69
∑
∑
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
i
n
i
X
M
n
X
n
M
X
M
1
1
1
1
)
(
1
1
)
(
∑
∑
=
=
=
≤
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
i
n
i
n
c
n
nc
X
D
n
X
n
D
X
D
1
2
1
2
1
1
)
(
1
1
)
(
Bularni (*) tengsizlikka qo’ysak
)
ε
ε
ε
n
C
n
X
D
X
M
n
X
n
P
n
i
n
i
n
i
−
≥
−
≥
<
⎜⎜
⎝
⎛
−
∑
∑
∑
=
=
=
1
)
(
1
)
(
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
va ixtiyoriy hodisa ehtimoli 1 dan katta emasligini hisobga olsak;
)
⎜⎜
⎝
⎛
≤
<
−
≤
−
∑
∑
=
=
n
i
n
i
X
M
n
X
n
P
n
C
1
1
1
1
2
1
)
(
1
1
1
1
ε
ε
Bu munosabatda n
→∞
da limitga o’tsak, teorema tasdig’i kelib chiqadi.
)
⎜⎜
⎝
⎛
=
<
−
∑
∑
=
=
∞
→
n
i
n
i
n
X
M
n
X
n
P
1
1
1
1
1
)
(
1
1
lim
ε
Teorema isbotlandi.
Chebishev teoremasida biz tasodifiy miqdorlarning
matematik kutilishlari har
xil deb faraz qilgan edik. amaliyotda esa tasodifiy miqdorlar ko’pincha bir xil
a
=M(X
1
) matematik kutilishga va D (X
1
) dispersiyaga ega bo’ladi. Bu holda,
∑
∑
=
=
=
⋅
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n
i
i
n
i
a
na
n
X
M
n
X
n
M
X
M
1
1
1
1
)
(
1
1
)
(
bo’lishini tushunish qiyin emas.
Qaralayotgan xususiy holda, Chebishev teoremasi quyidagicha ta’riflanadi.
Teorema.
Agar X
1
, X
2
, … X
n
tasodifiy miqdorlar juft – juft erkli bo’lib, bir
xil
a
matematik kutilishga va
2
σ
chekli dispersiyaga ega bo’lsa,
u holda ixtiyoriy
ε>
0 son berilganda ham
1
1
lim
1
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<
−
∑
=
∞
→
ε
n
i
i
n
a
X
n
P
Aytaylik, n ta erkli sinash o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har birida A
hodisaning ro’y berish ehtimoli r ga teng bo’lsin. Hodisa ro’y berishining nisbiy
chastotasi qanday bo’lishini oldindan ko’ra bilish mumkinmi?
Bu savolga Yakov
Bernulli tomonidan isbotlangan quyidagi teorema ijobiy javob beradi.
70
Bernulli teoremasi.
Agar n ta erkli sinashning har birida A hodisaning ro’y
berish ehtimoli r o’zgarmas va sinashlar soni etarlicha katta bo’lsa, u holda hodisa
ro’y berish nisbiy chastotaning r ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymat bo’yicha
istalgancha kichik bo’lish ehtimoli birga istalgancha yaqin bo’ladi.
1
lim
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<
−
∞
→
ε
μ
p
n
P
n
n
Isbot
.
A hodisa ro’y berishining chastotasi
n
μ
ni quyidagicha ifodalash
mumkin.
n
μ
=
X
1
+X
2
+ … +X
n
Bunda X
i
– xodisaning i- sinashdagi ro’y berish sonini ifodalovchi
tasodifiy
miqdordir.
X
1,
X
2,
…, X
n
tasodifiy miqdorlar erkli bo’lib, bir xil taqsimot qonuniga
egadir. Ya’ni
X
1
: 0 1 X
2
: 0 1 , … , X
n
: 0 1
R: q p P: q p, … , P: q p
Bu tasodifiy miqdorlar uchun
M (X
1
)=M(X
2
)=…=M(X
n
)=r, D(X
i
)=pq
4
1
≤
ekanligini tushunish qiyin emas.
M (
μ
n
)=M
(
X
1
+ X
2
+ …+ X
n
)= M (X
1
)+M(X
2
)+…+M(X
n
)=nr
va
p
n
M
n
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
μ
ekanligini hisobga olib, teorema isbotini keltirib chiqaramiz.
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<
−
∞
→
ε
μ
p
n
P
n
n
lim
`
1
1
lim
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
<
−
∑
∞
→
ε
p
X
n
P
i
n
Qaralayotgan holda Chebishev teoremasining barcha shartlari bajariladi.
Teorema isbotlandi.
71
Bernulli teoremasi sinashlar soni etarlicha katta bo’lganda
nisbiy chastota
nima uchun turg’unlik xossasiga ega bo’lishini tushuntiradi va ehtimolning statistik
ta’rifini asoslaydi.
Chebishev teoremasining (yoki katta sonlar qonunining) mohiyati bunday:
ayrim olingan erkli tasodifiy miqdorlar o’z matematik kutilishlaridan ancha farq
qiladigan qiymatlar qabul qilsa-da, etarlicha katta sondagi
tasodifiy miqdorlarning
arifmetik o’rtacha qiymati katta ehtimollik bilan tayin o’zgarmas songa, chunonchi
∑
=
n
i
i
X
M
n
1
)
(
1
songa yaqin qiymatlarni qabul qiladi.
Boshqacha qilib aytganda, ayrim tasodifiy miqdorlar anchagina sochilgan
bo’lishi mumkin, lekin ularning arifmetik o’rtacha qiymati kam tarqoq bo’ladi.
Shunday qilib, har bir tasodifiy miqdor mumkin bo’lgan
qiymatlardan
qaysinisini qabul qilishini avvaldan aytish mumkin bo’lmasada, katta sondagi
tasodifiy miqdorlar yig’indisining qanday qiymat qabul qilishini oldindan ko’ra
bilish mumkin.
Katta sonlar qonuniga ko’ra, etarlicha katta sondagi erkli tasodifiy
miqdorlarning arifmetik o’rtacha qiymati tasodifiylik xarakterini yo’qotadi. Bu esa
quyidagicha izoxlanadi: har bir miqdorning o’z matematik
kutilishidan chetlanishi
musbat ham, manfiy ham bo’lishi mumkin, ammo arifmetik o’rtacha qiymatda ular
o’zaro yo’qolib ketadi.
Chebishev teoremasining amaliy ahamiyatiga doir quyidagi misolni
keltiramiz.
Odatda biror fizik kattalikni o’lchash uchun bir necha o’lchashlar o’tkaziladi
va ular arifmetik o’rtacha qiymati izlanayotgan o’lcham sifatida qabul qilinadi.
Qanday shartlarda bu usulni to’g’ri deb hisoblash mumkin? – degan savolga
Chebishev teoremasi javob beradi.
Haqiqatan ham, har bir o’
lchash
natijalarini
Dostları ilə paylaş: