Dərs vəsaiti baki 2016 azərbaycan döVLƏt neft və SƏnaye universiteti

20. ÇOXSAYLI MÜŞAHİDƏLƏRLƏ APARILAN CƏM VƏ BİRGƏ ÖLÇMƏ NƏTİCƏLƏRİ VƏ XƏTASININ TƏYİNİ
Cəm və birgə ölçmələrdə axtarılan kəmiyyətlərin qiyməti onları bilavasitə ölçülən kəmiyyətlərlə əlaqələndirən tənliklər sistemini həll etməklə tapılır. Bu zaman ölçmələr elə yerinə yetirilməlidir ki, alınan tənliklərin sayı axtarılan dəyişənlərin sayından çox olsun. Bunun üçün eyni fiziki kəmiyyətlərin eyni və ya müxtəlif şəraitlərdə çoxsaylı müşahidələri aparılır (konkret məsələdən asılı olaraq).

Hal-hazırda cəm və birgə ölçmələrdə eksperiment verilənlərinin işlənilməsi üçün əksər hallarda ən kiçik kvadratlar metodu adlanan Lejandr metodundan istifadə edilir [7].

Bu metodun mahiyyəti aşağıdakından ibarətdir. Qısa olaraq


(20.1)

şəklində yazılan tənliklər sistemində müşahidə nəticələri kimi alınan X₁, X₂,..., X_n kəmiyyətlərinin qiymətini yazsaq, tənlik aşağıdakı kimi alınar:

(20.2)

Bu sistem ancaq axtarılan fiziki kəmiyyətlərə və sabit əmsallara malikdir. N ədədi ölçülən kəmiyyətlərin – X_i –nin ümumi müşahidə sayına bərabərdir (o cümlədən eyni kəmiyyətin təkrar müşahidə nəticələri). m məchulların sayından əhəmiyyətli dərəcədə böyük olan n müşahidə sayında X_i kəmiyyətlərinin məhdud ölçmə dəqiqliyinə görə alınmış sistemin bütün tənliklərinin yerinə yetirilməsini təmin edən Y_j məchullarının qiymətini tapmaq mümkün deyil. Ona görə də məsələ Y_j axtarılan kəmiyyətlər üçün əsl qiymətlərə ən yaxın olan Y_j qiymətlərinin tapılmasına gətirilib çıxarılır. Bu tənliklər adi riyazi tənliklərdən fərqli olaraq şərti tənliklər adlanır. Çünki hər hansı bir yolla tapılan Y_j qiymətləri tənliyi 0-a çevirmir.

_{ } (20.3)

Tənliklərin eyniliyə çevrilməsi üçün, onları

_{ } (20.4)

şəklində yazmaq lazımdır.

υ_i kəmiyyətlərini uyğunsuz və ya qalıq tənlik xətaları adlandırmaq qəbul olunmuşdur.

Ən kiçik kvadratlar metoduna əsasən, Y_j kəmiyyətlərinin ən yaxşı qiymətləri o halda tapıla bilər ki, şərti tənliklərin qalıq xətalarının kvadratları cəmindən ibarət olan Ω funksiyası minimum olsun [8]:

(20.5)
Ən kiçik kvadratlar metodunun mahiyyəti ζ = αφ + b xətti asılılığın α və b parametrlərinin tapılmasını araşdırarkən izah edilə bilər. Tutaq ki, eksperiment tədqiqatlarının nəticəsində ζ_i və φ_i qiymətlər cütü tapılmışdır (şəkil 20.1). Ən kiçik kvadratlar metoduna müvafiq olaraq, eksperiment tədqiqatlarının nəticəsində alınmış bütün n nöqtələrinə nəzərən ən yaxşı şəkildə keçən düz xətt üçün α və b qiymətləri elə seçilməlidir ki, olsun.

Tənliklər sistemin ancaq xətti müstəqil tənliklər daxil olan ən mühüm hal üçün cəm və birgə ölçmələrin eksperiment verilənlərinin işlənimə ardıcıllığına baxaq.

