriy 
ε>
0 son berilganda ham  
1
1
lim
1
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<
−
∑
=
∞
→
ε
n
i
i
n
a
X
n
P
 
Aytaylik, n ta erkli sinash o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har birida A 
hodisaning ro’y berish ehtimoli r ga teng bo’lsin. Hodisa ro’y berishining nisbiy 
chastotasi qanday bo’lishini oldindan ko’ra bilish mumkinmi? Bu savolga Yakov 
Bernulli tomonidan isbotlangan quyidagi teorema ijobiy javob beradi.
 

---

 
70
 
Bernulli teoremasi.
 Agar n ta erkli sinashning har birida A hodisaning ro’y 
berish ehtimoli r o’zgarmas va sinashlar soni etarlicha katta bo’lsa, u holda hodisa 
ro’y berish nisbiy chastotaning r ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymat bo’yicha 
istalgancha kichik bo’lish ehtimoli birga istalgancha yaqin bo’ladi. 
1
lim
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<
−
∞
→
ε
μ
p
n
P
n
n
 
 
Isbot
.
 
A hodisa ro’y berishining chastotasi 
n
μ
ni quyidagicha ifodalash 
mumkin.    
n
μ
=
X
1
+X
2
+ … +X
n
 
 
Bunda X
i
 – xodisaning i- sinashdagi ro’y berish sonini ifodalovchi tasodifiy 
miqdordir. 
X
1, 
X
2,
 …, X
n
 
tasodifiy miqdorlar erkli bo’lib, bir xil taqsimot qonuniga 
egadir. Ya’ni  
X
1
: 0 1 X
2
: 0 1 , … , X
n
: 0 1 
R: q p P: q p, … , P: q p 
 
Bu tasodifiy miqdorlar uchun  
   
 
M (X
1
)=M(X
2
)=…=M(X
n
)=r, D(X
i
)=pq
4
1
≤
 
ekanligini tushunish qiyin emas.  
M (
μ
n
)=M
(
X
1 
+ X
2 
+ …+ X
n
)= M (X
1
)+M(X
2
)+…+M(X
n
)=nr 
 
va 
p
n
M
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
μ
 ekanligini hisobga olib, teorema isbotini keltirib chiqaramiz.  
 
 
   
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<
−
∞
→
ε
μ
p
n
P
n
n
lim
`
1
1
lim
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<
−
∑
∞
→
ε
p
X
n
P
i
n
 
Qaralayotgan holda Chebishev teoremasining barcha shartlari bajariladi. 
Teorema isbotlandi.  

---

 
71
Bernulli teoremasi sinashlar soni etarlicha katta bo’lganda nisbiy chastota 
nima uchun turg’unlik xossasiga ega bo’lishini tushuntiradi va ehtimolning statistik 
ta’rifini asoslaydi.  
Chebishev teoremasining (yoki katta sonlar qonunining) mohiyati bunday: 
ayrim olingan erkli tasodifiy miqdorlar o’z matematik kutilishlaridan ancha farq 
qiladigan qiymatlar qabul qilsa-da, etarlicha katta sondagi tasodifiy miqdorlarning 
arifmetik o’rtacha qiymati katta ehtimollik bilan tayin o’zgarmas songa, chunonchi 
∑
=
n
i
i
X
M
n
1
)
(
1
songa yaqin qiymatlarni qabul qiladi.  
Boshqacha qilib aytganda, ayrim tasodifiy miqdorlar anchagina sochilgan 
bo’lishi mumkin, lekin ularning arifmetik o’rtacha qiymati kam tarqoq bo’ladi. 
Shunday qilib, har bir tasodifiy miqdor mumkin bo’lgan qiymatlardan 
qaysinisini qabul qilishini avvaldan aytish mumkin bo’lmasada, katta sondagi 
tasodifiy miqdorlar yig’indisining qanday qiymat qabul qilishini oldindan ko’ra 
bilish mumkin. 
Katta sonlar qonuniga ko’ra, etarlicha katta sondagi erkli tasodifiy 
miqdorlarning arifmetik o’rtacha qiymati tasodifiylik xarakterini yo’qotadi. Bu esa 
quyidagicha izoxlanadi: har bir miqdorning o’z matematik kutilishidan chetlanishi 
musbat ham, manfiy ham bo’lishi mumkin, ammo arifmetik o’rtacha qiymatda ular 
o’zaro yo’qolib ketadi. 
Chebishev teoremasining amaliy ahamiyatiga doir quyidagi misolni 
keltiramiz. 
Odatda biror fizik kattalikni o’lchash uchun bir necha o’lchashlar o’tkaziladi 
va ular arifmetik o’rtacha qiymati izlanayotgan o’lcham sifatida qabul qilinadi. 
Qanday shartlarda bu usulni to’g’ri deb hisoblash mumkin? – degan savolga 
Chebishev teoremasi javob beradi.  
Haqiqatan ham, har bir o’
lchash 
natijalarini