X ₁ = k₁₁Y₁+k₁₁Y₂+...+k_1mY_m ,

X₂ = k₂₁Y₁+k₂₂Y₂+...+k_2mY_m ,

.................................................. (20.6)

X_n = k_n1Y₁+k_n2Y₂+...+k_nmY_m ,

Şək.20.1. Ən kiçik kvadratlar metodu ilə tapılan xətti asılılıq qrafiki

burada, X_i (i = 1, 2,..., n) – ölçülən fiziki kəmiyyətlərin maşahidə nəticələri; k_ij – məlum əmsallar; Y_j(j=1, 2,..., m) – axtarılan fiziki kəmiyyətlərdir. X_i kəmiyyətinin müşahidə nəticələri düzəldilib, bərabər səpələnib, korrelyasiya olunmayıb və normal paylanma qanununa tabe edirlər (20.6) sistemini
m

X_i = ∑ k_ijY_j , (i = 1, 2,..., n) (20.7)

j=1
Əgər (20.7) tənliklərində k_ij əmsalları elə kiçik xətalarla təyin ediliblərsə, X_i kəmiyyətlərinin ölçmə xətaları ilə müqayisədə onları nəzərə almamaq mümkün olsun, onda (20.7) tənliyi dəqiq hesab edilir.

X_i müşahidə nəticələri xətaya malik olduğundan, (20.4)-ə oxşar olaraq (20.7) sistemi üçün yaza bilərik:

_j
. (20.5)

Hər bir qalıq xətası üçün:

<sub>j

i</sub>
(20.6)

Onda qalıq xətaların kvadratları cəmi üçün alırıq:

(20.7)
(20.7) şərtini ödəyən Y_j –ni təyin etmək üçün Y_j –ə görə Ω funksiyasının bütün xüsusi törəmələri tapılaraq sıfra bərabər götürülür və beləliklə m tənliklərdən ibarət olan yeni sistem alınır:
(20.8)

və ya

(20.9)
Bu sistem axtarılan Y_j kəmiyyətlərinə görə xəttidir. Onu normal tənliklər sistemi adlandırırlar. Bu tənliklərin sayı həmişə Y_j məchul kəmiyyətlərin sayına bərabərdir. Normal tənliklər sisteminin yazılışını sadələşdirmək üçün aşağıdakı cəmlər üçün

Qaus şərti işarələrindən istifadə edilir [9]:

n

∑ k_ij = [k_jk_j],

i=1

n

∑ k_ijk_il = [k_ik_l], (l=1, 2,..., m), (20.10)

i=1

n

∑ k_ij X_i = [k_jX],

i=1

Baxılan hal üçün normal tənliklər sistemi belə şəkil alır:

(20.11)

<sub>1

2

m

1

2

m</sub>

sisteminin həllini axtarılan kəmiyyətlərin hər biri üçün təyinedicilərin köməyilə tapırlar:

Y_j=Dj/D , (20.12)

burada

[k₁k₁]...[k₁k_j]...[k₁k_m]

D = ..................................

[k_mk₁]...[k₁k_j]...[k₁k_m] ,

(20.13)

[k₁k₁]...[k₁X]...[k₁k_m]

D_j = ..................................

[k_mk₁]...[k_mX]...[k_mk_m] ,


D_j determinantı D determinantında j sütununun sərbəst hədlərlə əvəz olunmasından alınır (20.11).

Axtarılan kəmiyyətlərin qiymətlərinin alınması böyük həcmli hesablamalarla bağlıdır. Həm də hesablamaların həcmi şərti tənliklərin sayı artdıqda sürətlə artır. Şərti tənliklərin sayının artması isə alınan qiymətlərin dəqiqliyinin artması üçün lazımdır. Hal-hazırda cəm və birgə ölçmə nəticələrinin işlənilməsi elektron rəqəm hesablama maşınlarının köməyilə aparılır ki, bu da qiymətləri almaq üçün onlarla, hətta yüzlərlə şərti tənlikdən istifadə etməyə imkan verir.

Y_j kəmiyyətinin ölçmə nəticəsinin orta kvadratik meylinin qiyməti

, (20.14)
düsturu ilə təyin edilir. Burada D_jj – D determinantından j –ci sətri və j –ci sütunu kənar etməklə alınan cəbri əlavə; S² – şərti tənliklərin dipersiya qiymətidir.

S² –i təyin etmək üçün
n m

S² = ∑ (X_i – ∑ k_ijỸ_j)²/n – m , (20.15)

i=1 j=1
düsturundan istifadə edilir.

Bütün ölçülən kəmiyyətlərin əsl qiymətləri üçün etimad intervalları n–m -ə bərabər olan sərbəstlik dərəcəsi ədədinə görə Styudent paylanmasının əsasında tapılır.

Cəm və birgə ölçmələrdə şərti tənliklər qeyri-xətti olduqda, onları xəttiləşdirirlər.